2014.4.3北师大实验中学黄荣《三角形》教材分析

西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3

第十一章 《三角形》 教材分析

北师大实验中学 黄荣

一、本章内容的地位与作用：

三角形是几何最基本的图形之一，是研究其它复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个

内角之和为定值，边与角之间有密切的联系，反映三角形的边与角关联的基本知识有：三角形三边关系定理及推论、三角形的内角和定理及推论等，它们在线段、角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用。

二、本章主要内容、重点、难点及数学思想

1．重点：

画任意三角形的高、中线、角平分线，三角形三边关系，三角形的内角和定理及推论，多边形的内角和与外角和公式． 2．难点：

画钝角三角形的高，三角形三边关系的应用，三角形的内角和定理及推论的应用． 3．基础知识：

与三角形有关的线段，有关的角，多边形的有关概念，多边形的内角和与外角和公式． 4．基本技能：

会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，会画出任意三角形的高、中线、角平分线．会证明三角形内角和定理及推论，能灵活运用三角形的边与角知识进行线段、角度的计算。 5．基本的数学思想：

类比的思想（如多边形的有关概念可类比三角形的有关概念给出）；方程的思想（计算三角形的边、角时常用）；转化的思想（如多边形的内角和转化为三角形的内角和，三角形的内角和转化为平角或同旁内角）；数形结合的思想（以数定形，以形驭数）；建模的思想（从实际问题中建立三角形的模型，如：方位角）；分类讨论的思想（如给出等腰三角形的两个边，应对哪个边是腰进行分类）．

6．基本实践活动（如镶嵌等）．

三、数学课程标准对本章的要求：

1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。 2.探索并证明三角形内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形任意两边的和大于第三边。 3.了解三角形重心的概念。

4．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。掌握两个锐角互余的三角形是直角三角形。

四、三角形在中考中的要求

1.基本要求：

1

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了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边或角对三角形进行分类；理解三角形内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的重心. 了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。掌握两个锐角互余的三角形是直角三角形。 2.略高要求：

会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题； 会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能依据条件分解与拼接简单图形。

五、新旧教材对比： 节 课时 新教材主要内容 旧教材主要内容 引言 本章内容介绍 本章内容介绍 整体没变，文字上略有变化，并强调本章要通过推理和证明来获得三角形的相关结论 11.1与11. 1.1三角形1．三角形三边关系 三角形三边关系 三角形的边 2．三角形按边分类（在正文中新增、（关于分类，在正文有关的提法有变化按角分类也放到正文中的边上的云朵中提示大线段 思考部分，提升了分类整合的要求） 家总结） 3．有例题（新增了对边的关系运用能力的训练，培养学生分类思想和用三边关系检验结论的基本技能） 11. 1.2.三角形1．三角形的高、中线与角平分线的概三角形的高、中线与的高、中线与角念 角平分线的概念 平分线 2．三角形的重心（新增） 11.2与11. 2.1三角形1．三角形的内角和定理的证明 1．三角形的内角和定三角形的内角 2．直角三角形的两锐角互余（新增） 理的证明 有关的3．有两个角互余的三角形是直角三角2．例题一道 角 形（新增） 4．例题三道（新增两道） 11. 2.2三角形1．三角形的外角定义 1．三角形的外角定义 的外角 2．三角形的外角等于与它不相邻的两2．三角形的外角等于 个内角的和 与它不相邻的两个内 3．例题一道（新增） 角的和 4．习题-复习巩固中有十一道习题（新3．三角形的一个外角增两道） 大于与它不相邻的任何一个内角（新教材已删掉） 4．习题复习巩固中有九道例题 阅读与思考---为什么要证明（新增）

2

西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3 11.3多11. 3.1多边形 多边形及有关概念 多边形及有关概念 边形及其内角和 11. 3.2多边形1．多边形的内角和定理 1．多边形的内角和定的内角和 2．多边形的外角和定理 理 3．数学活动内容是镶嵌 2．多边形的外角和定理 3．课题学习内容是镶嵌 4．数学活动内容是木棍拼图（新教材已删掉） 小结 回顾与内容---内容详细，对学生的学习回顾与内容---内容简 具有指导性 单。 章总复 习题十二道（新增四道） 习题十道（其中两道习 新教材已删掉） 六、知识结构图

