数字信号处理习题与答案

3 .已知

单位抽样响应为

，通过直接计算卷积和的办法，试确定

的线性移不变系统的阶跃响应。

9．列出下图系统的差分方程,并按初始条件 求输入为

时的输出序列

,并画图表示。

解：系统的等效信号流图为：

解：根据奈奎斯特定理可知：

6. 有一信号,它与另两个信号

和的

关系是:

其中

，

已知

，

解：根据题目所给条件可得：

而

所以

8. 若

是因果稳定序列，求证：

证明

:

∴

9．求

的傅里叶变换。

解：根据傅里叶变换的概念可得：

13. 研究一个输入为

和输出为

的时域线性离散移不变系

统，已知它满足

并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。 解：

对给定的差分方程两边作Z变换，得：

，

为了使它是稳定的，收敛区域必须包括

即可求得

16. 下图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，求系统函数。当

时，求系统单位冲激响应 , 画出系统零极点图和频率响

应曲线。

由方框图可看出：差分方程应该是一阶的

则有

因为此系统是一个因果稳定系统 ; 所以其收敛

17．设是一离散时间信号，其z变换为

求它们的z变换：

，对下列信

号利用(a)

，这里△记作一次差分算子，定义为：

(b) (c) 解：

(a)

{

(b)

，

(c)

由此可设

1.序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

~

解: X(k)

n 0

5

~x(n)W6nk

n 0

5

j2 nk

~x(n)e6

j2 k

14 12e6 j2 2k

10e6 j2 3k 8e6 j2 4k 6e6 j2 5k

10e6

计算求得:

~2.设x(n) R4(n),x(n) x((n))6 .

~~

试求X(k)并作图表示~x(n),X(k)。

~~~

X(0) 60;X(1) 9 j33; X(2) 3 j3 ;~~~

X(3) 0 ; X(4) 3 j3 ;X(5) 9 j3 。

~

解: X(k)

n 0

x(n)W6nk ~

5

n 0

j

~x(n)e

5

2 nk

6

~~~

计算求得：X(0) 4 ; X(1) j3 ; X(2) 1 ;

~~~

X(3) 0 ; X(4) 1 ; X(5) j3 。

j k

1 e3 j2 k e3

e j k

n 1,0 n 4

3.设x(n) ,h(n) R4(n 2),

0，其它n

~

令~x(n) x((n))6,h(n) h((n))4,

~

试求~x(n)与h(n)的周期卷积并作图 。 解：在一个周期内的计算

~~~y(n) ~x(n)*h(n) h(n m)~~~y(n) ~x(n)*h(n)

h(n m)

7

x(n), 0 n 5

设有两序列 x(n)

0, 其他n

y(n), 0 n 14

y(n)

0, 其他n

各作15点的DFT,然后将两个DFT相乘,再求乘积的IDFT,设所得结果为f(n),问f(n)的哪些点对应于x(n) y(n)应该得到的点。

解：序列x(n)的点数为N1 6,y(n)的点数为N2 15

故又

x(n)*y(n)的点数应为：N N1 N2 1 20f(n)为x(n)与y(n)的15点的圆周卷积，即L 15

所以，混叠点数为N L 20 15 5。用线性卷积结果 以15 为周期而延拓形成圆周卷积序列 f(n) 时，一个周期 内在n 0到n 4( N L 1)这5点处发生混叠，即f(n) 中只有n 5到n 14的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点。

8.已知x(n)是N点有限长序列,X(k) DFT[x(n)]。现将

长度变成rN点的有限长序列y(n) x(n), 0 n N-1

y(n)

0, N n rN-1

试求DFT[y(n)](rN点DFT)与X(k)的关系。

解: X(k) DFT x n Y(k) DFT y(n)

x(n)

n 0rN 1

N 1

j2 nkeN

N 1n 0

0 k N 1

n 0

nk

y(n)WrN

x(n)W

nkrN

n 0

N 1

jnx(n)eNr

k X()

r

k lr(l 0,1,

N 1)

在一个周期内,Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍(Y(k)的周期为Nr),相当于在X(k)的每两个值之间插入(r 1)个其他的数值k(不一定为零），而当k为r的整数l倍时，Y(k)与X()相等。

r

9已知x(n)是长为N点的有限长序列,X(k) DFT[x(n)]现将x(n)的每两点之间补进r 1个零值点,得到一个长为rN点的有限长度 x(n/r), n ir, 0 i N

序列y(n) , y(n)

0, 其他n试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。解: X(k) DFT x n Y(k) DFT y(n)

N 1n 0

n 0

nk

x(n)WN

,0 k N 1

rN 1

nk

y(n)WrNN 1i 0

x(ir/

i 0

N 1

irkr)WrN

x(i)W

ikN

,0 k rN 1

Y(k) X((k))NRrN(k)

