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山东大学授课讲稿

第四讲

第五节 曲面立体切相交三视图

两立体相交称为相贯，两立体表面的交线称为相贯线，见图4-26。

图4-26 相贯线

一、相贯线概述 1. 相贯线的性质

（1）线上的点是两立体表面的共有点，相贯线也就是两立体表面的共有线。 （2）由于立体表面是连续封闭的，所以相贯线一般是闭合的。 2. 按照立体的类型，常见的立体相贯有以下三种： （1）平面立体与平面立体相贯； （2）平面立体与回转体相贯； （3）回转体与回转体相贯；

由于平面立体可以看作若干个平面围成的实体，所以前两种相贯情况可以归结为求平面与立体的截交线。如前面所讲的平面立体切割体和曲面立体切割体。

3. 按照立体的虚实类型，可以分为三种： （1）实体与实体相贯（即两外表面相交）；

（2）实体与虚体相贯（即外表面与内表面相交）； （3）虚体与虚体相贯（即两内表面相交）；

虚体、实体相贯线的分析作图是完全相同的。 4. 按照回转体轴线之间的关系又可分为三种： （1）正交：轴线垂直相交； （2）斜交；轴线倾斜相交；

（3）偏交：轴线交叉（含垂直与倾斜） 二、曲面立体交线的求法 根据相贯线的性质，求相贯线可归结为求两相交立体表面上一系列共有点的问题。常用的方法有两种：

1．利用投影积聚性求作相贯线

根据相贯线是相交两曲面立体表面的共有线这一性质，当相交两曲面立体中有一个是圆柱且其轴线垂直于某投影面时，则相贯线在该投影面上的投影一定积聚在圆柱面的投影圆上，其余投影可通过在另一曲面立体表面上作辅助直线或辅助圆的方法求得。

2．辅助截平面法

当相交两曲面立体的三面投影均无积聚性时，则可采用辅助截平面法求作相贯线。辅助截平面的原理是三面共点原理。如图4-27所示，当圆柱与圆锥相交时，为求得共有点，可设想用一个平面P（称辅助截平面）截切圆柱和圆锥。平面P与圆柱面的截交线为两条直线，

与圆锥面的截交线是圆。两直线和圆的交点MN是圆柱面，圆锥面和平面P三个面的共有点，因此是相贯线上的点。

图4-27 辅助平面法原理 3．求相贯线的步骤

两曲面立体相交时，其相贯线的形状各异，但都可按以下步骤进行作图： （1）分析

1）形体分析 分析两相交的基本体各是哪一种曲面立体及其表面性质。 2）位置分析 一是要分析两相交曲面立体之间的相对位置，它们的轴线是正交还是交叉垂直；二是要分析两相交立体对投影面的相对位置及投影特点。它们的轴线与某投影面是垂直还是平行，其投影是否有积聚性。

