考研数学公式手册随身看

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目 录

一、高等数学 ......................................................................................1

(一) 函数、极限、连续 ......................................................1 (二) 一元函数微分学 ..........................................................5 (三)一元函数积分学 ..........................................................13 (四) 向量代数和空间解析几何 ........................................20 (五)多元函数微分学 ..........................................................29 (六)多元函数积分学 ..........................................................35 (七)无穷级数 ......................................................................40 (八)常微分方程 ..................................................................47

二、线性代数 ....................................................................................52

(一) 行列式 ........................................................................52 (二)矩阵 ..............................................................................54 (三) 向量 ............................................................................57 (四)线性方程组 ..................................................................60 (五)矩阵的特征值和特征向量 ..........................................62 (六)二次型 ..........................................................................63

三、概率论与数理统计 ....................................................................66

(一)随机事件和概率 ..........................................................66 (二)随机变量及其概率分布 ..............................................70 (三)多维随机变量及其分布 ..............................................72 (四)随机变量的数字特征 ..................................................75 (五)大数定律和中心极限定理 ..........................................78 (六)数理统计的基本概念 ..................................................79 (七)参数估计 ......................................................................81 (八)假设检验 ......................................................................84

经常用到的初等数学公式 ................................................................86

平面几何 ............................................................................91

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一、高等数学

(一) 函数、极限、连续

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与右极限

设 lim f ( x) A, 又A 0(或A 0), 则 一个 0 ,x x0

当x ( x0 , x0 ), 且x x0时，f ( x) 0(或f ( x) 0)

设 lim x) 0,lim ( x) 0 ((1)若 lim

( x) 0, 则 ( x)是比 x)高阶的无穷小， ( ( x) ( x) , 则 ( x)是比 x)低阶的无穷小， ( ( x)

记为 (x)=o( (x)).

(2)若 lim (3)若 lim (4)若 lim

( x) c(c 0), 则 ( x)与 x) 是同阶无穷小， ( ( x) ( x) 1, 则 ( x)与 x)是等价的无穷小， ( ( x) ( x) c(c 0), k 0, 则 ( x)是 x)的k阶无穷小 ( k ( x)

无穷小和 无穷大的 概念及其 关系，无 穷小的性 质及无穷 小的比较

记为 (x) (x)(5)若 lim

常用的等阶无穷小：当x 0时

sin x arcsin x tan x x, arctan x ln(1 x) ex 1

1 cos x

1 2 x 2 1 1 (1 x) n 1 x n

无穷小的性质 (1) 有限个无穷小的代数和为无穷小 (2) 有限个无穷小的乘积为无穷小 (3) 无穷小乘以有界变量为无穷小 Th 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的2

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无穷小的倒数为无穷大lim f ( x) A, lim g ( x) B.则

(1) lim( f ( x) g ( x)) A B ; 极限的四 则运算(2) lim f ( x) g ( x) A B ;

(3) lim

f ( x) A ( B 0) g ( x) B

1 (夹逼定理)设在x0的邻域内，恒有(x) f ( x) ( x),且 lim ( x) lim ( x) A, 则 lim f ( x) Ax x0 x x0 x x0

2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限 极限存在 的两个准 则：单调 有界准则 和夹逼准 则，两个 重 要 极 限： 3 两个重要极限：

(1) lim

sin x 1 x 0 x

(2) lim(1 x) x ex 0

1

a0 b ,n m 0 n n 1 a x a x an 1 x an 重要公式： lim 0 m 1 m 1 0, n m x b x b x bm 1 x bm 0 1 , n m

4 几个常用极限特例

lim n n 1,n x

x

lim arctan x

2

lim arctan x

2

x

lim arc cot x 0,

3

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x

lim arc cot x

x

lim e x 0,

x

lim e x ,

x 0

lim x x 1,

连续函数在闭区间上的性质： (1) (连续函数的有界性)设函数 f x 在 a, b 上连续,则 f x 在 a, b 上有界,即 常数 M 0 ,对任意的 x a, b ,恒有f x M .

