高二数学立体几何专题资料：平行与垂直的综合应用

平行与垂直的综合应用

[基础要点]

指出每个箭头方向表示的定理： ⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼ ⑾ 题型一、平行关系的综合应用

⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽ ⑿

CA1

A

例1、如图示，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，点E、F分别是棱上CC1,BB1的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2

（1）当点M在何位置时，MB∥平面AFE

（2）若MB∥平面AFE，判断MB与EF的位置关系，说明理由，并求MB与EF所成角的余弦值。

变式:如图示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？

题型二、垂直关系的综合应用

例2、如图示，已知平行六面体ABCD A1BC11D1的底面ABCD是菱形，且 C1CB C1CD BCD （1）求证：C1C BD

B1

FB

A

E

F

B

G

CH

D

D

（2）当

CD

的值为多少时，能使AC 平面C1BD?请给出证明 1

CC1

变式：平面 内有一个半圆，直径为AB，过A作SA⊥平面 ，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影 （1）求证：NH⊥SB

（2）这个图形中有多少个线面垂直关系？ （3）这个图形中有多少个直角三角形？ （4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？

题型三、空间角的问题

例3、如图示，在正四棱柱ABCD A1BC11D1中

，

A

B

D

AB 1,B1B ，1E为BB1上使B1E 1的点，平面AEC1

F

交DD1于F，交A1D1的延长线于G，求： （1）异面直线AD与C1G所成的角的大小 （2）二面角A C1G A1的正弦值

变式：如图示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，SB

A⊥面ABCD，SB=AB,设Q为SD的中点，M为AB的中点，

（1）求证：MQ∥平面SBC

（2）求证：平面SDM⊥平面SCD （3）求锐二面角S－M－C的大小

题型四、探索性、开放型问题

例4、已知正方体中ABCD A1BC11D1，E为棱CC1上的动点， （1）求证：A1E⊥BD

E

B1

C1

D1

S

C

AB

EBD (2) 当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面

（3）在棱CC1上是否存在一个点E，可以使二面角A1 BD E的大小为45？如果存在，

试确定E在棱CC1上的位置；如果不存在，请说明理由。

变式:已知△ABC中， BCD 90 ,BC CD 1,AB⊥平面BCD， ADB 60,E、F分别是AC、AD上的动点，且

AEAF

(0 1) ACAD

（1）求证：不论 为何值，总有平面BEF⊥平面ABC （2）当 为何值时，平面BEF⊥平面ACD?

[自测训练]

1、若直线a与平面 , 所成的角相等，则平面 与 的位置关系是（ ） A、 //

B、 不一定平行于 C、 不平行于 D、以上结论都不正确

2、在斜三棱柱ABC A1B1C1, BAC 90,又BC1 AC,过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H ，则H一定在（ ） A、直线AC上 B、直线AB上 C、直线BC上 D、△ABC的内部 3、有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线③过平面 的一条斜线有一个平面与平面 垂直，基中真命题的个数是（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 4、如图示，平面 ⊥平面 ，A ,B ,AB与两平面 , 所

A

成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为

46

A ,B ，则AB:A B （ ）

A、2:1

B、3:1

C、3:2

D、4:3

B

5、已知平面 , 和直线l,m，使 // 的一个充分条件是（ ） A、l//m,l// ,m// C、l//m,l ,m

B、l m,l// ,m// D、l m,l// ,m

6、正三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ） A、１：３

B

、1:(3

C

、1):3

D

、1):3

7、如图示，正四面体ABCD的棱长为１，平面 过棱AB，且CD∥ ，

则正四面体上的所有点在平面 内的射影构成的图形面积为

8、如图示，直三棱柱ABB1 DCC1中， ABB1 90,AB 4,

BC 2,CC1 1DC上有一动点P，则△APC1周长的最小值是

1

DC

B

9、在正棱锥S－ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，AM⊥MN，若SA

10、PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分别是AB、CD和PC的中点，

P

（１）求证：MN∥平面PAD （２）若二面角P－DC－A为

C1

S

CB

，求证: 4

D

N

平面MND⊥平面PDC

11、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB,AG⊥SD

12、四棱锥P－ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD,CD⊥AD，CD=2AB,PA⊥面ABCD，E为PC中点， （１）求证：平面PDC⊥平面PAD （２）求证：BE∥平面PAD

（３）假定PA=AD=CD,求二面角E－BC－C的平面角的正切值

E

C

A

MB

S

D

E

C

B

G

A

P

E

C

A

B

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