概率论与数理统计练习习题四

- 1 - 第四章 - 1 -

习题四

(1) 略 (2)某产品的次品率为0.1,检验员每天检查4次,每次随机地取10件产品进行检验,如

发现其中的次品数多于1,就去调整设备.以X表示一天中调整设备的次数,求EX (设各产

品是否为次品是相互独立的.) 解:引入随机变量Xi, Xi=??0,第i次检验次品数为0或1?1,第i次检验次品数多于1

其中i=1,2,3,4 显然X=

?4i?1Xi

910P{Xi=0}=C100.9100.10+C1100.90.1=0.7361 P{Xi=1}=1- P{Xi=0}=0.2639

所以有EXi=0* P{Xi=0}+1* P{Xi=1}=0.2639 ∴EX=E

?i?1Xi=?i?1EXi=1.0556

44(3)有3只球,4只盒子,盒子的编号为1,2,3,4.将球逐个独立随机地放入4只盒子中去,以X表示其中至少有一只球的最小号码(例如X=3,表示第1,2号盒子是空的,第3号盒子至少有1只球)试求EX.

(4)设随机变量的分布律为P{ X?(?1)j?123j}= j,j=1,2,…,说明EX的数学期望不存在.

3jEX=

???j?1(?1)j?13j2??j?11, 此级数条件收敛但不是绝对收敛的 ?2(?1)?j?1j3jj也就是说,

????1j?12j?12(?1)|(?1)|?2是收敛的,但是(调和级数)是发散的 ???j?1j?1j?1jjj??数学期望的定义要求该级数“绝对收敛”,所以EX的数学期望不存在

(5)设在某规定时间间隔内,某电气设备用于最大负荷的时间X (以分记)是一个随机变量,概率

?1?(1500)2x,0?x?1500?1?密度如下求E(X) , f(x)???(x?3000),1500?x?3000 2?(1500)?0,else??解: EX=

?????xf(x)dx=?15000x*(300011x)dxx*(?(x?3000))dx=…=1500 +22?1500(1500)(1500)(6)设随机变量X的分布律为求E(3X?5). 解: EX=X -2 22?0 32222Xi*P=(?2)*0.4?0*0.3?2*0.3=2.8 ii?12 Pk 0.4 0.3 0.3 E(3X?5)=3EX+5=13.4

- 1 – 作者:孟之天 pilotmeng@yahoo.com.cn

22- 2 - 第四章 - 2 -

(7)设随机变量X的概率密度如下,求 Y= e?2x?2x?e?x,x?0的数学期望. f(x)??

?0,x?0解:EY=Ee=

?????e?2xf1(x)dx=?e?2x*e?xdx=1/3

0??(8)设(X,Y)的分布律如下 Z1=Y/X ,Z2=(X?Y)2求EZ1,EZ2 Y X 1 -1 0 1 2 3 0.3 解:EZ1=E(Y/X)=

??j?133i?1(yj/xi)Pij

0.2 0.1 0 0.1 0 0.1 0.1 0.1 =(-1/1)*0.2+(-1/2)*0.1+(-1/3)*0+

(0/1)*0.1+(0/2)*0.1+(0/3)*0.3+

(1/1)*0.1+(1/2)*0.1+(1/3)*0.3=-1/15

2(x?y)Pij iji?13EZ2=E(X?Y)2=

??j?13=[1?(?1)]2*0.2?(1?0)2*0.1?...+(3?1)2*0.1=5

?12y2,0?y?x?1 (9)设(X,Y)的概率密度如下,求E(X),E(Y),E(XY),E(X?Y)f(x,y)??