3）投影分析 分析相贯线的已知投影及未知投影。 （2）求共有点

1）求特殊点 相贯线上的特殊点主要是转向轮廓线上的点和极限位置点。极限位置点是指相贯线上最前最后点，最高最底点，最左最右点等。

2）求一般点 根据需要作出适当数量的一般点。

3）判别可见性 可见性的判别原则是：当向某一投影面投影时，同时位于两立体表面的可见部分上的那一段相贯线为可见，否则为不可见。

（4）圆滑连接各点 可见部分用粗实线连接，不可见部分用虚线连接。 3. 举例

例1．求两圆柱体的相贯线（图4-28） 分析：

（1）形体分析 由图示可知，这是两个直径不同的圆柱体相贯，相贯线为一封闭的空间曲线。

（2）位置分析 两圆柱轴线垂直相交，小圆柱的轴线垂直于H面，其H面的投影具有积聚性；大圆柱的轴线垂直于W面，其W面投影具有积聚性。

（3）投影分析 由位置分析可知，相贯线的水平投影及侧面投影为已知，分别重合于相应的积聚性圆周上，要求的是相贯线的正面投影。

作图：

（1）求特殊点 由图中可知，相贯线上Ⅰ、Ⅴ两点分别位于小圆柱对V面的转向线上，也位于大圆柱对V面的转向线上，因此Ⅰ、Ⅴ两点是相贯线上的最高点，同时也分别是相贯线上最左点和最右点；Ⅲ、Ⅶ两点分别位于小圆柱对W面的两条转向线上，它们是相贯线上的最底点，也分别是相贯线上最前点和最后点，在投影图上可自W面投影1″ 、3″ 、5″ 、7″向左引投影连线,直接得出V面投影1′ 、3′ 、5′ 、7′。

（2）求一般点 先在小圆柱的H面投影圆上的特殊点之间适当地定出若干一般点的投影，如图中2、4、6、8等点，再按投影关系作出W面投影2″ 、 (4″) 、8″ 、(6″)点和V面投影2′ 、(8′) 、4′ 、(6′)点。

（3）判别可见性 图中1、2、3、4、5对V面可见，6、7、8相对于V面不可见。

NMP （4）圆滑连接各点 在V面投影中，按1′ 、2′ 、3′ 、4′ 、5′的顺序用圆滑曲线把各点连接起来。由于

该相贯线前后两部分对称，形状相同，故在V面投影中重合，只画粗实线。

1'(8)'2'43'(7)'''5'(6)7\1\(5)2\(4\)(6)8\\\3\812(a)37654(b)

图4-28 求作两圆柱体的相贯线

（a）轴线正交两圆柱 （b）相贯线的求法

由于圆柱有实体圆柱和圆柱孔之分，因此圆柱面有外圆柱面和内圆柱面之别。两圆柱面相交会产生三种情况：①两外圆柱面相交（图4-29a）；② 外圆柱面与内圆柱面（即圆柱孔）相交（图4-29b）③两内圆柱面相交（图4-29c）。这三种情况相贯线的形状，性质相同，其求法也一样，所不同的只是有实线和虚线之分。

（a）（b）（c） 图4-29 两圆柱相交的三种情况

a）两外圆柱面相交 b）外圆柱与内圆柱相交 c）两内圆柱相交

由于轴线相交的两圆柱直径相同或不同，在两圆柱轴线所共同平行的投影面上，其相贯线的投影形状和弯曲趋向会有所不同。当两相交圆柱的直径不相同时，相贯线的投影向着直径大的圆柱轴线方向弯曲，如图4-30a、b所示。当两圆柱直径相等时，两圆柱的相贯线为

两条椭圆曲线，且椭圆曲线所在的平面垂直于V面，这时相贯线的V面投影成为两条相交的直线，如图4-30c所示。

（a）（b）（c） 图4-30 轴线相交两圆柱相贯线的投影特点

a）直立圆柱的直径大于水平圆柱的直径 b）直立圆柱的直径小于水平圆柱的直径 c）两圆柱直径相等

例2． 求作套筒的相贯线。

如图4-31a所示，套筒的内外表面均为圆柱面，在其中部钻有一个圆柱孔，该孔与套筒的内外圆柱表面均有相贯线。因内外圆柱面和所钻圆柱孔的轴线分别垂直侧面和水平面，所以相贯线在这两个投影面上的投影分别积聚在内外圆柱面和所钻圆柱孔的投影圆上，而相贯线的正面投影需求作。由于套筒外圆柱直径与所钻圆柱孔的直径相等，所以其相贯线的正面投影是两条相交直线，如图4-31b所示。

（a）（b） 图4-31 求作套筒的相贯线

例3．求作圆柱与圆台的相贯线（图4-32）

1''2(8)3'(7')54(6')'''8\7\1\2\3\(6)\(5)\(4)\(6)(5)(4)78123（a）（b） 图4-32 求作圆柱与圆台的相贯