函数连续 的概念： 函数间断 点的类 型：初等 函数的连 续性：闭 区间上连 续函数的 性质

(2) (最值定理)设函数 f x 在 a, b 上连续,则在 a, b 上f x 至少取得最大值与最小值各一次,即 , 使得:

f max f x , a, b ;a x b

f min f x , a, b .a x b

(3) (介值定理)若函数 f x 在 a, b 上连续, 是介于 f a 与f b (或最大值 M 与最小值 m )之间的任一实数,则在 a, b

上至少 一个 ,使得 f .

a b

(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数 f x 在 a, b 上连 续,且 f a f b 0 ,则在 a, b 内至少 一个 ,使得

4

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(二) 一元函数微分学

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等函数的 导数，

u vu uv (3) ( ) (v 0) v v2

u vdu udv d( ) v v2dy 0

基本导数与微分表 (1) y c (常数) (2) y x ( 为实数) (3) y a x 特例 (4) y 1 x ln a

y 0

y x 1

dy x 1dx d

y a x ln adx d (e x ) e x dx

y a x ln a (e x ) e x

dy (ln x) y cos x y sin x

1 dx x ln a 1 dx x d (sin x) cos xdx d (ln x) d (cos x) sin xdx

特例 y ln x (5) y sin x (6) y cos x (7) y tan x (8) y cot x (9) y sec x (10) y csc x

1 x

y y

1 sec2 x cos2 x

d (tan x) sec2 xdx

1 d (cot x) csc2 xdx csc2 x sin 2 x y sec x tan x d (sec x) sec x tan xdx d (csc x) csc x cot xdx y csc x cot xy y 1 1 x 1 1 x2 2

(11) y arcsin x (12) y arccos x (13) y arctan x (14) y arc cot x

d (arcsin x) d (arccos x)

1 1 x2 1

dx dx

1 x2

y

1 1 x2 1 1 x2

d (arctan x)

1 dx 1 x2 1 dx 1 x2

y 6

d (arccot x)

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(15) y shx (16) y chx

y chx y shx

d (shx) chxdx d (chx) shxdx

1 反函数的运算法则: 设 y f ( x) 在点 x 的某邻域内单调连 续，在点 x 处可导且 f ( x) 0 ,则其反函数在点 x 所对应的y 处可导，并且有dy 1 dx dx dy

复合函 数，反函 数，隐函 数以及参 数方程所 确定的函 数的微分 法，

2 复合函数的运算法则:若 ( x) 在点 x 可导,而 y f ( ) 在对应点 ( ( x) )可导,则复合函数 y f ( ( x)) 在点 x 可 导,且 y f ( ) ( x)dy 的求法一般有三种方法： dx (1)方程两边对 x 求导， 要记住 y 是 x 的函数， y 的函数是 则

3 隐函数导数

x 的复合函数.例如

1 , y 2 , ln y , e y 等均是 x 的复合函数. y

对 x 求导应按复合函数连锁法则做. (2)公式法.由 F ( x, y) 0 知F ( x, y ) dy x ,其中， Fx ( x, y ) , dx Fy ( x, y )

Fy ( x, y ) 分别表示 F ( x, y ) 对 x 和 y 的偏导数

(3)利用微分形式不变性 常用高阶导数公式 高 阶 导 数，一阶 微分形式 的 不 变 性， (1) (a x ) ( n) a x ln n a (a 0)(e x ) ( n) e x

(2) (sin kx) ( n) k n sin(kx n ) 2 (3) (cos kx) ( n ) k n cos(kx n ) 27

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(4) ( xm ) ( n) m(m - 1) (m - n+1) x m-n(n 1)! xn (6)莱布尼兹公式：若 u ( x) ,v( x) 均 n 阶可导，则

(5) (ln x) ( n) ( 1)( n 1)

i (uv)( n) cnu (i ) v( n-i ) ,其中 u (0) = u , v (0) = v i=0

n

Th1(费马定理)若函数 f ( x) 满足条件： (1)函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域内有定义， 并且在此邻域内恒有f ( x) f ( x0 ) 或 f ( x) f ( x0 ) ,