三角形的边 三角形三边关系 正 多 与三角形有高 垂心 边 关的线段 形 中线 重心 对角线 三 角角平分线 内心 线段 多边 形 形 三角形内角和 多边形内角和 与三角形有 关的角 角 三角形外角和 多边形外角和

七、课时安排

本章教学时间约需8-9课时，具体分配如下（仅供参考）： 11.1 与三角形有关的线段 3课时 11.2 与三角形有关的角 2课时 11.3 多边形及其内角和 2课时 小结与复习 1-2 课时

3

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八、总的教学建议：

1． 加强与实际的联系，从实践中来到实践中去.

三角形有很多重要的性质，如稳定性，三角形的内角和等于180o．学生可以通过观察、实验体会这些性质，明白在工程建筑、机械制造中经常采用三角形结构的道理，并解决与求角有关的实际问题．

2．加强与已学内容的联系，但要学会用新的知识解决问题．

学生在前两个学段已学过三角形的一些知识，对三角形的许多重要性质有所了解，在第三学段又学过线段、角以及相交线、平行线等知识，初步了解了一些简单几何和平面图形及其基本特征，会进行简单的说理．

上述内容是学习本章的基础：三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关；用拼图的方法认识三角形的内角和等于180o，可以启发学生得出证明这个结论正确的方法，关键是拼接结果中蕴含了添加辅助线的方法，而证明的过程中要用到平行线的性质与平角的定义．关注本章内容与已学内容的联系，有助于学生掌握本章所学内容．另一方面，通过本章内容的学习，学生又可以进一步丰富对图形的认识和感受，同时复习巩固已学的内容．

3．加强推理能力的培养．

在本章中加强推理能力的培养，一方面可以提高学生已有的水平，另一方面又可以为学生正式学习证明作准备。

4．把握好教学要求．

与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到了解（认识）的程度就可以了，进一步的要求可通过后续学习达到。如在本章中知道什么是三角形的角平分线就可以了，如学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，就直接肯定这个结论，对这个结论的证明在后面学习“全等三角形”一章时再介绍．同样，三条中线交于一点的结论也可直接点明，同时要让学生认识这个点是三角形的重心．

九、内容安排简单介绍

●11.1.1三角形的边

1．定义三角形、三角形的边、顶点、内角等概念： cb (1) 由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 说明：三个条件缺一不可。 (得到封闭图形) CBa (2) 三角形的边、顶点、内角(简称三角形的角)

图1

(3) 表示：①△ABC

②顶点A所对的边a = ∠A所对的边a = ∠A的对边(让学生说∠B、∠C的对边) ∠A、∠B、∠C的邻边 2．三角形的分类（按边分；按角分） 3．三边关系

(1) 问：是任意的三条线段，都可以实现首尾顺次相接组成三角形吗？ (2) 用两点之间线段最短证明三边关系定理 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 表示：a?b?c，a?c?b，b?c?a 推论：三角形任意两边之差小于第三边.

表示：a?b?c,a?c?b,b?a?c,b?c?a, c?a?b,c?b?a

4

A 西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3

例1．一个等腰三角形的周长为18cm．

（1）已知腰长是底边的2倍，求各边长；（3.6cm、7.2cm、7.2cm） （2）已知其中一边长4cm，求其他两边长．（7 cm、7cm） 例2．（1）若三角形三边分别为3，x－2，5，求x的范围；（4

（2）若三角形两边长为5和7，求最长边x的取值范围；（7≤x<12） （3）等腰三角形腰长为3，求周长l的范围．（6

●11.1.2三角形的高、中线与角平分线

这是三角形中重要的三种线段，教学时始终应坚持对文、图、式的把握.

