2020版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案理北师大版

第一节 数列的概念与简单表示法

[考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

1．数列的有关概念 概念 数列 数列的项 数列的通项 通项公式 前n项和 2.数列的表示方法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法． 3．an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝?

?S1，n＝1，?

含义 按照一定顺序排列的一列数 数列中的每一个数 数列{an}的第n项an 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 ??Sn－Sn－1，n≥2.

4．数列的分 分类标准 项数 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 项与项间的 大小关系 [常用结论] ??an≥an－1，

求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用?

?an≥an＋1.???an≤an－1，

或?

?an≤an＋1?

满足条件 项数有限 项数无限 an＋1＞an an＋1＜an an＋1＝an 其中n∈N *递减数列 常数列

(n≥2，n∈N)

*

(n≥2，n∈N)求解，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．

[基础自测]

*

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列． (2)一个数列中的数是不可以重复的． (3)所有数列的第n项都能使用公式表达．

(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 111

2．已知数列，，，…，1×22×33×4nA.

1

n＋

，…，下列各数中是此数列中的项的是( )

( ) ( ) ( ) ( )

1111

B． C. D． 35424854

1

nn＋

2

B [该数列的通项an＝，结合选项可知B正确．]

3．设数列{an}的前n项和Sn＝n，则a8的值为( ) A．15 B．16 C．49 D．64 A [a8＝S8－S7＝8－7＝15.故选A.] 4．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋3582A. B． C. D． 2353D [∵a1＝1，∴a2＝1＋

－

2

2

2

－

nan－1

(n≥2)，则a5等于( )

a1

＝1＋1＝2；

a3＝1－＝1－＝；

a222a4＝1＋＝1＋2＝3； a3a5＝1－＝1－＝.]

a433

5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.

1

1

2

1

111

5n－4 [{an}是以1为首项，5为公差的等差数列，∴an＝1＋(n－1)×5＝5n－4.]

由an与Sn的关系求通项公式

122

1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n＋n＋3，则数列{an}的通项公式an＝________.

4347

??12，n＝1?15??2n＋12，n≥2

1247

[当n＝1时，a1＝S1＝＋＋3＝.

4312

又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 122?1n－

＝n＋n＋3－?43?415＝n＋. 212

47??12，n＝1，∴a＝?15

n＋??212，n≥2.

n2

2

＋n－3

＋3??

?

]

21

2．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.

33(－2)

n－1

21

[由Sn＝an＋得

33

21

当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，

331??21??2

∴an＝Sn－Sn－1＝?an＋?－?an－1＋?

3??33??322

＝an－an－1. 33

即an＝－2an－1，(n≥2)． 21

又a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.

33

∴数列{an}是以首项为1，公比为－2的等比数列， ∴an＝(－2)

n－1

.]

2

3．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n－2n＋1，求an. [解] 设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn， 当n＝1时，a1＝T1＝3×1－2×1＋1＝2， 当n≥2时，

2

nan＝Tn－Tn－1

＝3n－2n＋1－[3(n－1)－2(n－1)＋1] ＝6n－5，

2

2

6n－5

因此an＝，

n显然当n＝1时，不满足上式． 2，n＝1，??

故数列的通项公式为an＝?6n－5

，n≥2.??n[规律方法] 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段的形式． 易错警示：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误． 由递推关系式求数列的通项公式

【例1】 分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N)； (2)a1＝1，an＝

*

nn－1

an－1(n≥2，n∈N*)；

*

(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N)． [解] (1)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝

nn＋

2

(n≥2)．

1

当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，

232n∴an＝n＋. 22(2)当n≥2，n∈N时，

*

a2a3anan＝a1×××…× a1a2an－1

23n－2n－1n＝1×××…×××＝n，

12n－3n－2n－1当n＝1时，也符合上式，

∴该数列的通项公式为an＝n.

(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2，

故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＋1＝2·3

n－1

，因此an＝2·3

n－1

－1.

[规律方法] 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an. (2)已知a1(a1≠0)，且an＝f(n)，可用“累乘法”求an. an－1(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列． 易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式． ?1? (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln?1＋?，则an等于( )

?

n?

A．2＋ln n C．2＋nln n

(2)若a1＝1，an＋1＝3an＋3(1)A (2)n·3－2·3

nn－1

n＋1

B．2＋(n－1)ln n D．1＋n＋ln n

，则an＝________.

?1??n＋1?，

[(1)∵an＋1－an＝ln?1＋?＝ln???

n?

?n?

?2??3??n?，n≥2，

∴a2－a1＝ln??，a3－a2＝ln??，…，an－an－1＝ln???1??2??n－1?

n??23

∴a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝ln?××…×＝ln n，

n－1??12?

∴an－a1＝ln n?an＝2＋ln n(n≥2)．

将n＝1代入检验有a1＝2＋ln 1＝2与已知符合，故an＝2＋ln n. (2)因为an＋1＝3an＋3

n＋1

，所以n＋1＝n＋1，

33

an＋1anan＋1ana11

所以n＋1－n＝1，又＝，

3333

?an?1

所以数列?n?是以为首项，1为公差的等差数列．

3?3?

an12

所以n＝＋(n－1)＝n－，

333

所以an＝n·3－2·3数列的性质

nn－1

.]

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