(2) f ( x ) 在 x 0 处可导,则有 f ( x0 ) 0 Th2 (罗尔定理) 设函数 f ( x) 满足条件： (1)在闭区间 [a, b] 上连续； (2)在 (a, b) 内可导，则在 (a, b) 内 一个 ,使 f ( ) 0 Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数 f ( x) 满足条件： (1)在 [a, b] 上连续；(2)在

( a, b) 内可导；则在 ( a, b) 内 一个f (b) f (a) f ( ) b a Th4 (柯西中值定理) 设函数 f ( x) , g ( x) 满足条件： (1)在 [a, b] 上连续； (2)在 (a, b) 内可导且 f ( x) ,g ( x) 均存在，

微分中值 定理，必 达法则， 泰勒公式

,使

且 g ( x) 0 则在 (a, b) 内 一个 ,使 洛必达法则：

f (b) f (a ) f ( ) g (b) g (a ) g ( )

0 法则Ⅰ ( 型)设函数 f x , g x 满足条件： 0x x0

lim f x 0, lim g x 0 ; f x , g x 在 x 0 的邻域内可导x x0

8

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(在 x 0 处可除外)且 g x 0 ; limf x f x . g x

x x0

f x 存在(或 ).则 g x

x x0

lim

g x

lim

x x0

0 法则 I ( 型)设函数 f x , g x 满足条件： 0lim f x 0, lim g x 0 ; 一个 X 0 ,当 x Xx x

时, f x , g x 可导,且 g x 0 ; limf x f x . g x

x x0

f x 存在(或 ).则 g x

x x0

lim

g x

lim

x x0

法则Ⅱ(

型) 设函数 f x , g x 满足条件： x x0

x x0

lim f x , lim g x ;

f x , g x 在 x 0 的邻域内可f x 存在(或 ).则 g x

导(在 x 0 处可除外)且 g x 0 ; limf x

x x0

x x0

lim

g x

lim

x x0

f x . 同理法则 II ( 型)仿法则 I 可写出 g x

泰勒公式: 设函数 f ( x) 在点 x 0 处的某邻域内具有 n 1阶导 数，则对该邻域内异于 x 0 的任意点 x ,在 x 0 与 x 之间至少 一个 ,使得

9

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f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )

1 f ( x0 )( x x0 ) 2 2!

f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x) n!( n 1) ( ) 其中 Rn ( x) f ( x x0 )n 1 称为 f ( x) 在点 x 0 处的 n (n 1)!

阶泰勒余项.令 x0 0 ,则 n 阶泰勒公式f ( x) f (0) f (0) x 1 f ( n ) (0) n f (0) x 2 x Rn ( x) 2! n!

(1)( n 1) ( ) n 1 , 在 0 与 x 之间.(1)式称为麦克 其中 Rn ( x) f x (n 1)! 劳林公式 常用五种函数在 x0 0 处的泰勒公式

ex 1 x

1 2 1 x n 1 x xn e 2! n! (n 1)!

或 1 x 1 x 2 1 x n o( x n )2! n!

sin x x 或

1 3 xn n x n 1 n 1 x sin sin( ) 3! n! 2 (n 1)! 21 3 xn n x sin o( x n ) 3! n! 2

x

cos x 1

1 2 xn n x n 1 n 1 x cos cos( ) 2! n! 2 (n 1)! 2

10

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或

1

1 2 xn n x cos o( x n ) 2! n! 21 2 1 3 xn ( 1)n x n 1 x x

( 1) n 1 2 3 n (n 1)(1 ) n 11 2 1 3 xn x x ( 1) n 1 o( x n ) 2 3 n

ln(1 x) x

或

x

(1 x)m 1 mx

m(m 1) 2 m(m 1) (m n 1) n x x 2! n!

m(m 1) (m n 1) n 1 x (1 ) m n 1 或 (n 1)!m(m 1) 2 x 2!

(1 x) m 1 mx

m( m 1) ( m n 1) n x o( x n ) n!