1．高，小学时已有接触，结合所学的垂线的画法，首先让学生画出各类三角形的三条高，从而去理解概念的合理性和严密性。

A AAF

FF CDEB O C(O)BBDCEO

(1) 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作的垂线段，叫做这条边上的高. (2) 图：应注意标垂足和直角符号，是线段. (3) 表示：如，AD是△ABC的边BC上的高. (4) 说明：①不同的三角形，三条高的位置不同；

②三条高所在的直线交于一点(垂心)，位置各不相同. ③可出一些变式题，让学生思考. 书写格式：①∵AD是△ABC的高，

∴AD⊥BC（或∠ADB＝90o，或∠ADC＝90o）

②∵△ABC中，AD⊥BC于D（或∠ADB＝90o，或∠ADC＝90o） ∴AD是△ABC的高．

2．三角形的中线

(1) 定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做这条边上的中线. (2) 图：中点 中线

(3) 表示：AD是△ABC的中线 = AD是△ABC中BC边上的中线 = D是边BC的中点 (4) 说明：①三角形的中线一定在形内；

②三条中线共点(重心)，一定在形内.(可让学生做模型体会重心)

③三角形的中线可以将三角形分成两个面积相等的三角形，同时在将来的学习中，

中线也有很重要的用处.(如倍长中线)

A书写格式：①∵AD是△ABC的中线（ ）

1∴ ＝ ＝ （ ）

2②∵ ＝ （ ） ∴AD是△ABC的中线（ ）

FOBDEC5

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3．三角形的角平分线

(1) 定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点与交点的线段，叫做三角形这个内角的平分线.

A (2) 图：射线 线段

(3) 表示：AD是△ABC的角平分线

FE (4) 说明：①三角形的角平分线一定在形内；

O ②三条角平分线共点(内心)，一定在形内.

CB ③三角形的角平分线(线段) ≠ 角的平分线(射线) D书写格式：①∵AD是△ABC的角平分线（ ）

∴∠ ＝∠ ＝

1∠ （ ） 2A②∵∠ ＝∠ （ ）

M∴AD是△ABC的角平分线（ ）

例1．如图所示,CM是△ABC的中线, △BCM的周长比△ACM的周长大3cm, BC=8cm,求AC. BC

例2．在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线。已知∠BAC＝88°，∠B＝55°，求∠DAE的大小.

●11.1.3 三角形的稳定性

1．组织学生通过实验去感受三角形的稳定性和四边形的不稳定性，发现收集生活中的应用实例； 2．如何使不稳定的多边形变得稳定（多边形的三角形拆分）；

3．可向学生说明，三角形的稳定性是可以严格证明的.(利用全等三角形的“边边边”判定)

A例1．已知：△GEF，分别作出此三角形的高GH，中线EM，角平分线FN．

E

例2．如图，AD、BE分别是△ABC的高，AD=4，BC=6，AC=5． 求BE的长．（

24） 5BADC例3．（1） 画出△ABC的中线AD、BE交于M点，分别量一量线段

EAM和MD、线段BM和ME的长，从中你能发现什么结论？

MA（AM=2MD，BM=2ME，三角形的重心分中线的比为2:1）

CBD

FE（2）画出△ABC的角平分线BE、CF交于O点，请量一量点O到△ABC三边 O的距离，从中你能发现什么结论？（相等．内心到三角形三边的距离相等） B

A（3） 将一个三角形各边的中点顺次连结可得到一个新的三角形，通常将它称为“中 点三角形”，如图，△DEF是△ABC的中点三角形．通过观察，你发现△DEF的三边

DF与原△ABC的三边有怎样的位置关系（例如DE与AC）？（平行）通过度量，你又

发现△DEF的边及角与原△ABC的边及角之间有怎样的数量关系（例如DE与AC， ∠A与∠DEF）？（△DEF的边是△ABC对应的边的

C1；它们对应的角相等） 2BE6

C 西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3

●11.2.1 三角形的内角

本节的重点是证明和熟练运用“三角形内角和为180?”. 1．让学生回忆小学所学过的这个定理，引导他们证明.

2．在证明的过程中，一定要充分地向学生展示分析的思路，并体会各种证法异同点. 3．可让学生利用内角和定理证明“直角三角形的两个锐角互余”、“有两个角互余的三角形是直角三角形。

例1．在△ABC中，∠A-∠B=∠B-∠C=15°，求∠A、∠B、∠C． C(∠A=75°，∠B=60°，∠C=45°) 北例2如图，C岛在A岛的北偏东50°的方向，B岛在A岛的北偏东80°的方D向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？（90?）

A

●11.2.2 三角形的外角

1．三角形的外角的实质就是内角的邻补角.

