云台乡中中考数学专题提升二轮复习专题复习资料

专题提升(一) 数形结合与实数的运算

类型之一 数轴与实数

【经典母题】

如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上．

图Z1－1

【思想方法】 (1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应；

(2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题． 【中考变形】

1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是

( C )

图Z1－2

A.5＋1 C.5－1

B.5 D．1－5

【解析】 ∵AD长为2，CD长为1，∴AC＝22＋12＝5，∵A点表示－1，∴E点表示的数为5－1.

2．[2016·娄底]已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图Z1－3，则其中对应的数的绝对值最大的点是

( D )

图Z1－3

A．M

B．N

C．P

D．Q

3．[2016·天津]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图Z1－4所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是 ( C )

图Z1－4

A．－a＜0＜－b C．－b＜0＜－a

B．0＜－a＜－b D．0＜－b＜－a

【解析】 ∵从数轴可知a＜0＜b，∴－b＜0，－a＞0，∴－b＜0＜－a. 4．[2017·余姚模拟]如图Z1－5，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且x＋y＝2，则点C表示的数为( B )

图Z1－5

A．0

B．1

C．2

D．3

【解析】 根据题意，知y－x＝4，即y＝x＋4，将y＝x＋4代入x＋y＝2，得x＋x＋4＝2，解得x＝－1，则点A表示的数为－1，则点C表示的数为－1＋2＝1.

5．如图Z1－6，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于 ( A )

图Z1－6

A．－4和－3之间 C．－5和－4之间

B．3和4之间 D．4和5之间

【解析】 ∵点P的坐标为(－2，3)， ∴OP＝22＋32＝13.

∵点A，P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上， ∴OA＝OP＝13，

∵9＜13＜16，∴3＜13＜4. ∵点A在x轴的负半轴上，

∴点A的横坐标介于－4和－3之间．故选A.

6．[2017·成都改编]如图Z1－7，数轴上点A表示的实数是__－2__．

图Z1－7

【中考预测】

如图Z1－8，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论中正确的是( C )

图Z1－8

A．a＞b C．－a＜b

B．|a|＞|b| D．a＋b＜0

【解析】 由图知，a＜0＜b且|a|＜|b|，∴a＋b＞0，即－a＜b，故选C. 类型之二 实数的混合运算 【经典母题】

计算：23(3＋5)＋4－235.

解：23(3＋5)＋4－235＝233＋235＋4－235＝6＋4＋235－235＝10.

类型之一专题提升(二)整式的化简与求值

代数式的化简与求值

【经典母题】

已知x＋y＝3，xy＝1，你能求出x2＋y2的值吗？(x－y)2呢？ 解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－231＝7； (x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－431＝5.

【思想方法】 利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题．

完全平方公式的一些主要变形有：(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab，在四个量a＋b，a－b，ab和a2＋b2中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量． 【中考变形】

1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2的值为 A．10

B．6

C．5

( C )

D．3

11

2．已知实数a满足a－a＝3，则a2＋a2的值为__11__. 111

【解析】 将a－a＝3两边平方，可得a2－2＋a2＝9，即a2＋a2＝11. 3．[2017·重庆B卷]计算：(x＋y)2－x(2y－x)． 解：原式＝x2＋2xy＋y2－2xy＋x2＝2x2＋y2.

4．[2016·漳州]先化简(a＋1)(a－1)＋a(1－a)－a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系(不必说明理由)? 解：原式＝a2－1＋a－a2－a＝－1. 故该代数式的值与a的取值没有关系． 【中考预测】

1先化简，再求值：(a－b)2＋a(2b－a)，其中a＝－，

2b＝3.

解：原式＝a2－2ab＋b2＋2ab－a2＝b2. 1

当a＝－2，b＝3时，原式＝32＝9. 类型之二 分式的化简与求值 【经典母题】

aba＋b

计算：(1)b－a－ab；

x?x2－4?3x

(2)?x－2－x＋2?2x. ??

a2－b2a2＋b2－2b22b

解：(1)原式＝ab－ab＝ab＝－a；

3x（x＋2）－x（x－2）x2－42x2＋8xx2－4

(2)原式＝·x＝2·x＝2x＋8.

（x－2）（x＋2）x－4

【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；

(2)注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；

(3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简；

(4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别． 【中考变形】

2

?3?a－2a＋1

1．[2017·重庆A卷]计算：?a＋2＋a－2?÷. a＋2??

22

a2－4?（a－1）2?3

＋?÷解：原式＝?

a＋2?a＋2a＋2?＝

（a＋1）（a－1）a＋2a＋1

·＝ a＋2（a－1）2a－1

2?x2－1?