?0,else22 解: EX=EY=

??????????????xf(x,y)dydx=

1x??1x001x(y2)dydx=…=4/5 1212y(?0?012y)dydx=…=3/5 ??????1x????12EXY=??xyf(x,y)dydx= ??xy(y)dydx=…=1/2

00????121x????12222222E (X?Y)=??(x?y)f(x,y)dydx= ??(x?y)(y)dydx=…=16/15

00????12yf(x,y)dydx=

(10)一工厂生产的某种设备的寿命X(以年记)服从指数分布,概率密度如下,设备若在一年之

内损坏可以更换,出售一台设备赢利100元,调换一台设备则厂家花费300元.求厂方出售一

x?1?1?e4,x?0台设备净赢利的数学期望. f(x)??4 解:设随机变量Y为出售一台设备的利润

?0,x?0?1?x1?1P{Y=100-300}=P{Y=-200}=P{X≤1}= ?f(x)dx= ?e4dx=…=1- e4

04??11P{Y=100}=1- P{Y=-200}=e?14 ∴EY=100*P{Y=100}+(-200)*P{Y=-200}=…=300e?14-200

(11)设某车间生产的圆盘其直径在区间(a,b)服从均匀分布.试求圆盘面积的数学期望.

?2(b?a)2(a?b)222解:设圆盘的直径为X,面积为S,显然有S=X EX=DX+(EX)=+

4124则ES=E

?2??2X=EX2= (a?ab?b2) 4412- 2 – 作者:孟之天 pilotmeng@yahoo.com.cn

- 3 - 第四章 - 3 -

(12)设随机变量X1,X2的概率密度分别如下: ①求E(X1+X2),E(2X1-3X22)

?2e?2x,x?0?4e?4x,x?0f2(x)??②又设X1,X2相互独立求E(X1X2) f1(x)??

?0,x?0?0,x?0解: EX1=EX=

22?????xf1(x)dx=?x(2e?2x)dx=0.5 EX2=?xf2(x)dx=?x(4e?4x)dx=0.25

0??0???????????xf2(x)dx=?x2(4e?4x)dx=0.125(可利用?函数)

20??2∴E(X1+X2)= EX1+EX2=0.75 E(2X1-3X2)=2EX1-3EX22=0.625

②X1,X2相互独立则E(X1X2)=EX1*EX2=0.125

(13)将n只球(1~n号)随机地放进n只盒子(1~n号)中去,一只盒子装一只球.若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对.记X为总的配对数,求EX. 解:引进随机变量Xi,Xi=?P{Xi=1}=

?0,i号盒配对成功?1,i号盒配对不成功i=1,2,…n 显然X=

?ni?1Xi

K(n?1)!1= = (先把i号球放入i号盒子中,其它的球随便放) Nn!nnnn?1n?111P{Xi=0}=1- P{Xi=1}= , ∴EXi=0*+1*= ∴EX=E?i?1Xi=?i?1EXi=1

nnnn(14) 若有n把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能打开门,用它们去试开门上的锁,设取

到每只钥匙是等可能的.若每把钥匙试开一次后除去.试用两种方法求试开次数X的数学期望①略,参见旧版第一章习题(23) EX=

?i?1i*P{x?i}??i?1i*nn1(1?n)*n1(1?n)*==

n2n2?i,若第i次打开n②解:引入随机变量Xi, Xi=?显然X=?i?1Xi,

?0,若第i次未打开P{Xi=i}=

n1n?11n?1ini(1?n),P{Xi=0}=,EXi=i*+0*= ∴EX=?i?1EXi=?i?1= nnnnnn2(15)设随机变量X的数学期望为EX,方差为DX>0,引入新的随机变量X?*X?EX DX验证EX=0,DX=1, X成为标准化的随机变量. EX=E(****X?EXEX?EXX?EX12*)[DX?D(EX)] )==0, DX=D()=(DXDXDXDX=

DX=1 DX②已知随机变量X的概率密度为f (x )= ??1?|1?x|,0?x?2*求X的概率密度.

