导数，微积分公式Word 文档

四、基本求导法则与导数公式

１. 基本初等函数的导数公式和求导法则

基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1)

(C)??0 (3) (sinx)??cosx (5)

(tanx)??sec2x (7) (secx)??secxtanx

xx (9)

(a)??alna (log1ax)?? (11)

xlna

(arcsinx)??1 (13)

1?x2

(arctanx)??1 (15)

1?x2

函数的和、差、积、商的求导法则 设

u?u(x)，

v?v(x)都可导，则

（1） (u?v)??u??v? （2）（3）

（4）(uv)??u?v?uv? 反函数求导法则

(x?)???x??1 (cosx)???sinx

(cotx)???csc2x

(cscx)???cscxcotx

(ex)??ex

(lnx)??1x，

(arccosx)???11?x2

(arccotx)???11?x2(Cu)??Cu?（C是常数）

???u??u?v?uv??v??v2 (2) (4) (6) (8) (10)

(12) (14) (16)

I? 若函数x??(y)在某区间y内可导、单调且?(y)?0，则它的反函数

y?f(x)在对应区间

f?(x)?1Ix内也可导，且

dydx?1dxdy??(y) 或

复合函数求导法则

u? 设y?f(u)，而

y?f[?(x)]?(x)且f(u)及?(x)都可导，则复合函数

的导数为

dydxdydu???(x) dudx或y??f?(u)??三、高阶导数的运算法则 （1）??u?x??v?x???（3）??u?ax?b????n??n??u?x?n?n??v?x??n? （2）??cu?x????n??n??cu?n??x?

?au?n?n?ax?b? （4）??u?x??v?x?????k?0cnuk?n?k??x?v(k)?x?

四、基本初等函数的n阶导数公式 （1）?xn??n??n!

（2）?eax?b??n??a?enax?b (3)?ax??n??alnaxn

(4)??sin?ax?b????n????n?asin?ax?b?n??

2??

(5) ??cos?ax?b????1?(6)???ax?b??n??n????n?acos?ax?b?n??

2??n???1?a?n!n?ax?b?n?1n?1

(7) ??ln?ax?b????n????1?a??n?1?!n?ax?b?n

五、微分公式与微分运算法则

⑴d?c??0 ⑵d?x????x??1dx ⑶d?sinx??cosxdx ⑷d?cosx???sinxdx

⑸d?tanx??sec2xdx ⑹d?cotx???csc2xdx ⑺d?secx??secx?tanxdx ⑻d?cscx???cscx?cotxdx ⑼d?ex??exdx ⑽d?ax??axlnadx ⑾d?lnx??1xdx ⑿d?logax??1xlnadx

11?x2⒀d?arcsinx??⒂d?arctanx??11?x11?x22dx ⒁d?arccosx???1dx

dx ⒃d?arccotx???1?x2dx

六、微分运算法则

⑴d?u?v??du?dv ⑵d?cu??cdu ⑶d?uv??vdu?udv ⑷d????v??u?vdu?udvv2

七、基本积分公式

⑴?kdx?kx?c ⑵?xdx?⑷?adx?x?x??1??1?c ⑶?dxx?lnx?c

axxx?c ⑸?edx?e?c ⑹?cosxdx?sinx?c

lna⑺?sinxdx??cosx?c ⑻?⑼?⑾?1sinx21cosx11?x2dx??sec2xdx?tanx?c

??cscxdx??cotx?cdx?arcsinx?c2 ⑽?2dx?arctanx?c

11?x2

八、补充积分公式

?tanxdx??lncosx?c ?cotxdx??c

lnsix?nlncsx?c ccx?o tc?secxdx?lnsecx?tanx?a12 ?cscxdx??x2dx?1aarctanxa?c

?x?12?a12dx?12alnx?ax?a2?c

?1a?x22dx?arcsinxa?c

x?a22dx?lnx?x?a2?c

九、下列常用凑微分公式 积分型 ?f?ax?b?dx?1a?f?ax?b?d?ax?b? 换元公式 u?ax?b u?x???f?x??x??1dx?1??f?x??d?x? ? f?lnx??1xxdx??f?lnx?d?lnx? f?e?d?exxu?lnx??f?ef?ax??edx??? xu?eu?ax x??adx?x?lna1f?ax?d?a? x?f?sinx??cosxdx??f?sinx?d?sinx? ????f?cosx??sinxdx???f?cosx?d?cosx? f?tanx??secxdx?2u?sinxu?cosx u?tanx??f?tanx?d?tanx? f?cotx?d?cotx? u?cotxf?cotx??cscxdx?2f?arctanx??11?x2dx??f?arctanx?d?arctanx? u?arctanx ?f?arcsinx??11?x2dx??f?arcsinx?d?arcsinx? u?arcsinx 十、分部积分法公式

⑴形如?xneaxdx，令u?xn，dv?eaxdx

形如?xnsinxdx令u?xn，dv?sinxdx 形如?xncosxdx令u?xn，dv?cosxdx ⑵形如?xnarctanxdx，令u?arctanx，dv?xndx 形如?xnlnxdx，令u?lnx，dv?xndx

⑶形如?eaxsinxdx，?eaxcosxdx令u?eax,sinx,cosx均可。 十二、重要公式 （1）limsinxxx?0

?1 （2）lim?1?x?x?e （3）limna(a?o)?1

x?0n??1（4）limnn?1 （5）limarctanx?n??x???2 （6）limarctanx??x????2

（7）limarccotx?0 （8）limarccotx?? （9）limex?0

x??x???x???（10）limex?? （11）limxx?1

x???x?0?（12）lima0x?a1xb0x?b1xmnn?1m?1???an???bmx???a0?b0????0?????n?mn?m （系数不为0的情况） n?m十三、下列常用等价无穷小关系（x?0）

sinx?x1?coxs? tanx?x arcsinx?x arctanx?x

12x2 ln?1 十四、三?x??x ex?1?x ax?1?xlna角函数公式

1.两角和公式

sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB tan(A?B)?cot(A?B)?tanA?tanB1?tanAtanBcotB?cotA sinA(?B?) cosA(?B?)sAincoAstanA?coAt?cB?oscB?ostaBncBo?tcAotAco sB BAsin

tanA(?B?)1?taAncoBt?tBancotA?cotB?1 cotA(?B?)

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