2．[2017·攀枝花]先化简，再求值：?1－x＋1?÷2，其中x＝2.

??x＋xx＋1－2x（x＋1）

解：原式＝· x＋1（x＋1）（x－1）x－1x（x＋1）x

＝·＝. x＋1（x＋1）（x－1）x＋1当x＝2时，原式＝【中考预测】

22

1??x－2x＋12??x－4x＋3－－??2?，其中x＝4. 先化简，再求值：?

3－x??x－3x＋2x－2??x－3

22

＝3. 2＋1

2

（x－1）21??2??x－4x＋3

＋－??? 解：原式＝?

x－3??（x－1）（x－2）x－2??x－3

（x－2）2?x－12?（x－2）2x－3－?＝＝·?· x－3x－3x－2?x－2x－2?＝x－2.当x＝4时，原式＝x－2＝2. 类型之三 二次根式的化简与求值 【经典母题】

已知a＝3＋2，b＝3－2，求a2－ab＋b2的值． 解：∵a＝3＋2，b＝3－2，∴a＋b＝23，ab＝1， ∴a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝(23)2－3＝9.

【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把a＋b，a－b，ab当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一． 【中考变形】

1．已知m＝1＋2，n＝1－2，则代数式m2＋n2－3mn的值为 A．9 C．3

B．±3 D．5

( C )

a2－2ab＋b2?11?

2．[2016·仁寿二模]先化简，再求值：÷?a－b?，其中a＝2＋1，b

??a2－b2＝2－1.

（a－b）2b－aa－babab

解：原式＝÷ab＝·＝－，

（a＋b）（a－b）a＋bb－aa＋b当a＝2＋1，b＝2－1时，原式＝－

2

＝－4. 221

x－yx??y

－?3．[2017·绵阳]先化简，再求值：?2÷，其中x＝22，22?x－2xy＋yx－2xy?x－2yy＝2.

x?x－y?y

－?解：原式＝?÷ 2?（x－y）x（x－2y）?x－2y1?y?1－＝?x－yx－2y?÷ ??x－2y?（x－2y）－（x－y）?y

?÷＝?

?（x－y）（x－2y）?x－2y－yx－2y1

＝·y＝－. （x－y）（x－2y）x－y

112当x＝22，y＝2时，原式＝－＝－＝－2.

x－y2【中考预测】 先化简，再求值：

5＋15－111b

＋b＋，其中a＝2，b＝2. a＋ba（a＋b）

ab＋a（a＋b）＋b2（a＋b）2a＋b

解：原式＝＝＝ab，

ab（a＋b）ab（a＋b）∵a＋b＝

5＋15－15－15＋1＋＝5，ab＝32222＝1，

∴原式＝5.

【中考变形】

?1?1．[2016·台州]计算： 4－?－2?＋2－1.

??

11

解：原式＝2－2＋2＝2.

?1?－1

2．[2017·临沂]计算：|1－2|＋2cos45°－8＋?2?.

??

2?1?－1

解：|1－2|＋2cos45°－8＋?2?＝2－1＋232－22＋2＝2－1＋2

??－22＋2＝1.

3．[2017·泸州]计算：(－3)2＋2 0170－183sin45°. 2解：(－3)2＋2 0170－183sin45°＝9＋1－3232 ＝10－3＝7. 【中考预测】

?1?－1

计算：12－3tan30°＋(π－4)－?2?.

??

0

3?1?－1

解：12－3tan30°＋(π－4)－?2?＝23－333＋1－2＝3－1.

??

0

专题提升(三) 数式规律型问题

【经典母题】 观察下列各式： 52＝25； 152＝225； 252＝625； 352＝1 225； ?

你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由． 解：把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式，其中a为自然数， 则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25，

因此在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把100a与a＋1相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．

【思想方法】 模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一． 【中考变形】

1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果： 3－2＝1； 8＋7－6－5＝4；

15＋14＋13－12－11－10＝9；

24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16； ?

根据以上规律可知第10行左起第1个数是 A．100

B．121

C．120

( C )

D．82

【解析】 根据规律可知第10行等式的右边是102＝100，等式左边有20个数加减．∵这20个数是120＋119＋118＋?＋111－110－109－108－?－102－101，∴左起第1个数是120.

2．[2016·邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，

根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是 ( B )

图Z3－1

A．y＝2n＋1 C．y＝2n＋1＋n

B．y＝2n＋n D．y＝2n＋n＋1

【解析】 ∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，?，n，右边三角形的数字规律为21，22?，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，?，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.

