05级高数(2-3)下学期期末试卷A

高数模拟题

05级高数(2-3)下学期期末试题 (A卷)

专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________

《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位”

一,填空题 (每题4分,共32分)

1.

若平面x 2y kx 1与平面y z 3成

t

4

角,则k ______ 1/4

u2t2. 曲线x 0ecosudu,y sint cost,z 1 e

x 0y 1z 2

112在t = 0处的切线方程为

zyz z

z xe xyz

3. 方程确定隐函数z = f(x,y)则为____________

e xyz

1

x

4.

交换 dyf

x,y dx的积分次序为_________________________

5．已知L是圆周x2 y2 1,则 L x y2 ds _________

级数6. sin 2 ____________ 收敛

n 1

1

n n 1

n

7. 设幂级数 anx

n 0

的收敛半径是2,则幂级数

ax

nn 0

2n 1

的收敛半径是

8. 微分方程 1 x2 y 1的通解是

1

y arctanx ln x2 1 c1x c2_______________________

2

二．计算题 (每题7分,共63分)

1

,221．讨论函数 f ( x, y ) = 22 x y 0, f ( 0 , 0 ) = 0

x y

在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P。330

222

u x y 2z2．求函数在点P0(1,1,1)处沿P0方向的方向导数，其中O为坐

标原点。

n

3．判别级数 2n 的敛散性. P．544

1 n

n 1

n2

高数模拟题

f1 ydx f1x f2 dy f2dz

4．设u=f(xy,y z)，f(s,t)可微，求du.

5．

欲造一无盖长方形容器,已知其底部造价为3元/m2,側面造价为1元/m2,现想用36元造一容积最大的容器,求它的尺寸.

答：长宽为2M，高为3M。

6. 计算I

4x2 2ylnx dy

2

x2y2

曲线c是从点A a,0 沿椭圆2 2 1的第一象限部分到点B 0,b 的弧段.

ab

解：

将积分路径家直线段Bo与oA,构成正向的闭曲线,由格林公式得,

I

8xdxdy

D

Bo

b

oA0

dy0

8b5

xdx 2ylnRdy 2 b2lnR

b3a

ln x2 y2 dxdy

1

2

7．计算极限lim

0

2

2 x2 y2 1

解:原式=lim d ln r2 rdr lim 2lnudu lim ulnu u |1 2

0 1

0

0

8．试求幂函数

( 1)

n 1

2nx2n 1

(2n 1)的收敛域及和函数。

2x y 2y y 8(1 e)的通解。 9．求微分方程

2

特征方程r 2r 1 0的根为：

r1 r2 1

对应的齐次方程的通解为

x

y (C Cx)eC12

*2x

代入方程确定A 8,B 8y* 8 8e2x 设特解为y A Be

故所求通解为

y (C1 C2x)ex 8 8e2x

三．（本题5分） 已知曲线积分 ( ) 1，求 (x)。

y

sinx (x)dx (x)dy L

x

与路径无关，其中 (x)可导，且

解：由积分与路径无关，故

高数模拟题

Q P

x y

(x)

sinx (x)1sinx

即 －

xxx

dxdx

1sinx x x 一阶线性微分方程通解为： e xedx c x cosx c

代初始条件： ( ) 1 得

c 1　特解为： (x)

1

( cosx 1)x

AB的闭区域D上，2． 设平面上有三个点O(0,0),A(1,0),B(0,1)，在 O求出点M，

使它到点O、A、B的距离平方和为最大。

解：设所求点为M(x,y,) 距离的平方和：

d x2 y2 (x 1)2 y2 x2 (y 1)2(0 x 1,0 y 1 x) 在区域内部求驻点： d1 d1 11 6x 2 0解出x 6y 2 0解出y , x3 y3 33 在该点的函数值d(1/3,1/3)=4/3，

22

d 2y (y 1) 1驻点(0,1/3),与端点函数值比在边界x=0, 0≤y≤1上

较，得该边界上最大值点（0,1）d(0,1)=3。

22

d 2x (x 1) 1驻点(1/3，0),与端点函数值比在边界y=0, 0≤x≤1上较，得该边界上最大值点（1,0），最大值d(1,0)=3。

222

d 3x 2(1 x) (x 1)在边界y=1-x ,0≤x≤1上驻点(1/2,1/2) 与端点函数值比较，得该边界上最大值点是(1,0)、(0,1)。

比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知，该问题最大值点为：A(1,0)、B(0,1)，最大值为3。

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