外角的特征：(1) 顶点是三角形的一个顶点；(2) 一条边就是三角形的边；(3) 另一边是三角形某边的延长线.

2．应该有一些基本的判断题和问题，帮助学生理解外角的概念，如： (1) 判断下列图中∠1、∠2是三角形的外角吗？

1 21

(2) 问：三角形每个顶点处有几个外角，它们之间有什么关系？(向学生说明我们考虑外角的原则) (3) 三角形的外角中至少有多少个钝角？若一个三角形的三个外角都是钝角，则这个三角形是什么三角形？

3．由邻补角的定义和三角形内角和定理推导外角的性质定理. (1) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

(2) 三角形的外角和为360?.(可利用上面外角的性质(1)，以及内角和定理证明；也可以用邻补角的定义，以及内角和定理证明) A例1．已知：如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，

E∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求（1）∠BDC的度数(97°)

D（2）∠BFD的度数（63°)

EF

BC例2．已知：如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， A且CE交BA的延长线于点E．证明：∠BAC>∠B．

DBC

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北EB 西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3

A例3．如图，试探究∠A+∠B+∠C与∠ADC之间的关系，并说明理由．

（相等．证明略）

D BC●11.3.1 多边形

1．本节的教学，要以三角形为基础，可以仿照三角形建立多边形的有关概念，如多边形、多边形的边、内角、外角、内角和、外角和等都可同三角形类比，让学生理解这些概念。

2．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.如果这个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.（n≥3，且n为整数） 说明：

(1) 为什么多边形的概念中要提到“在平面内”，而三角形却不必强调；

(2) 三角形是最简单的多边形，因此很多有关多边形的问题都应转化为三角形来研究，同时它也一般不叫做“三边形”.

3．介绍如何辨别凹凸多边形，并强调我们研究的类型.

4．对角线是多边形(n>3)所特有的概念，它的重要之处是将多边形的问题转化为三角形的问题来解决，此处可以引申讲解一些问题，如：

(1) 从n边形的任一顶点，可以引多少条对角线，它们将多边形分成了几个三角形；

(2) n边形一共有多少条对角线？(

n(n?3)，数的方法一定要抓住概念中“不相邻的两个顶点”2来考虑)

5．正多边形的概念一般说来必须同时满足“各边相等”和“各角相等”，只有三角形例外，满足其一即可. 说明：

(1) 只满足“各边相等”的反例：菱形； (2) 只满足“各角相等”的反例：矩形.

●11.3.2 多边形的内角和

A5A5A4A4一．多边形的内角和定理

1．通过对多边形内角和公式的探究和推导，让学生充分的体

A3An会三角形在研究多边形问题的过程中所发挥的重要作用，在探AnO究的过程中应让学生充分的讨论，发现不同的证法. A1A1A2A2A5A5说明：可以将各种证法统一起来，即点O在不同的位置.

A4A4 2．利用内角和以及邻补角的定义，推导外角和公式，引导学生体会变与不变的关系. AnA3An练习：1．正八边形的内角和是多少度？它的每一个内角是多

A1A1A2A2O少度？（1080°；135°）

2．一个多边形的内角和等于1800°，则它是几边形？（十二）

二．多边形的外角和定理

多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360° n?180??(n?2)?180??360?

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A3OA3 西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3

练习：1.多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于多少度？（720°）

2.多边形的每个内角都等于140°，则这个多边形为几边形？对角线共有多少条？（九；27） 例题选讲 例1．（1）如图1，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_________°；（360）

（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=_________°．（360）

811 227

6363

5 445

图1 图2

例2.如图3，猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°请说明你猜想的理由．

如果把图3称为2环三角形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；图4称为2环四边形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H，则2环四边形的内角和为_________°；2环五边形的内角和为_________°；2环n边形的内角和为_________°． （360；720；1080；360（n-2））

A B EAEBF

H FGDD CC 图3 图4 例3．（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005o，求多边形的边数．（13．提示： 2005÷180=11??25，n-2=11，n=13）

（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570?，求这个没有计算在内的内角的度数. （130o ．提示： 2570÷180=14??50，180o-50o =130o） 例4．若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是______.

