2020中考数学 专题练习：二次函数的综合应用（解析版）

2020中考数学 专题练习：二次函数的综合应用（解析版）

【例题1】二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（ ）

A．1

B．2 C．3 D．4

【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，可判断①；根据对称轴是x=﹣1，可得x=﹣2、0时，y的值相等，所以4a﹣2b+c＞0，可判断③；根据﹣

=﹣1，得出

b=2a，再根据a+b+c＜0，可得b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，可判断②；x=﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④． 【解答】解：∵图象与x轴有两个交点， ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0， ①正确； ∴﹣

=﹣1，

∴b=2a， ∵a+b+c＜0，

∴b+b+c＜0，3b+2c＜0， ∴②是正确； ∵当x=﹣2时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0， ∴4a+c＞2b， ③错误；

∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，

∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）． ∴m（am+b）＜a﹣b．故④错误 ∴正确的有①②两个， 故选B．

【例题2】荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：

，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数

关系如图所示：

（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？

（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．

【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；

（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断； （3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；

（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b， 将（1，198）、（80，40）代入，得：

，

解得：

，

∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；

（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，

①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450， ∴当t=30时，w最大=2450；

②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100， ∴当t=41时，w最大=2301， ∵2450＞2301，

∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．

（3）由（2）得：当1≤t≤40时， w=﹣（t﹣30）2+2450，

令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400， 解得：t1=20、t2=40，

由函数w=﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，

而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400， ∴t的取值范围是20≤t≤40， ∴共有21天符合条件．

（4）设日销售利润为w，根据题意，得：

w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m， 其函数图象的对称轴为t=2m+30， ∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，

∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40， 解得：m≥5， 又m＜7， ∴5≤m＜7．

【例题3】如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标； （3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

【分析】（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；

（2）过P作PC⊥y轴于点C，由条件可求得∠PAC=60°，可设AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；

（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则可表示出F

的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出△PAB的面积，利用S四边形PAMB=S△PAB+S

△AMB

，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．

【解答】解：

6）B0）（1）根据题意，把A（0，，（6，代入抛物线解析式可得∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+6， ∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8， ∴抛物线的顶点坐标为（2，8）；

（2）如图1，过P作PC⊥y轴于点C，

，解得

，

∵OA=OB=6， ∴∠OAB=45°，

∴当∠PAB=75°时，∠PAC=60°， ∴tan∠PAC=

，即

=

，

设AC=m，则PC=∴P（

m，

m，6+m），

m）2+2

m+6，解得m=0或m=

把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=﹣（﹣，

经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去， ∴所求的P点坐标为（4﹣

， +）；

（3）当两个支点移动t秒时，则P（t，﹣ t2+2t+6），M（0，6﹣t），

如图2，作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则EF=EB=6﹣t， ∴F（t，6﹣t），

∴FP=t2+2t+6﹣（6﹣t）=﹣t2+3t，

∵点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，

∴S△PAB=FP?OE+FP?BE=FP?（OE+BE）=FP?OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t，且S△AMB=AM?OB=×t×6=3t，

∴S=S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB=﹣t2+12t=﹣（t﹣4）2+24， ∴当t=4时，S有最大值，最大值为24．

【例题4】如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点． （1）求 的值；

（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；

（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：

①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； ②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由两抛物线解析式可分别用a和b表示出A、B两点的坐标，利用B为OA的中点可得到a和b之间的关系式；

（2）由抛物线解析式可先求得C点坐标，过C作CD⊥x轴于点D，可证得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性质可得到关于a的方程，可求得OA和CD的长，可求得△OAC的面积；

（3）①连接OC与l的交点即为满足条件的点P，可求得OC的解析式，则可求得P点坐标；

②设出E点坐标，则可表示出△EOB的面积，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，可先求得BC的解析式，则可表示出EN的长，进一步可表示出△EBC的面积，则可表示出四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及E点的坐标． 【解答】解：

（1）在y=x2+ax中，当y=0时，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a， ∴B（﹣a，0），

在y=﹣x2+bx中，当y=0时，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b， ∴A（0，b）， ∵B为OA的中点， ∴b=﹣2a，