3．[2018·中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是下列选项中的

( D )

图Z3－2

【解析】 由图可知，每4个数为一个循环组依次循环， 2 017÷4＝504??1，

∴2 017是第505个循环组的第2个数，

∴从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是故选D.

4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，?则第6次应拿走

( D )

A．②号棒

B．⑦号棒

.

图Z3－3

C．⑧号棒 D．⑩号棒

【解析】 仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒．

5．[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3－4)：

图Z3－4

按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为 A．3n C．3n＋6

B．6n D.3n＋3

( D )

【解析】 ∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子332＋3＝9；第3个图需棋子333＋3＝12；?∴第n个图需棋子(3n＋3)个．

6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，?叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，?以此类推，那么第9个三角形数是__45__，2 016是第__63__个三角形数．

【解析】 根据所给的数据发现：第n个三角形数是1＋2＋3＋?＋n，则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；由1＋2＋3＋4＋?＋n＝ 2 016，得

n（n＋1）

＝2 016，解得n＝63(负数舍去)． 2

7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己?1??1?＋1的顺序数的倒数加1.如：第1位同学报?1?，第2位同学报?2＋1?，第3????

?1?

位同学报?3＋1?，?这样得到的100个数的积为__101__. ??

1213

【解析】 ∵第1位同学报的数为1＋1＝1，第2位同学报的数为2＋1＝2，第

14

3位同学报的数为3＋1＝3，?

1101

∴第100位同学报的数为100＋1＝100，

234101

∴这样得到的100个数的积＝132333?3100＝101.

8．[2017·潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；?按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n＋3__．

图Z3－5

【解析】 ∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝932＋3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝933＋3，?∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n＋3. 9．观察下列等式：

1第一个等式：a1＝＝2－1；

1＋2第二个等式：a2＝

1

＝3－2； 2＋3

1

＝2－3； 3＋2

第三个等式：a3＝

1

第四个等式：a4＝＝5－2；

2＋5?

按上述规律，回答以下问题：

(1)用含n的代数式表示第n个等式：an＝ (2)a1＋a2＋a3＋?＋an＝__n＋1－1__ 【解析】 a1＋a2＋a3＋?＋an＝(2－1)＋(3－2)＋(2－3)＋(5－2)＋?

1n＋n＋1

＝n＋1－n ；

＋(n＋1－n)＝n＋1－1.

10．[2016·山西]如图Z3－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有__4n＋1__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示)．

图Z3－6

【解析】 由图可知，涂有阴影的小正方形有5＋4(n－1)＝4n＋1(个)． 11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，?则第n个图案中有__5n＋1__根小棒．

图Z3－7

【解析】 ∵第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6＋531＝11根小棒，第3个图案中有6＋532＝16根小棒，?∴第n个图案中有6＋5(n－1)＝5n＋1根小棒．

12．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3－8所示． 11111由图易得2＋22＋23＋?＋2n＝__1－2n__.

图Z3－8

13．[2016·安徽](1)观察图Z3－9中的图形与等式的关系，并填空：

图Z3－9

【解析】 1＋3＋5＋7＝16＝42，观察，发现规律：1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，?∴1＋3＋5＋?＋(2n－1)＝n2.

(2)观察图Z3－10，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：

图Z3－10

1＋3＋5＋?＋(2n－1)＋__2n＋1__＋(2n－1)＋?＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．

【解析】 观察图形发现：图中黑球可分为三部分，1到n行，第n＋1行，n＋2行到2n＋1行，即1＋3＋5＋?＋(2n－1)＋[2(n＋1)－1]＋(2n－1)＋?＋5＋3＋1＝1＋3＋5＋?＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n－1)＋?＋5＋3＋1＝n2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n＋1. 【中考预测】

一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3－11方式进行拼接．

(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ (2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？

图Z3－11

解：(1)把4张餐桌拼起来能坐434＋2＝18(人)； 把8张餐桌拼起来能坐438＋2＝34(人)；

(2)设这样的餐桌需要x张，由题意，得4x＋2＝90， 解得x＝22.

答：这样的餐桌需要22张．

专题提升(四) 整式方程(组)的应用

类型之一 一元一次方程的应用 【经典母题】

汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t，还剩下8 t未装；若每辆车装4.5 t，恰好装完．这个车队有多少辆车？ 解：设这个车队有x辆车，依题意，得 4x＋8＝4.5x，解得x＝16. 答：这个车队有16辆车．

【思想方法】 利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，是课标要求，也是热门考点． 【中考变形】

1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是 A．25台 C．75台

B．50台 D．100台

( C )

【解析】 设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是(100－x)台，根据题意可得x＝3(100－x)，解得x＝75.