（七．提示：从外角考虑，外角中最多有三个钝角，加上四个锐角，最多有七个外角）

三角形习题课

例题选讲

例1（1）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和15的两部分，求三角形各边的长．（8,8,11或10,10,7）

（2）已知：在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求△ABC各边的长．（

AD141420cm，cm，cm333B

C或6cm，6cm，4cm）

练习：已知：在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差

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为4cm的两个三角形，求△ABC各边的长.（

例2（相关练习：《诊断》p10第18题）

（1）如图6，若P为△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB平分线的交点， ?A?70?,求?P的度数。 AB（2）（相关练习：《诊断》p11第20题）

如图，若P为△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB平分线的交点， BC?A?n?,求?P的度数。

E

（3）（相关练习：《诊断》p11第19题） P如图，若P为△ABC内角∠ABC平分线和外角∠ACE平分线的交点， ?A?58?,求?P的度数。

B 例3（《诊断》单元测验第24题） 如图，?ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H作HG?AC，垂足为G，那么?AHE=?CHG吗？为什么？

A

例4（变式训练：《诊断》p12第23题）

如图,在?ABC中，AD、AE分别是?ABC的高和角平分线. （1） 若?B=30°，?C=50°，求?DAE的度数. （10°）

B（2） 试问?DAE与?C-?B有怎样的数量关系？说明理由.

C例5（变式训练：《诊断》p11第21题） 如图，已知线段AD、BC相交于点Q，DM平分?ADC，BM平分?ABC，M且?A=30°，?M=34°，求?C的度数.（38°）

练习：（变式训练：《诊断》单元测验第25题）

如图所示，已知?1??2，?3??4，?C?30?，?D?26?， 求?P的度数.（28°）

补充练习： ※三角形的边

1．下列各组线段能组成三角形的是（ ）．

A．5cm，8cm，12cm B．2cm，3cm，6cm C．3cm，3cm，6cm D．4cm，7cm，11cm

A20208cm，cm，cm或4cm，4cm，8cm（舍）） 333AP图6CFAPCEBFHDEGACEDCDQBCA1234PBD2．已知三角形的两边的长分别为2cm和7cm，设第三边的长为x cm，则x的取值范围是( )．

A.2＜x＜7 B.5＜x＜7 C.5＜x＜9 D.7＜x＜9

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3. 有两根长度分别为2，10的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是（ ）. A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 4．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（ ）． （A）13 （B）17 （C）22 （D）17或22

5．如右图，木工师傅做门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD， 使其不变形。这种做法的依据是（ ）

AEFBCDA．三角形的稳定性。 B．长方形的四个角都是直角。 C．长方形的对称性。 D．两点之间线段最短。

6．已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形共有_______个． 参考答案：1.A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.3

※三角形的角

1．在△ABC中，若∠A∶∠B＝5∶7，∠C－∠A＝10°，则∠C等于( )． A．75° B．60° C．50° D．40° 2．具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） ．．A．∠A=

11∠B=∠C B． ∠A:∠B:∠C=1:1:2 23o

C．∠A+∠B=∠C D．∠A+∠B=2∠C，∠A－∠B=30 3.如图,在?ABC中,BD是?ABC的平分线,DE//BC ,交AB于点E,?A?60??BDC?105?,则?BDE?( )

A． 30? B.45? C.150? D.135?

E

A D

4. 如图，在△ABC中，AD、BE分别是AB边上的高和AC边上的角平分线， 0 0

若∠ABC=50, ∠C=70,则∠AEB等于（ ）

A.75° B.85° C. 95° D. 120°

B AC E 7题图4题图 0 5. 如图，在△ABC中，角平分线BD和CE相交于点I,IF⊥BC于点F．若∠ABC=50, 0

∠A=70,则∠CIF等于（ ）

BDCAEA.30° B.40° C. 50° D. 60°

BIDF7题图C6. ?ABC中，

,

,?C? .

