第四章 刚体的转动 问题与习题解答

10级应用数学本1、2班《普通物理（含实验）B》 第五版 刚体的转动

第四章 刚体的转动 问题与习题解答

问题：4-2、4-5、4-9

4-2

如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外F3F1力矩为零，其合外力是否也一定为零？

oF2o答： F4一个刚体所受合外力为零，其合力矩不一定为零，如图a所示。刚体所受合外

ba力矩为零，其合外力不一定为零，例如图b所示情形。 4-5

为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能的改变只与外力矩有关，而与内力矩无关？ 答：

因为合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量；而质点系中内力一般也做功，故内力对质点系的动能的增量有贡献。而在刚体作定轴转动时，任何一对内力对转轴的力矩皆为一对大小相等、方向相反的力矩，且因定轴转动时刚体转过的角度d?都一样，故其一对内力矩所作的功Wij?Mijd??Mjid??(Mij?Mji)d??0，其内力功总和也为零，因而根据刚体定轴转动的动能定理可知：内力矩对其转动动能的增量无贡献。 4-9

一人坐在角速度为?0的转台上，手持一个旋转的飞轮，其转轴垂直地面，角速度为??。如果突然使飞轮的转轴倒转，将会发生什么情况？设转台和人的转动惯量为J，飞轮的转动惯量为J?。 答：

（假设人坐在转台中央，且飞轮的转轴与转台的转轴重合）视转台、人和飞轮为同一系统。 （1）如开始时飞轮的转向与转台相同，则系统相对于中心轴的角动量为：

inL1?J?0?J???

飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是??，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为?1，则系统的角动量为：

L2?J?1?J???

在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：

J?1?J????J?0?J???

即

?1??0?2J???，转台的转速变大了。 J（2）如开始时飞轮的转向与转台相反，则系统相对于中心轴的角动量为：

L1?J?0?J???

飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是??，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为?1，则系统的

1

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角动量为：

L2?J?1?J???

在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：

J?1?J????J?0?J???

即

?1??0?2J???，转台的转速变慢了。 J习题：4-1、4-2、4-3、4-4、4-5、（选择题）

4-11、4-14、4-15、4-17、4-27、4-30、4-34

4-1

有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：

（1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 对上述说法，下述判断正确的是（ B ）

（A）只有（1）是正确的 （B）（1）、（2）正确，（3）、（4）错误 （C）（1）、（2）、（3）都正确，（4）错误 （D）（1）、（2）、（3）、（4）都正确 4-2

关于力矩有以下几种说法：

（1）对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度； （2）一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；

（3）质量相等、形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同。 对上述说法，下述判断正确的是（ B ）

（A）只有（2）是正确的 （B）（1）、（2）是正确的 （C）（2）、（3）是正确的 （D）（1）、（2）、（3）都是正确的 4-3

均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是（ C ）

（A）角速度从小到大，角加速度不变 （B）角速度从小到大，角加速度从小到大 （C）角速度从小到大，角加速度从大到小 （D）角速度不变，角加速度为零 4-4

一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计。如图射来两个质量相同、速度大小相同、方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，在子弹射入后的瞬间，对于圆盘和子弹系统的角动量

L以及圆盘的角速度?则有（ C ） 4-3图 4-4图 （A）L不变，?增大 （B）两者均不变

oAmom 2

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（C）L不变，?减小 （D）两者均不确定 4-5

假设卫星环绕地球中心作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的（ B ） （A）角动量守恒，动能守恒 （B）角动量守恒，机械能守恒

（C）角动量不守恒，机械能守恒 （D）角动量不守恒，动量也不守恒 （E）角动量守恒，动量也守恒 4-11

用落体观测法测定飞轮的转动惯量，是将半径为R的飞轮支承在点O上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为m的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动（如图）。记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量。试写出它的计算式。（假设轴承间无摩擦） 解：

（方法一）如图，设绳子张力为FT,则根据转动定律，有： FTR?J?

而对m来说，根据牛顿定律，有：

RFTamhtmgmg?FT?ma

另有： a?R? 由上三式解出：

mgR2a?，

mR2?Jm作匀加速直线运动，故下落的时间t和距离h的关系为：

h?at2/2，

1mgR2?t2 即： h??22mR?J所以，飞轮的转动惯量为：

?gt2?J?mR??1?

?2h?2（方法二）根据能量守恒定律，将地球、飞轮和m视为同一系统，且设m开始下落的位置为重力势能的零势能

点， 则有：

?mgh?121mv?J?2?0 222另有： v?R?，v?at，v?2ah， 故解出：

3

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?gt2?J?mR??1?