∴ ；

（2）联立两抛物线解析式可得 ，消去y整理可得2x2+3ax=0，解得x1=0，

，

当 时， ，

∴ ， ，

过C作CD⊥x轴于点D，如图1，

∴ ， ，

∵∠OCA=90°， ∴△OCD∽△CAD， ∴

，

∴CD2=AD?OD，即 ，

∴a1=0（舍去）， （舍去）， ，

∴ ， ，

∴ ； （3）①抛物线 ： ， ∴其对称轴 ： ，

点A关于l2的对称点为O（0，0）， ， ， 则P为直线OC与l2的交点， 设OC的解析式为y=kx， ∴ ，得 ，

∴OC的解析式为 ，

当 时， ，

∴ ， ；

②设 ， ， ，

则 ，

而 ， ， ， ，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

，解得 ， ， 由 ∴直线BC的解析式为 ，

过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，

则 ，即x= ， ∴EN= ，

∴

∴S四边形OBCE=S△OBE+S△EBC= =

， ∵ ，

∴当 时， 最大 ，

当 时， ，

∴ ， ， 最大 ．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）中分别表示出A、B的坐标是解题的关键，在（2）中求得C点坐标，利用相似三角形的性质求得a的值是解题的关键，在（3）①中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）②中用E点坐标分别表示出△OBE和△EBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．

巩固练习

一、选择题：

1.抛物线y=﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（ ） A．（，﹣3） B．（﹣，﹣3）

C．（，3）

D．（﹣，3）

【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：y=﹣（x+）2﹣3是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣，﹣3）． 故选B．

2. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣

＜0，正确的是（ ）

A．①② B．②④ C．①③ D．③④

【分析】①由抛物线开口向上可得出a＞0，结论①正确；②由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得出c＜0，结论②错误；③由抛物线与x轴有两个交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④由抛物线的对称轴在y轴右侧，可得出﹣上即可得出结论．

【解答】解：①∵抛物线开口向上，

＞0，结论④错误．综

∴a＞0，结论①正确；

②∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴， ∴c＜0，结论②错误； ③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确； ④∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴﹣

＞0，结论④错误．

故选C．

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发， 且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）

A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm

=

=

，

【分析】根据已知条件得到CP=6﹣t，得到PQ=于是得到结论．

【解答】解：∵AP=CQ=t， ∴CP=6﹣t， ∴PQ=∵0≤t≤2，

∴当t=2时，PQ的值最小， ∴线段PQ的最小值是2故选C．

==，

，

4.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由x=﹣1时y＞0可判断③，由x=﹣2时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．

【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣∴4a﹣b=0，所以①正确；

∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，

∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确； ∵由②知，x=﹣1时y＞0，且b=4a， 即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＞0， 所以③正确；

由函数图象知当x=﹣2时，函数取得最大值， ∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，

即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；

=﹣2，

∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=﹣2， ∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ∴y1＜y3＜y2，故⑤错误； 故选：B．

0）5.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，，其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②4a+b+c=0； ③a﹣b+c＜0；

④抛物线的顶点坐标为（2，b）； ⑤当x＜2时，y随x增大而增大． 其中结论正确的是（ ）

A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤

【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=﹣4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=5时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．

【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），

∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；

②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，

∴﹣=2，c=0，

∴b=﹣4a，c=0，

∴4a+b+c=0，结论②正确；

③∵当x=﹣1和x=5时，y值相同，且均为正， ∴a﹣b+c＞0，结论③错误；

④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b， ∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；

⑤观察函数图象可知：当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误． 综上所述，正确的结论有：①②④． 故选C． 二、填空题：

6.经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 y=﹣x2+x+3 ．【分析】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．

【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， 把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣，

则抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3， 故答案为y=﹣x2+x+3．

7.飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 20 秒．

【分析】将s=60t﹣1.5t2，化为顶点式，即可求得s的最大值，从而可以解答本题． 【解答】解：解：s=60t﹣t2=﹣（t﹣20）2+600， ∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600． 故答案是：20．

8.对于函数y=xn+xm，我们定义y'=nxn﹣1+mxm﹣1（m、n为常数）．

例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x． 已知：y=x3+（m﹣1）x2+m2x．

（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为 ；

（2）若方程y′=m﹣有两个正数根，则m的取值范围为 且 ．

【分析】根据新定义得到y′=x3+（m﹣1）x2+m2=x2﹣2（m﹣1）x+m2， （1）由判别式等于0，解方程即可；

（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论． 【解答】解：根据题意得y′=x2﹣2（m﹣1）x+m2， （1）∵方程x2﹣2（m﹣1）x+m2=0有两个相等实数根， ∴△=[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2=0， 解得：m=， 故答案为：；