?0,else- 3 – 作者:孟之天 pilotmeng@yahoo.com.cn

- 4 - 第四章 - 4 -

?x,0?x?1???解:由题意得f (x)= ?2?x,1?x?2 EX=?xf(x)dx=

???0,else?=

EX=

2?10x*xdx??x*(2?x)dx=…=1

112012?*????x2f(x)dx=?x2*xdx??x2*(2?x)dx=…=7/6∴DX=EX2-(EX)2=1/6

X?EX=6(X-1) , DX从而X?X*=g(x)在(0,2)上恒有g(x)?=6>0.且有反函数x=h (X*)=1/6X*+1, h(x*)?=1/6 ?1?*(6?|y|),|y|?6**所以X的概率密度为f (X)=|h(x*)?|fx[h1(x*)]=?6

??0,else(16)设X为随机变量,c是常数,证明DXDX (对于C≠EX)

?1?x/??e,x?0(17)设随机变量X服从指数分布, 概率密度如下,求EX,DX, f (x )= ?? ?>0

??0,x?0解: EX=

?????xf(x)dx=?2??01xe?x/?dx=? EX2= ????0x21?x/?edx= ?2?(3)=2?2 ?所以DX=EX-(EX)=?

22?xx2?exp{?2},x?0(18) 设随机变量X服从瑞利分布, 概率密度如下,求EX,DX ,f (x )= ??2 2??0,x?0?解: EX=

?????xf(x)dx=???0xx2x22?1/2x2exp{?2}dx令2=t 得x2=2?2*t,dx=?tdt ?2?2?2112?[?()]?22则EX=2??2??0??3t3/2e?tdt=2??t3/2e?tdt=2??()?02?*? 2EX=

2???0xx2x22?1/2x2exp{?2}dx令2=t 得x2=2?2*t,dx=?tdt ?2?2?2- 4 – 作者:孟之天 pilotmeng@yahoo.com.cn

- 5 - 第四章 - 5 -

则EX=…=2?22???0t2?1e?tdt=2?2?(2)=2?2 ∴DX=EX2-(EX)2=

4??2? 2(19)设随机变量X服从Γ分布,概率密度如下,其中a>0,b>0是常数,求EX,DX

?b(bx)a?1e?bx,x?0????b?f (x )= ??(a)解:EX=?xf(x)dx=?x(bx)a?1e?bxdx

0???(a)?0,x?0?=

a11??1?(a?1)1a?(a)aa?1?1?bx===,即EX= *(bx)ed(bx)**?0bb?(a)b?(a)b?(a)b2EX=?xf(x)dx=?????2??0b11??a?1?bxx(bx)edx=2*(bx)a?2?1e?bxd(bx)= ??(a)b?(a)02a1?(a?2)1(a?1)a?(a)a2?a22EX=2*=2*=∴DX=-= (EX)b2b2b?(a)b?(a)?1xa?1e?x/b,x?0?a2(注:新版书中的概率密度是f (x )= ?b?(a),所以答案是EX=ab,DX=ab)

?0,x?0?(20)设随机变量X服从几何分布,其分布律为P{X=k}=p(1?p)k?1,k=1,2,…其中0

???k?1k?1k?1kp(1?p)pk(1?p)pkq=== ??K?1K?1K?1????p112= EX?2(1?q)p???2k?12k?1kp(1?p)=P?K?1kq=pK?1??1?q2?p=

(1?q)3p2所以有DX=E(X2)?(EX)2=

1?p 2p※注:常用公式

???k?1kak?1k?????11?a2k?1?ka?e=,=, ??23k?1k?0k!(1?a)(1?a)证明:

?k?1kak?1=?k?1(ak)?=(?k?1ak)?=(??????????a1)?= 21?a(1?a)???k?1k2ak?1=?k?1(kak)?=(?k?1kak)?= (a?k?1kak?1)?= [??a1?a?]= ※

(1?a)2(1?a)32(21)设X1,X2,…Xn是相互独立的随机变量,且有EXi=μ,D(Xi)= ?,i=1,2,…n.

21n1n22XiS?(Xi?X)记X=?i?1 , ,验证①EX=μ,DX=?/n ?i?1nn?1- 5 – 作者:孟之天 pilotmeng@yahoo.com.cn

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0bi2.html