?2h?2

4-14

质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半

R径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。 解： A、B及组合轮的受力情况如右图所示，根据牛顿运动定律及刚体的转动定律，得：

FT2F'T2a2P2rBFT1m1g?FT1?m1a1 FT2?m2g?m2a2 FT1R?FT2r?(J1?J2)?

又因为：a1?R?,a2?r? 联立求解，得：

F'T1AP1a1a1?(m1R?m2r)gR(m1R?m2r)gra?， 2J1?J2?m1R2?m2r2J1?J2?m1R2?m2r22(J1?J2?m2Rr?m2r2)m1g(J1?J2?mR1?mRr1)mg2， FT1?F?T1J1?J2?m1R2?m2r2J1?J2?m1R2?m2r2

4-15

如图所示装置，定滑轮的半径为r，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为m1和m2的物体A、B。A置于倾角为?的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为?，若B向下作加速运动

m1?(a)m2FT1Am1gsin?m1g(b)FNFT1FT2FT2Bm2g时，求：（1）其下落的加速度大小；（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑） 解：

用隔离法分析A、B和定滑轮的受力，如图（b）所示。 由牛顿定律和刚体的定轴转动定律，得：

FT1?m1gsin???m1gcos??m1a， m2g?FT2?m2a，

4

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FT2r?FT1r?J?,

而由于绳子不可伸长，故有：

a??r，

联立上几式，可得：

a?m2g?m1gsin???m1gcos?，

Jm2?m1?2rJr2mgJm1m2g(1?sin???cos?)?22r FT2?Jm2?m1?2rm2?m1?FT1?m1m2g(1?sin???cos?)?(sin???cos?)m1gJr2

4-17

一半径为R、质量为m的匀质圆盘，以角速度?绕其中心轴转动，现将它平放在一水平板上，盘与板表面的摩擦因数为?。（1）求圆盘所受的摩擦力矩；（2）问经多少时间后，圆盘转动才停止？ 解：

（1）取面元dS为细圆环，dS?2?rdr， 所受摩擦力矩的大小为

O?dFrdrrRrm2?gm2?dS??rdr， 22?RR2?gmR22?gmR所以， M??dM? ?rdr?R2?03dM?r??gdm?r??g（2）由角动量定理，得：

?M?t?0?J?， 而 J?mR2，所以，有：

2?t?J?3?R? M4?g 4-27

一质量为1.12kg，长为1.0m的均匀细棒，支点在棒的上端点，开始时棒自由悬挂。当以100N的力打击它的下端点，打击时间为0.02s时，（1）若打击前棒是静止的，求打击时其角动量的变化；（2）求棒的最大偏转角。 解：

（1）设打击后细棒获得的初角速度为?0，由角动量定理，得：

?hl0AF

5

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1?L??Mdt?Fl0??t?ml02?0，

3求得 ?0?3F??tml0

2?1所以， ?L?Fl0??t?100?1.0?0.02?2.0(kg?m?s)；

（2）细棒的上摆过程，机械能守恒：

l1122?ml0??0?mg0(1?cos?)， 232解得：

3F2?(?t)20??arccos[1?]?8838? 2mgl0 4-30

如图所示，一质量为m的小球由一绳索系着，以角速度?0在无摩擦的水平面上，绕以半径为r0的圆周运动。如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，小球则以半径为r0/2的圆周运动。试求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所作的功。 解：

（1）因为F指向转轴O点，故其力不产生力矩，则根据角动量守恒定律，有：

??mr0oFJ0?0?J1?1,

即 mr0?0?m(0)解得： ?1?4?0；

（2）由刚体转动的动能定理，得其拉力所作的功为：

2r2?1， 2W? 4-34

11322 J1?12?J0?0?mr02?0222O如图所示，有一空心圆环可绕竖直轴OO?自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始的角速度为?0，今有一质量为m的小球静止在环内A点，由于微小扰动使小球向下滑动。问小球到达B、C点时，环的角速度与小球相对

于环的速度各为多少？（假设环内壁光滑。） 解：

取环、小球为转动系统，重力与转轴平行，合外力矩为零，故根据角动量守恒定律，有：

BRCO

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J0?0?(J0?mR2)?B，

取环、小球和地球为同一系统， 根据系统的机械能守恒定律，得：

111222 J0?0?mgR?(J0?mR2)?B?mvB2221112222（或： J0?0?mgR） ?(R?B)2为m在B点的速率。?J??[mB2v?(?R] v?vB0BB)，

222解出此时环的角速度为：

?B?J0?0(J0?mR2)

22J0?0R小球相对于环的线速度为：vB?2gR? J0?mR2同理，小球在C点时，有：

J0?0?(J0?0)?C，

解出：

111222 J0?0?2mgR?J0?C?mvC222?C??0，vC?4gR

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