分析：

（1）形体分析 如图4-32a所示，圆柱与圆台相交。

（2）位置分析 圆柱与圆台轴线垂直相交，圆柱轴线垂直于W面，其W面投影积聚为圆；圆台轴线垂直于H面。由W面投影可知，圆柱的投影位于圆台投影范围中，说明圆柱贯入圆台，故相贯线是围绕圆柱一周的空间封闭曲线。

（3）投影分析 由于圆柱W面投影具有积聚性，因此相贯线的W面投影重合于圆柱的W面投影圆上，可利用在圆锥表面上作辅助圆（或辅助直线）的方法求出相贯线上各点的H、V面投影。

作图：

（1）求特殊点 从W面投影中可以看出，Ⅰ、Ⅴ两点是相贯线的最高点和最底点，其V面投影由两立体的V面投影轮廓素线相交求得，再由1′ 、5′ 向下引投引线连线得1、5；Ⅲ、Ⅶ两点是相贯线的最前点和最后点，它们分别位于圆柱对H面的转向线上，其H面投影3、7用作锥面辅助圆A1求出。此两点也是相贯线的H面投影可见与不可见部分的分界点。由3、7向上引投影连线得其V面投影3′ 、(7′)。

（2）求一般点 在圆柱的W面投影（圆）上，取若干一般点的投影2、4、6、8点。最后再根据各点的W、H面投影求出V面投影2′ 、(8′) 、4′ 、(6′)。

（3）判别可见性 相贯线向H面投影时，虽对锥面而言都可见，但对圆柱而言，Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ、Ⅷ、Ⅶ各点位于圆柱上半部，其投影可见，其余部位位于圆柱下半部，投影不可见。相贯线前后对称，故相贯线的V面投影可见部分与不可见部分重合。

（4）圆滑连接各点 将相贯线H、V面的可见部分投影用粗实线圆滑连接起来，不可见部分用虚线圆滑连接起来。

两轴线相交的圆柱与圆锥，由于它们的大小和相对位置不同，它们的相贯线在两轴线共同平行的投影面上，其投影的形状或弯曲趋向也会有所不同。如图4-33a所示，圆柱贯入圆锥，V面投影中两条相贯线（左、右各一条）由圆柱向圆锥轴线弯曲，并随圆柱直径的增大，相贯线逐渐弯近圆锥轴线。如图4-33b所示，圆锥贯入圆柱，V面投影中两条相贯线（上、下各一条）由圆锥向圆柱轴线弯曲，并随圆柱直径的减小，相贯线逐渐弯近圆柱轴线。如图4-33c所示，圆柱与圆锥互贯，并且圆柱面与圆锥面共同内切于一个球面，此时相贯线成为两条平面曲线（椭圆），并同时垂直于V面，其V面投影积聚成两条直线。

（a）（b）（c） 图 4-33 圆柱与圆锥相交的三种情况

a）圆柱穿过圆锥 b）圆锥穿过圆柱 c）圆柱圆锥相切与一球

例4．求作圆锥与半球的相贯线（图4-34）。 分析：

（1）形体分析 图4-34为一圆锥体与半球相交；

（2）位置分析 圆锥体轴线垂直于H面且位于球体左边的对称中心线上，所以相贯线为前后对称的封闭

空间曲线； （3）投影分析 由于圆锥面和球面的各面投影都没有积聚性，相贯线的各面投影都要求出。

由于圆锥面和球面的各面投影都没有积聚性，所以不能再利用投影的积聚性通过表面取点的方法求作相贯线，而需用辅助截平面法。

作图：

（1） 求特殊点 Ⅰ、Ⅴ两点分别是相贯线的最高点和最低点，它们位于圆锥面对V面的转向线上，同时位于球面对V面的转向线上，因此，在V面投影中的投影为两立体转向轮廓线的交点1′ 、4′,由1′ 、4′即可直接求出H和W面投影1、4和1″ 、4″。