2．[2016·盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别

是多少？

请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)． 解：设上月萝卜的单价是x元/斤，则排骨的单价?36－3x?

?＝45， 3(1＋50%)x＋2(1＋20%)?

?2?

36－3x36－332

解得x＝2，则2＝＝15.

2∴这天萝卜的单价是(1＋50%)32＝3(元/斤)， 这天排骨的单价是(1＋20%)315＝18(元/斤)．

答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤． 【中考预测】

[2016·株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．

36－3x

2元/斤，根据题意，得

图Z4－1

解：设笔的价格为x元/支，则笔记本的价格为3x元/本， 由题意，得10x＋533x＝30， 解得x＝1.2，∴3x＝3.6.

答：笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本． 类型之二 二元一次方程组的应用 【经典母题】

用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？

图Z4－2

解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，可恰好将库存的纸板用完． ?4x＋3y＝2 000，?x＝200，

根据题意，得?解得?

?x＋2y＝1 000，?y＝400.

答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完． 【思想方法】 利用方程(组)解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想． 【中考变形】

1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8 cm；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．

①

② 图Z4－3

解：设信纸的纸长为x cm，信封口的宽为y cm. 由题意，得?xy＝??3＋1.4，

x??y＝4＋3.8，

?x＝28.8，

解得?

y＝11.?

答：信纸的纸长为28.8 cm，信封的口宽为11 cm.

2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4

个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2 min内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min内可以通过800名学生． (1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？

(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5 min内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．

解：(1)设一个正门平均每分钟通过x名学生，一个侧门平均每分钟通过y名学生，由题意，得

?2x＋4y＝560，?x＝120，?解得? ?4x＋4y＝800，?y＝80.

答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；

(2)由题意得共有学生4531034＝1 800(人)，

45学生通过的时间为1 800÷[(120＋80)30.832]＝8(min)． 45

∵5＜8，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定． 【中考预测】

随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/km计算，耗时费按q元/min计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：

小明 小刚 (1)求p，q的值；

(2)如果小华也用该打车方式，车速55 km/h，行驶了11 km，那么小华的打车总费用为多少？

解：(1)小明的里程数是8 km，时间为8 min；小刚的里程数为10 km，时间为12 min.

速度y(km/h) 60 50 里程数s(km) 8 10 车费(元) 12 16

图Z5－2

(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？

(2)当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？ (3)若乐乐要提前18 min到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少？ 解：(1)v＝

240

＝240(km/h)， 2－1

答：高铁的平均速度为240 km/h；

(2)设乐乐离开衢州的距离y与时间t的函数关系为y＝kt，则1.5k＝120，k＝80，∴函数表达式为y＝80t，

当t＝2时，y＝160，216－160＝56(km)． 答：乐乐距离游乐园还有56 km； (3)把y＝216代入y＝80t，得t＝2.7， 18216

2．7－60＝2.4(h)，2.4＝90(km/h)．

答：乐乐要提前18 min到达游乐园，私家车的速度必须达到90 km/h. 2．[2017·宿迁]小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2 min，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1 min到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图象如图Z5－3所示．

图Z5－3

(1)求点A的纵坐标m的值；

(2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程．

解：(1)校车的速度为3÷4＝0.75(km/min)， 点A的纵坐标m的值为3＋0.753(8－6)＝4.5. 答：点A的纵坐标m的值为4.5；

(2)校车到达学校站点所需时间为9÷0.75＋4＝16(min)， 出租车到达学校站点所需时间为16－9－1＝6(min)， 出租车的速度为9÷6＝1.5(km/min)，

两车相遇时出租车出发时间为0.753(9－4)÷(1.5－0.75)＝5(min)， 相遇地点离学校站点的路程为9－1.535＝1.5(km)．

答：小刚乘坐出租车出发后经过5 min追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为1.5 km.

3．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图Z5－4①所示．方成思考后发现了图①的部分信息：乙先出发1 h；甲出发0.5 h与乙相遇? 请你帮助方成同学解决以下问题：

(1)分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式； (2)当20＜y＜30时，求t的取值范围；

(3)分别求出甲，乙行驶的路程s甲，s乙与时间t的函数表达式，并在图②所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；

4(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过3 h

与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？

图Z5－4

解：(1)设直线BC的函数表达式为y＝kt＋b， 30＝k＋b，??237100????把?2，0?，?3，3?分别代入，得? ????1007

??3＝3k＋b，?k＝40，

解得?