1 函数单调性的判断： 函数单调 性的判 别，函数 的极值， 函数的图 形的凹凸 性，拐点 及渐近 线，用函 数图形描 绘函数最 大值和最 小值， Th1 设函数 f ( x) 在 (a, b) 区间内可导，如果对 x (a, b) ,都 有 f '( x) 0 (或 f '( x) 0 ) ,则函数 f ( x) 在 (a, b) 内是单调增 加的(或单调减少) Th2 (取极值的必要条件) 设函数 f ( x) 在 x 0 处可导， 且在 x 0 处取极值，则 f '( x0 ) 0 . Th3 (取极值的第一充分条件)设函数 f ( x) 在 x 0 的某一邻 域内可微，且 f '( x0 ) 0 (或 f ( x) 在 x 0 处连续，但 f '( x0 ) 不 存在.) (1)若当 x 经过 x 0 时， f '( x) 由“+”变“-” ,则 f ( x0 ) 为极大 值； (2)若当 x 经过 x 0 时， f '( x) 由“-”变“+” ,则 f ( x0 ) 为极小 值；11

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(3)若 f '( x) 经过 x x0 的两侧不变号，则 f ( x0 ) 不是极值. Th4 (取极值的第二充分条件)设 f ( x) 在点 x 0 处有 f ''( x) 0 , 且 f '( x0 ) 0 ,则 当 f ''( x0 ) 0 时， f ( x0 ) 为极大值； 当 f ''( x0 ) 0 时， f ( x0 ) 为极小值. 注：如果 f ''( x0 )=0 ,此方法失效. 2 渐近线的求法： (1)水平渐近线 若 lim f ( x) b ,或 lim f ( x) b ,则 y bx x

称为函数 y f ( x) 的水平渐近线. (2)铅直渐近线 若 lim f ( x) , lim f ( x) , x x0 或 则 x x0 x x0

称为 y f ( x) 的铅直渐近线. (3)斜渐近线 若 a limx

f ( x) , b lim[ f ( x) ax] ,则 x x

y ax b 称为 y f ( x) 的斜渐近线

3 函数凹凸性的判断： Th1 (凹凸性的判别定理) 若在 I 上 f ''( x) 0(或 f ''( x) 0 ) , 则 f ( x) 在 I 上是凸的(或凹的). Th2 (拐点的判别定理 1)若在 x 0 处 f ''( x) 0 , (或 f ''( x) 不存 在) ,当 x 变动经过 x 0 时， f ''( x) 变号，则 ( x0 , f ( x0 )) 为拐点. Th3 (拐点的判别定理 2)设 f ( x) 在 x 0 点的某邻域内有三阶导 数，且 f ''( x) 0 , f '''( x) 0 ,则 ( x0 , f ( x0 )) 为拐点12

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(三)一元函数积分学

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xdx ln x C

1

a dx ln a Cx

ax

(a 0, a 1)

e

x

dx ex C

cos xdx sin x C

sin xdx cos x C

cos sin

12

xx

dx sec2 xdx tan x Cdx csc2 xdx cot x C

12

sin x dx csc xdx ln csc x cot x C cos x dx sec xdx ln sec x tan x C1

1

sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C tan xdx ln cos x C cot xdx ln sin x C a 2

dx 1 x arctan C 2 a a x dx x arcsin C a a2 x2

1 x

dx

2

arctan x C arcsin x C

dx 1 x2

a

2

dx 1 a x ln C x2 2a a xdx2

1 x

dx

2

1 1 x ln C 2 1 x

x a2

ln x x 2 a 2 C

重要公式(1)设f ( x)在[ l , l ]上连续，则

l

l

f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx0

l

14

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f )为奇函数 0,当(x l 当( )为偶函数 2 0 f ( x)dx, f x

(2)设(x)是以T为周期的连续函数，a为任意实数，则 f

a T

a

f ( x)dx f ( x)dx 2 f ( x)dx. T0 2a

T

T

(3)

0

a 2 x 2 dx

1 a2 4

n 1 n 3 1 n n 2 2 2 , 当n为偶数 (4) 2 sin n xdx 2 cos n xdx 0 0 n 1 n 3 2 当n为奇数 1, n n 2 3