（2）y′=m﹣，即x2+2（m﹣1）x+m2=m﹣， 化简得：x2+2（m﹣1）x+m2﹣m+=0， ∵方程有两个正数根，

＜

∴ ＞

，

解得： 且 ．

故答案为： 且 ．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键．

9.如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是 ②⑤ ．（只

填写序号）

【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．

【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．

观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．

根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误， 观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，

因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确， 所以②⑤正确， 故答案为②⑤．

10.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为 24﹣8 cm．

【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣

x2+x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8 ，

据此可得点E到洗手盆内侧的距离．

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，

由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36， ∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG， ∴BQ=12﹣8=4，

由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG， ∴

=，即=，

∴CG=12，OC=12+8=20， ∴C（20，0），

又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24）， ∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，

把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得

， ，解得

2

∴抛物线为y=﹣x+x+24，

又∵点E的纵坐标为10.2， ∴令y=10.2，则10.2=﹣

x2+x+24，

解得x1=6+8 ，x2=6﹣8 （舍去）， ∴点E的横坐标为6+8 ， 又∵ON=30，

∴EH=30﹣（6+8 ）=24﹣8 ． 故答案为：24﹣8 ．

【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．

三、解答题：

1.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点C和点D的坐标；

（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标． 注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣

，

）

【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；

（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标； （3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．

【解答】解：（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得解得：

，

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）令x=0，则y=3， ∴C（0，3），

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）；

（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0）， S△COE=×1×3=，S△ABP=×4y=2y， ∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×， ∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，

解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2， ∴P（2，3）．

2.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式；

y）（2）若点P（x，是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；

（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．

【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；

（2）过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，则可证明△PHQ∽△BAO，设H（m， m+3），利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；

（3）设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C′点的坐标，利用（2）中所求函数关系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值． 【解答】解： （1）由题意可得

∴直线解析式为y=x+3；

（2）如图1，过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，

，解得

，

则∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°， ∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°， ∴△PQH∽△BOA， ∴

=

=

，

设H（m， m+3），则PQ=x﹣m，HQ=m+3﹣（﹣x2+2x+1）， ∵A（﹣4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d， ∴

=

=，

， ，

整理消去m可得d=x2﹣x+=（x﹣）2+∴d与x的函数关系式为d=（x﹣）2+∵＞0，

∴当x=时，d有最小值，此时y=﹣（）2+2×+1=∴当d取得最小值时P点坐标为（，

）；

，

（3）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，

∴CE+EF=C′E+EF，

∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小， ∵C（0，1）， ∴C′（2，1），

由（2）可知当x=2时，d=×（2﹣）2+即CE+EF的最小值为

．

=，

3.如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；

（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；

（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标． 【解答】解：

（1）∵矩形OBDC的边CD=1， ∴OB=1， ∵AB=4，

∴OA=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；

（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2， ∴E（﹣2，2），

∴直线OE解析式为y=﹣x，

由题意可得P（m，﹣ m2﹣m+2）， ∵PG∥y轴， ∴G（m，﹣m）， ∵P在直线OE的上方，

∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+∵直线OE解析式为y=﹣x， ∴∠PGH=∠COE=45°， ∴l=

PG=

[﹣（m+）2+

]=﹣

（m+）2+；

，

，

∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为

（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，

则∠ALF=∠ACO=∠FNM， 在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS）， ∴MF=AO=3，

∴点M到对称轴的距离为3， 又y=﹣x2﹣x+2， ∴抛物线对称轴为x=﹣1，

设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4， 当x=2时，y=﹣

，当x=﹣4时，y=

）或（﹣4，﹣

， ）；

∴M点坐标为（2，﹣

②当AC为对角线时，设AC的中点为K， ∵A（﹣3，0），C（0，2）， ∴K（﹣，1）， ∵点N在对称轴上， ∴点N的横坐标为﹣1， 设M点横坐标为x，

∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2， ∴M（﹣2，2）；

综上可知点M的坐标为（2，﹣

）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．

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