?b＝－60，

∴直线BC的表达式为y＝40t－60. 设直线CD的函数表达式为y1＝k1t＋b1， 1007??＝3k1＋b1，7100??3?把?3，3?，(4，0)分别代入，得

????0＝4k1＋b1，

?k1＝－20，解得?∴直线CD的函数表达式为y1＝－20t＋80；

b＝80，?1(2)设甲的速度为a km/h，乙的速度为b km/h，根据题意，得 0.5a＝1.5b，???a＝60，??7 100解得??7

?b＝20，a?－1?＝3b＋3，????3

∴甲的速度为60 km/h，乙的速度为20 km/h， ∴OA的函数表达式为y＝20t(0≤t≤1)，

∴点A的纵坐标为20，OA段，AB段没有符合条件的t值；

9

当20＜y＜30时，即20＜40t－60＜30或20＜－20t＋80＜30，解得2＜t＜4或5

2＜t＜3；

7??

(3)根据题意，得s甲＝60t－60?1≤t≤3?，

??s乙＝20t(0≤t≤4)，所画图象如答图所示；

中考变形3答图

480

(4)当t＝3时，s乙＝3，此时丙距M地的路程s丙与时间t的函数表达式为s丙＝－40t＋80(0≤t≤2)，

7

当－40t＋80＝60t－60时，解得t＝5， 7

答：丙出发5 h与甲相遇． 【中考预测】

[2017·义乌模拟]甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)的函数图象如图Z5－5所示．

图Z5－5

(1)直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式__y＝60x(0＜x≤6)__；

(2)求乙组加工零件总量a的值；

(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？

解：(1)∵图象经过原点及(6，360)，

∴设表达式为y＝kx，∴6k＝360，解得k＝60， ∴y＝60x(0＜x≤6)； (2)乙2 h加工100件，

∴乙的加工速度是每小时50件，

∴更换设备后，乙组的工作速度是每小时加工100件， a＝100＋1003(4.8－2.8)＝300；

(3)乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为y＝100＋100(x－2.8)＝100x－180， 当0＜x≤2时，60x＋50x＝300， 30

解得x＝11(不合题意，舍去)； 当2＜x≤2.8时，100＋60x＝300， 10

解得x＝3(不合题意，舍去)；

当2.8＜x≤4.8时，60x＋100x－180＝300， 解得x＝3，符合题意． 答：经过3 h恰好装满第1箱． 类型之二 一次函数的性质的应用 【经典母题】

某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1 500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．

(1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式； (2)在同一直角坐标系中画出它们的图象；

(3)根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3 000元用于印刷上述宣传材料，找哪一家印刷厂印制宣传材料多一些？

解：(1)甲厂的收费函数表达式为y甲＝x＋1 500， 乙厂的收费函数表达式为y乙＝2.5x； (2)图略；

(3)当x＝800时，

y甲＝x＋1 500＝800＋1 500＝2 300(元)， y乙＝2.5x＝2.53800＝2 000(元)； 当y＝3 000时，

y甲＝x＋1 500＝3 000，解得x＝1 500， y乙＝2.5x＝3 000，解得x＝1 200，

答：印制800份材料时，选择乙厂合算；花费3 000元时，甲厂印制的宣传材料多一些．

【思想方法】 解此类一次函数在实际生活中的应用的问题，需综合运用方程等知识，体现了数形结合思想． 【中考变形】

1．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：

进价(元/部) 售价(元/部) 甲 4 000 4 300 乙 2 500 3 000 该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元[毛利润＝(售价－进价)3销售量]． (1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？

(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，才能使全部销售后获得的毛利润最大？求出最大毛利润． 解：(1)设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部， ?0.4x＋0.25y＝15.5，?x＝20，

?由题意，得解得? ?0.03x＋0.05y＝2.1，?y＝30.答：商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；

(2)设甲种手机的购进数量减少a部，则乙种手机的购进数量增加2a部， 由题意，得0.43(20－a)＋0.253(30＋2a)≤16，解得a≤5.

设全部销售后获得的毛利润为W万元，由题意，得 W＝0.033(20－a)＋0.053(30＋2a)＝0.07a＋2.1. ∵k＝0.07＞0，∴W随a的增大而增大， ∴当a＝5时，W最大＝2.45万元．

答：该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部可使获得的毛利润最大，最大毛利润为2.45万元．

2．[2017·绵阳]江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1 h可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1 h可以收割小麦2.5公顷．

(1)每台大型收割机和每台小型收割机1 h收割小麦各多少公顷？

(2)大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元．两种型号的收割机一共有10台，要求2 h完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5 400元．有几种方案？请指出费用最低的一种，并求出相应的费用． 解：(1)设1台大型收割机每小时收割小麦a公顷，1台小型收割机每小时收割小麦b公顷，

?a＋3b＝1.4，?a＝0.5，根据题意，得?解得?