(5) sin nx cos mxdx -

2

0

, n m sin nx cos mxdx 0, n m

sin nx cos mxdx

2

0

sin nx cos mxdx 0 , n m cos nx cos mxdx 0 0, n m

cos nx cos mxdx

2

0

1. 定积分的基本性质(1)定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即

定积分的 概念和基 本性质， 定积分中 值定理

b

a

f ( x)dx f (t )dt f (u)du a ab a a b

b

b

(2) f ( x)dx f ( x)dx (3) dx b aa b

(4) [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dxa a a

b

b

b

15

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(5) kf ( x)dx k f ( x)dx(k为常数)a a

b

b

(6) f ( x)dx

f ( x)dx f ( x)dxa a c

b

c

b

(7)比较定理：设f ( x) g ( x), x [a, b], 则 f ( x)dx g ( x)dx.a a

b

b

推论：1.当f ( x) 0,x [a, b]时， f ( x)dx 0; a

b

2. | f ( x)dx | | f ( x) |dxa a

b

b

(8)估值定理：设m f ( x) M , x [a, b], 其中m, M 为常数，则 m(b a) f ( x)dx M (b a)a b

(9)积分中值定理：设f ( x)在[a, b]上连续，则在[a, b]上至少 一个 , 使 f ( x)dx (b a) f ( )a b

f ( )

1 b f ( x)dx 平均值公式 b a a

Th1

设函数(x)在[a,b]上连续，x [a,b],则变上限积分 f积分上限 的函数及 其导数， 牛顿—— 莱布尼兹 公式

F x) f (t )dt对x可导 ( a

x

且有F '( x)

x d d F ( x) ( f (t )dt ) f ( x) a dx dx

推论1

设F ( x)= ( x) ( x)

( x)

a

f (t )dt , 则F '( x) f [ ( x)] '( x).

推论2 ( 推论3 ( a

f (t )dt )'x f [ ( x)] '( x) f [ ( x)] '( x) f (t ) g ( x)dt )'x ( g ( x) 16 ( x)a

( x)

f (t )dt )'x

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g '( x)

( x)

a

f (t )dt g ( x) f [ ( x)] '( x)

Th2 设f ( x)在[a, b]上连续，x [a, b],则

x

a

f ( x)dt是f ( x)在[a, b]上的一个原函数

Th3 牛顿-莱布尼茨公式:设f ( x)在[a, b]上连续， ( x) F

是f ( x) 的原函数，则 b f ( x)dx F ( x) |b F (b) F (a) a a1 不定积分： 分部积分法： udv uv vdu 选择 u,dv 的原则：积分 容易者选作 dv,求导简单者选为 u 换元积分法： 设 f (u )du F (u ) C ,则 f [ ( x )] '( x )dx

f [ ( x)]d ( x)

不定积分 和定积分 的换元积 分法与分 部积分法

设u ( x) f (u )du F (u ) C F [ ( x)] C2. 定积分 换元法: 设函数(x)在[a,b]上连续，若x=(t)满足： f

(1) (t )在[ , ]上连续，且 '(t ) 0.(2) (a) a ( ) b.并且当t在[ , ]上变化时，

t)的值在[a,b]上变化 ，则 (

b

a

f ( x)dx

f [ (t )] '(t )dt.

分部积分公式17

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设(x),(x)在[a,b]上具有连续导函数u '( x), v '( x), 则 u v

a

b

a u( x)v '( x)dx u ( x)v( x) |b v( x)u '( x)dx b

a

3. 定积分不等式证明中常用的不等式

(1)a2 b2 2ab(3)柯西不等式：( f ( x) g ( x)dx) 2 a b

(2)a 0, a

1 2 a

b

a

f 2 ( x) dx g 2 ( x)dx ,a

b

其中(x),(x)在[a,b]上连续 f g

1. 三角函数代换 函数 f ( x ) 含根式 所作代换 三角形示意图

有理函 数，三角 函数的有 理式和简 单无理函 数的积 分，广义 积分和定 积分的应 用

a2 x2

x a sin t

a2 x2

x a tan t

x2 a2有理函数积分

x

a sect

(1) (2)

A dx A ln | x a | C x aA A 1 dx C (n 1) n ( x a) n 1 ( x a) n 118

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0ati.html