位于圆锥在W面的转向线上的Ⅲ、Ⅴ两点，它是区分相贯线W面投影中可见与不可见部分的分界点。这两个点的各面投影要借助于通过圆锥轴线的辅助侧平面来求出。该侧平面与圆锥的交线即是圆锥面两条对侧平面的转向线，而与球的交线为半圆（它的半径可从V面或H面投影中量取）。上述两转向线和半圆的W面投影交点3″ 、5″即为Ⅲ、Ⅴ两点的W面投影。由3″,5″即可直接求出其V面和H面投影3′ 、5′和3、5。

（2)求一般点 图4-34中Ⅱ、Ⅵ两点是相贯线上的一般点，其各面投影的求作过程是，先在V面投影的特殊点之间作辅助水平面P，再在H面投影中分别画出该截面与圆锥及球的截交线的投影a圆及b圆，则两圆的交点2、6即为相贯线上Ⅱ、Ⅵ点的H面投影。因Ⅱ、Ⅵ两点也是截平面P内的点，所以由2、6向上作投影连线与V面投影中PV相交，即得两点的V面投影2′ 、6′。最后由投影2、6及2′ 、6′求其W面投影2″ 、6″。

（3)判别可见性及连线 所求相贯线在V，H面中的投影影均为粗实线，在W面投影中，由于Ⅲ——Ⅳ——Ⅴ这一段相贯线在圆锥面的不可见部分上，所以3″——4″——5″为不可见，用虚线画出，其余部分为可见，用粗实线画出。

辅助截平面法是一种常用的方法，只要利用积聚性能求作的问题也都能用此法来求作。采用辅助截平面法的关键是选取合适的截平面。图4-34若不是采用水平面，而是采用辅助正平面或采用辅助侧平面，它与圆锥面的交线均为双曲线，这样会使作图繁琐而复杂。画截

平面时还要注意必须使截出的两条截交线相交（极限位置相切），否则截平面内没有共有点。

(5)(4\)\31\\(6)'(7)4'5''(8)'32'1''(6)\7\8\2\P81276534(a)(b) 图4-34 辅助截平面法求作两立体相贯线（一）

图4-35是用辅助截平面法求作圆柱与半球相贯线的例子。

5'(6)''(7)2(8')3'5678\1\\4''43\2\1'(8)(1)(2)76534 图4-35 辅助截平面法求作两立体相贯线（二）

4. 多形体相交

在画实际零件图样时，由于零件的形体各异，交线也常常较复杂。画图时，必须注意形体分析，找出存在交线的各个表面，应用相贯线的基本作图方法，逐一作出各交线的投影。

求图4-36所示形体的表面交线。

φ6''7'')8(4(5')''13(4)(6\)(7\)\\)(5)(8\\\213\2'φφ3214(5)67(8)（a）（b） 图4-36 多圆柱体相交

分析：

（1） 形体分析 由图示可知，该形体由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个圆柱组成。

（2） 位置分析 圆柱Ⅰ、Ⅱ 的轴线垂直于W面，其W面投影具有积聚性；圆柱Ⅲ的轴线垂直于H面，其H面投影具有积聚性。圆柱Ⅰ、Ⅱ 是叠加关系，没交线，Ⅰ与Ⅲ，Ⅱ与Ⅲ 都是正交关系，存在交线需求解。另外，圆柱Ⅱ的左端面与Ⅲ也是相交关系，存在交线。形体前后对称。

（3）投影分析 通过上述分析可知，相贯线的H、W面投影为已知，要求的是相贯线的V面投影。

作图：

按上述分析，逐个作出各形体之间的交线，由于圆柱Ⅰ、Ⅱ 在侧面投影图上有积聚性，圆柱Ⅲ在水平投影图上有积聚性，因此可利用投影的积聚性及点的三投影之间的关系，圆柱Ⅰ与Ⅲ，圆柱Ⅱ与Ⅲ的表面交线，圆柱Ⅱ的左端面与圆柱Ⅲ的交线是两条垂直于水平面的直线，它们的水平投影积聚成点4、（5）和7、（8）；它们的侧面投影可根据投影规律求得4″,5″和7″,8″;它们的正面投影则重影成一竖直线段(4′) 、 (5′)。恰位于两段曲面交线之间。

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