5题图 7．如图，AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝130°，

则∠DBC的度数为______°．

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8.△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5：2：3，那么这个三角形是_______三角形。

9.已知：?ABC中，?A?60?，高BE、CF所在的直线交于点O，且O不与B、C 两点重合，则A?BOC?____________°

10．将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A?，

若∠C=120°，∠A=26°，则?A?DB的度数为 。 11. 如图,?ABC中,?ABC=?BAC,?BAC的外角平分线

B10题图 DE1交BC的延长线于点D,若?ADC=?CAD,

2则?ABC等于 度.

BCAECA'ADFD12．如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD平分∠BAC， AE⊥BC于E， EF⊥AD于F，则∠AEF=__________．

BEC13．⊿ABC中，∠B＝60°，AD⊥BC于D，∠CAD＝20°，则∠ACB的度数为_______.

12题图

14．在△ABC中，∠A －∠C =35°，∠B －∠C =10 °， 求∠B 的度数是多少？

15. 如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=AC=BD，∠BAC=63°，求∠DAC的度数. 16.如图，AD⊥BD，AE平分∠BAC，∠B=30，∠ACD=70。求∠AED的度数。

A0

0

AEDCEBBDC 第15题图 第16题图 第17题图

17. 如图△ABC中，AB=AC，D、E分别为BC、AC边上的点，且AD=AE，连结DE，当?BAD?22o时，求?EDC的度数.

18．已知：如图，△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B＝50°，∠C＝80°，求∠DAE的度数。

19．已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O．若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE的度数．

B

AOAFCEDCBED 第18题图 第19题图 第20题图

12

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20．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD交AB于E，交AC于F，交BC的延长线于H．

1求证：∠H＝（∠ACB－∠B）．

2参考答案：1.B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.40o 7 . 6.50o 8.直角 9.120o或60o 10.112o 11.36o 12.70o 13. 70o或110o 14．45o 15.24o 16.50o 17.∠EDC=11o 18.∠DAE=15o 19. 10o,60o 20.略 ※多边形

1．一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数为（ ）．

A．6 B．7 C．8 D．9 2.已知一个正多边形的每个内角是150°，那么它的边数是（ ） A、9 B、10 C、11 D、12

3．如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570?，则这个没有计算在内的内角

的度数为 .

4.一个多边形的内角和是900°，那么它的边数是 。 5. 如图,一个顶角?A为90的直角三角形纸片,剪去这个角后 得到一个四边形,则?BEF??CFE的度数是 度.

BEC?AF6.已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，求这个多边形的边数。 参考答案：1.D 2.D 3. 50o 4.7 5. 270o 6.n=10 ※图形的运动与变化

1. 一个三角形内有n个点，在这些点及三角形顶点之间用线段连接起来，使得这些线段互不相交，且又能把原三角形分割为不

重叠的小三角形. 如图：若三角形 内有1个点时，此时有3个小三角 形；若三角形内有2个点时，此时

n=3 n=1 n=2

有5个小三角形. 则当三角形内有 第1题图 99个点时，此时有 个小三角形. 2．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；

（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

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A

O C

图a

B

A P B

C D 图b

B P Q

图c

A B D

C D

图d F E FDP

D C

A

3． 如图，已知△ABC，D为AB边上一点，∠BDC=∠ACB，过点D作直线DF， (1) 若DF∥AC，判断∠FDA与∠BCD之间存在的数量关系，并证明；

(2)若将直线DF绕这点D旋转(不含与AB、CD重合的情况)，交射线CA于点H， 判断∠ADH、∠AHD、∠BCD之间存在的数量关系并证明.（如有需要，请自己画图）

B

4．△ABC中，∠BAC＝∠ACB．

(1)如图，E是AB延长线上一点，连结CE，∠BEC的平分线交BC于点D，交AC于点P．求证：∠CPD＝90°－

AC1∠BCE； 2(2)若E是射线BA上一点(E不与A、B重合)，连结CE，∠BEC的平分线所在直线交BC于点D，交CA所在直线于点P．∠CPD与∠BCE有什么关系?请画出图形，给出你的结论，并说明理由．

参考答案：1.2n+1

（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E. 又∵∠AGB=∠CGF.

∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°

∴∠A+∠B+∠C+∠D∠E+∠F=360°.

3．解：（1）∠FDA=∠BCD； （2）∠BCD=∠ADH+∠AHD．

2.解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D. （2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.

14. (1)(2)结论：??CPD?90???BCE.

2※三角形与角平分线问题：

1．已知: 如图, ∠ABC和∠ACB的平分线交于点O, EF经过点O且平行于BC， 分别与AB、AC交于点E、F。

AOEBFC（1）若∠ABC = 50?,∠ACB = 60?,求∠BOC的度数；

（2）若∠ABC =α,∠ACB =β,用α、β的代数式表示∠BOC的度数。 2.如图△ABC中，内角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分线交于点P, AP交BC于D.过B作BG⊥AP于G

(1) 若∠GBP=45o，求证：AC⊥BC；

PEBDGACF14 西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3

(2) 在图上作出△PDC在PC边的高DH,并探究∠APB和∠HDC的数量关系，并说明理由； 3.如图（1），△ABC中，?ABC的角平分线与?ACB的外角?ACD的平分线交于A1 . (1) 写出∠A1与∠A之间的数量关系 .

(2) ?A1BC的角平分线与?A1CD的角平分线交于A2，?A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继

续下去可得A4、??、 An，请写出?An与?A的数量关系 .

(3) 如图（2），若E为BA延长线上一动点，连EC，?AEC与?ACE的角平分线交于Q，当E

滑动时有下面两个结论：

①?Q+?A1的值为定值；

②?Q-?A1 的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并加以证明.

EAA1AQA1B

CDBCD图（1） 图（2）

4．如图: 已知△ABC中，?ABC的n 等分线与?ACB的n 等分线分别相交于G1, G2, G3, … , Gn?1，试猜想：?BGn?1C 与?A的关系．(其中n 是不小于2 的整数) 首先得到：当n = 2时，如图1，?BG1C = ______________， 当n = 3时，如图2，?BG2C = _____________， ……

如图3，猜想 ?BGn?1C = ___________________ ．

A

A

G2

A Gn?1

……

… G1 G2 G1

G1

C B 图1 C C 图2 图3 B B

5.如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动.

（1）若∣x＋2y－5∣＋∣2x－y∣＝0，试分别求出1秒钟后，A、B两点的坐标.

（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由.

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（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由.

参考答案： 1. (1) ∠BOC =125

o

(2) ∠BOC=180?011??? 222. (2)∠APB=∠HDC 3. (1) ∠A1=

011∠A, (2) ?An?n?A, (3) ∠Q+∠A1=180° 2212180?n?1?A；60???A；??A 23nn5.(1)A(-1,0), B(0,2); (2) ∠P=45°;(3) ∠AGH=∠BGC.

4．90?※三角形的中线与面积问题：

1． 如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点， 且SΔABC＝4cm2，则阴影面积SΔEBF=______ cm2．

2．如图，在△ABC中,E是BC上一点，EC=2BE，点D是AC中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S?ABC，S?ADF，S?BEF，且S?ABC=12，则S?ADF?S?BEF= _______.

BEFCD1题图

A参考答案：1.1. 2.2

※作图题：

1．分别画出△GEF的高GH，高FA ，中线EM，角平分线FN． 过点F作EG的平行线FA

A2. 已知△ABC中，?ABC为钝角.请你按要求作图(不写作法， 但要保留作图痕迹)： (1)作BC边的高线AD;

(2)作?ABC的角平分线交AC于E;

CB16

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(3)取AB中点F,连结CF．

3．要求：铅笔作图；可以借助带刻度的直尺和三角板；

A已知△ABC（如图），求作： (1) △ABC的中线AD； (2) △ABD的角平分线DM； (3) △ACD的高线CN。

B （4）若C?ADC?C?ADB?3，且AB=4，则AC=____________。

4．用三种不同的方法将△ABC均分成面积相等的四个小三角形，画出分割线即可。 AAA BCBCBC C17

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