?2a＋5b＝2.5，?b＝0.3.

答：1台大型收割机每小时收割小麦0.5公顷，1台小型收割机每小时收割小麦0.3公顷．

(2)设需要大型收割机x台，则需要小型收割机(10－x)台，根据题意， ?600x＋400（10－x）≤5 400，

得?解得5≤x≤7， ?x＋0.6（10－x）≥8，又∵x取整数，∴x＝5，6，7，一共有3种方案．

设费用为W元，则W＝600x＋400(10－x)＝200x＋4 000.由一次函数性质知，W随x增大而增大．∴当x＝5时，W值最小，即大型收割机5台，小型收割机5台时，费用最低，

此时，所有费用W＝60035＋40035＝5 000(元)．

答：采用大型、小型收割机各5台时费用最低，最低费用为5 000元．

【中考预测】

某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3 500元．

(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；

(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．

①求y关于x的函数关系式；

②该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

解：(1)设每台A型电脑销售利润为m元，每台B型电脑的销售利润为n元， ?10m＋20n＝4 000，?m＝100，根据题意，得?解得?

20m＋10n＝3 500，n＝150.??

答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元； (2)①根据题意，得y＝100x＋1503(100－x)， 即y＝－50x＋15 000.

1

②根据题意，得100－x≤2x，解得x≥33，

3∵y＝－50x＋15 000，∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数，

∴当x＝34时，y有最大值，则100－x＝66.

答：商店购进34台A型电脑和66台B型电脑时，销售利润最大．

专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合

【经典母题】

如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．

【解析】 利用待定系数法设出反比例函数的表

图Z6－1

达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式． k解：设反比例函数的表达式为y＝x， ∵一个端点B的坐标为(80，10)， ∴k＝80310＝800，

800

∴反比例函数的表达式为y＝x. ∵端点A的纵坐标为80， ∴80＝

800

，x＝10， x

∴点A的横坐标为10，

∴自变量的取值范围为10≤x≤80.

k

【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝x，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可． 【中考变形】

b

1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝x的图象有一个公共点A(1，2)． (1)求这两个函数的表达式；

(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．

图Z6－2

解：(1)把A(1，2)代入y＝ax，得2＝a， 即y＝2x；

b2

把A(1，2)代入y＝x，得b＝2，即y＝x； (2)画草图如答图所示．

中考变形1答图

由图象可知，当x＞1或－1＜x＜0时，正比例函数值大于反比例函数值． k2

2．如图Z6－3，已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝x的图象交于第一象

?1?

限内P?2，8?，Q(4，m)两点，与x轴交于A点．

??(1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点P关于原点的对称点P′的坐标； (3)求∠P′AO的正弦值．

图Z6－3

【解析】①将P点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q点代入反比例函数关系式，即可求出m的值；将P，Q两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．

②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P′的坐标；

③过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，可构造出′AD，又∵点A在一次函数的图

象上，∴可求出点A坐标，得到OA长度，利用P′ 点坐标，可以求出P′D，P′A，即可得到∠P′AO的正弦值． 解：(1)∵点P在反比例函数的图象上，

k2?1?

∴把点P?2，8?代入y＝x，得k2＝4，

??

4

∴反比例函数的表达式为y＝x，∴Q 点坐标为(4，1)．

?1?

把P?2，8?，Q(4，1)分别代入y＝k1x＋b中，

??1??8＝k1＋b，?k1＝－2，2?得解得?

b＝9.???1＝4k1＋b，∴一次函数的表达式为y＝－2x＋9； ?1?

(2)P′?－2，－8?；

??

(3)如答图，过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D. ?1? ∵P′?－2，－8?，

??

中考变形2答图

1

∴OD＝2，P′D＝8.

∵点A在y＝－2x＋9的图象上， 9?9?

∴点A坐标为?2，0?，即OA＝2，

??∴DA＝5，∴P′A＝P′D2＋DA2＝89. P′D8889

∴sin∠P′AD＝＝＝89.

P′A89889

∴sin∠P′AO＝89.

1

3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝2x

k

与反比例函数y＝x的图象交于A(a，－2)，B两点． (1)求反比例函数表达式和点B的坐标；

(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连结PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．

图Z6－4 中考变形3答图

1

解：(1)∵点A(a，－2)在正比例函数y＝2x图象上， 1

∴－2＝2a，∴a＝－4， ∴点A坐标为(－4，－2)．

k

又∵点A在反比例函数y＝x的图象上， ∴k＝xy＝－43(－2)＝8， 8

∴反比例函数的表达式为y＝x.

∵A，B既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上， ∴A，B两点关于原点O中心对称， ∴点B的坐标为(4，2)；

8?1?

(2)如答图，设点P坐标为?a，a?(a＞0)，∵PC∥y轴，点C在直线y＝2x上，

??1??a，∴点C的坐标为?， 2a???8??a2－16??1

?， ∴PC＝?2a－a?＝?

???2a?

2

11?a2－16??a－16?

?·a＝??＝3， ∴S△POC＝2PC·a＝2??2a??4?

a2－16

当4＝3时，解得a＝28＝27，

?47?

?. ∴P?27，

7??

a2－16

当4＝－3时，解得a＝2，∴P(2，4)．

?47?

?，(2，4)． 综上所述，符合条件的点P的坐标为?27，

7??

m

4．如图Z6－5，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝x的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点．

(1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式；

(3)P是x轴上的一个动点，试确定点P并求出它的坐标，使得PA＋PB最小．

图Z6－5

m

解：(1)∵点A(1，4)在函数y＝x上，

4

∴m＝xy＝4，∴反比例函数的表达式为y＝x； 4

(2)把B(4，n)代入y＝，4＝xy＝4n，得n＝1，

x∴B(4，1)，

∵直线y＝kx＋b经过A，B， ?4＝k＋b，?k＝－1，∴?解得? 1＝4k＋b，b＝5，??∴一次函数的表达式为y＝－x＋5； (3)点B关于x轴的对称点为B′(4，－1)， 设直线AB′的表达式为y＝ax＋q， ?4＝a＋q，∴?解得?

17－1＝4a＋q，?

??q＝3，517

∴直线AB′的表达式为y＝－3x＋3， 17

令y＝0，解得x＝5，

5

??a＝－3，?17?

∴当点P的坐标为?5，0?时，PA＋PB最小．

??

m

5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝x的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，

图Z6－6

且OB＝6.

m

(1)求函数y＝x和y＝kx＋b的表达式．

m

(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内，求反比例函数y＝x的图象上一点P，使得S△POC＝9.

m

解：(1)∵点A(4，2)在反比例函数y＝x的图象上， ∴m＝432＝8，

8

∴反比例函数的表达式为y＝x. ∵点B在y轴的负半轴上，且OB＝6， ∴点B的坐标为(0，－6)，

把点A(4，2)和点B(0，－6)代入y＝kx＋b中， ?4k＋b＝2，?k＝2，得?解得? ?b＝－6，?b＝－6.∴一次函数的表达式为y＝2x－6； 8??

(2)设点P的坐标为?n，n?(n＞0)．

??在直线y＝2x－6上，当y＝0时，x＝3， ∴点C的坐标为(3，0)，即OC＝3， 184

∴S△POC＝2333n＝9，解得n＝3.

?4?

∴点P的坐标为?3，6?.

??

k

6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y＝－2x＋1与反比例函数y＝x的图象有两个交点A(－1，m)和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为E；过点B作BD⊥y轴，垂足为D，且点D的坐标为(0，－2)，连结DE. (1)求k的值；

(2)求四边形AEDB的面积．

图Z6－7 中考变形6答图

解：(1)将点A(－1，m)代入一次函数y＝－2x＋1， 得－23(－1)＋1＝m，解得m＝3. ∴A点的坐标为(－1，3)．

k

将A(－1，3)代入y＝x，得k＝(－1)33＝－3；

(2)如答图，设直线AB与y轴相交于点M，则点M的坐标为(0，1)， 3

∵D(0，－2)，则点B的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB＝2， ∴MD＝3.

又∵A(－1，3)，AE∥y轴， ∴E(－1，0)，AE＝3. ∴AE∥MD，AE＝MD.

∴四边形AEDM为平行四边形． ∴S四边形AEDB＝S?AEDM＋S△MDB 1321

＝331＋23233＝4. 3

7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y＝3x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反

k

比例函数y＝x(k＞0)的图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函

(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的函数表达式．

图Z7－4

解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)， ∴可设抛物线表达式为y＝a(x－1)(x－3)，

把C(0，－3)的坐标代入，得3a＝－3，解得a＝－1， 故抛物线表达式为y＝－(x－1)(x－3)， 即y＝－x2＋4x－3.

∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1， ∴抛物线的顶点坐标为(2，1)；

(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上． 6．[2017·江西]已知抛物线C1：y＝ax2－4ax－5(a＞0)． (1)当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；

(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；

(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值． 解：(1)当a＝1时，抛物线表达式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9， ∴对称轴为x＝2，

∴当y＝0时，x－2＝3或－3，即x＝－1或5， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)或(5，0)； (2)①抛物线C1表达式为y＝ax2－4ax－5， 整理，得y＝ax(x－4)－5.

∵当ax(x－4)＝0时，y恒定为－5，

∴抛物线C1一定经过两个定点(0，－5)，(4，－5)． ②这两个点连线为y＝－5，

将抛物线C1沿y＝－5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变，

∴抛物线C2的表达式为y＝－ax2＋4ax－5； (3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2， 则x＝2时，y＝2或－2.

7

当y＝2时，2＝－4a＋8a－5，解得a＝4； 3

当y＝－2时，－2＝－4a＋8a－5，解得a＝4. 73∴a＝4或4. 7．[2017·北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. (1)求直线BC的表达式；

(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)，若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围． 解：(1)由y＝x2－4x＋3得到y＝(x－3)(x－1)，C(0，3)， ∴A(1，0)，B(3，0)．

设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)， ?b＝3，?k＝－1，则?解得? ?3k＋b＝0，?b＝3，∴直线BC的表达式为y＝－x＋3；

中考变形7答图

(2)由y＝x2－4x＋3得到y＝(x－2)2－1，

∴抛物线y＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，－1)．

∵y1＝y2，∴x1＋x2＝4.

令y＝－1，代入y＝－x＋3，得x＝4. ∵x1＜x2＜x3(如答图)，

∴3＜x3＜4，即7＜x1＋x2＋x3＜8.

8．[2016·益阳]如图Z7－5，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.

(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；

(2)过点B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；

(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

图Z7－5 中考变形8答图

解：(1)∵抛物线顶点为A(3，1)， ∴设抛物线对应的二次函数的表达式为 y＝a(x－3)2＋1.

1

将原点坐标(0，0)代入，得a＝－3，

123

∴抛物线对应的二次函数的表达式为y＝－3x2＋3x； 123

(2)证明：将y＝0代入y＝－3x2＋3x中， 得B(23，0)．

设直线OA对应的一次函数的表达式为y＝kx， 3

将A(3，1)代入，得k＝3，

3

∴直线OA对应的一次函数的表达式为y＝3x.

3

∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y＝3x＋b， 将B(23，0)代入，得b＝－2，

3

∴直线BD对应的一次函数的表达式为y＝3x－2. 3?y＝?3x－2，由?

1223

?y＝－?3x＋3x，

得交点D的坐标为(－3，－3)，

3

将x＝0代入y＝3x－2中，得C点的坐标为(0，－2)， ∴OA＝2＝OC，AB＝2＝CD，OB＝23＝OD，

?OC＝OA，

在△OCD与△OAB中，?CD＝AB，

?OD＝OB，

∴△OCD≌△OAB(SSS)；

(3)如答图，点C关于x轴的对称点C′的坐标为(0，2)，连结C′D，则C′D与x轴的交点即为点P，此时△PCD的周长最小． 过点D作DQ⊥y轴，垂足为Q，则PO∥DQ. ∴△C′PO∽△C′DQ，

POC′OPO223∴DQ＝，即＝5，解得PO＝5，

C′Q3?23?

?. ∴ 点P的坐标为?－，05??

【中考预测】

设抛物线y＝mx2－2mx＋3(m≠0)与x轴交于点A(a，0)和B(b，0)． (1)若a＝－1，求m，b的值；

(2)若2m＋n＝3，求证：抛物线的顶点在直线y＝mx＋n上；

(3)抛物线上有两点P(x1，p)和Q(x2，q)，若x1＜1＜x2，且x1＋x2＞2，试比较p与q的大小．

解：(1)当a＝－1时，把(－1，0)代入y＝mx2－2mx＋3，解得m＝－1， ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 令y＝0，则由y＝－x2＋2x＋3，得 x＝－1或3，∴b＝3； (2)抛物线的对称轴为x＝1，

把x＝1代入y＝mx2－2mx＋3，得y＝3－m， ∴抛物线的顶点坐标为(1，3－m)． 把x＝1代入y＝mx＋n， 得y＝m＋n＝m＋3－2m＝3－m， ∴顶点坐标在直线y＝mx＋n上； (3)∵x1＋x2＞2，∴x2－1＞1－x1， ∵x1＜1＜x2，∴|x2－1|＞|x1－1|， ∴P离对称轴较近，

当m＞0时，p＜q，当m＜0时，p＞q.

专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用

【经典母题】

某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40

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