Y(k)是将X(k)(周期为N)延拓r次形成的，即Y(k)周期为rN。

10.频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样,计算了512个抽样的DFT,

试确定频谱抽样之间的频率间隔,并证明你的回答。

证明 :

s2 f s s

F0 0fs

F0

02

其中 s是以角频率为变量 的 频谱的周期,

0是频谱抽样之间的频谱间隔。fs s NF0 0 F0 对于本题:

fsN

fs 8KHz

N 512

8000

F0 15.625Hz

512

11.设有一谱分析用的信号处理器,抽样点数必须为2的整数幂,

假定没有采用任何殊数据处理措施,要求频率分辨力 10Hz,如果采用的抽样时间间隔为0.1ms,试确定(1)最小记录长度;

(2)所允许处理的信号的最高频率;

(3)在一个记录中的最少点数。

11

解: (1) TP 而F 10Hz TP s

F10

最小纪录长度为 0.1s

11 103 10KHzT0.1

1

fs 2fh fh fs 5KHz

2

允许处理的信号的最高频率为5KHz (2) fs

TP0.1 103 1000,又因N必须为2的整数幂T0.1

一个纪录中的最少点数为:N 210 1024 (3) N

用直接I型及典范型结构实现以下系统函数

3 4.2z 1 0.8z 2

H(z)

2 0.6z 1 0.4z 2

1 2

1.5 2.1z 1 0.4z 2 1.5 2.1z 0.4z

H(z) 1 2 1 21 ( 0.3z 0.2z) 1 0.3z 0.2z解：

H(z)

∵

1 anz n

n 1

m 0

N

bz

n

M

m

Y(z)X(z)

∴a1 0.3 ，a2 0.2

4(z 1)(z2 1.4z 1)

H(z)

(z 0.5)(z2 0.9z 0.8) 2.用级联型结构实现以下系统函数

b0 1.5

，b1 2.1 ，b2 0.4

试问一共能构成几种级联型网络。

1 z 1 z 2

H(z) A 1 2

1 z zk1k2k解：

4(1 z 1)(1 1.4z 1 z 2) 1 1 2(1 0.5z)(1 0.9z 0.8z)

∴ A 4

11 1, 11 0.5 ,

21 0 , 12 1.4 ,

21 0 , 12 0.9 ,

22 1

22 0.8

由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。

3. 给出以下系统函数的并联型实现。

5.2 1.58z 1 1.41z 2 1.6z 3

H(z) 1 1 2

(1 0.5z)(1 0.9z 0.8z)

解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得：

5.2 1.58z 1 1.41z 2 1.6z 3

H(z) 1 1 2

(1 0.5z)(1 0.9z 0.8z)

0.21 0.3z 1 4 1

1 0.5z1 0.9z 1 0.8z 2 G0 4

11 0.5 , 21 0 ， 12 0.9 , 22 0.8

01 0.2 , 11 0 ， 02 1 , 12 0.3

4．用横截型结构实现以下系统函数：

1 1

H(z) 1 z 1 1 6z 1 1 2z 1 1 z 1 1 z 1 26

解：

11

H(z) (1 z 1)(1 6z 1)(1 2z 1)(1 z 1)(1 z 1)

26

11 1 1 2

2 (1 z 1 2z 1 z )(1z 6z z)(1 z)

26

1

537 (1 z 1 z 2)( z 1 z

26

2

)(z1

1

)

8205 22058 1z 1zz 3z 4 z 5

312123

5．已知FIR滤波器的单位冲击响应为

0. 3n ( h(n) (n)

N 1n 0

1) 0.n7 2( 2 )n0. 11 ( 3n) 0

试画出其级联型结构实现。

H(z)

根据

h(n)z n

得：

22 0. z7

0.z31 1

4

1

H(z) 1 0.z3 z0.12

)

1z 23 (1 0.z2 0. )(1z 10. 1z 2 0.4

而FIR级联型结构的模型公式为：

H(z) ( 0k 1kz 1 2kz 2)

k 1

N

2

对照上式可得此题的参数为：

01 1 , 02 1, 11 0.2 , 12 0.1 21 0.3 , 22 0.4

6．用频率抽样结构实现以下系统函数：

5 2z 3 3z 6

H(z)

1 z 1

抽样点数N = 6，修正半径r 0.9。 解； 因为N=6，所以根据公式可得：

H(z)

2

1 6 6 (1 rz) H0(z) H3(z) Hk(z) 6k 1

(5 3z 3)(1 z 3)

H(z)

1 z 1

(5 3z 3)(1 z 1 z 2)故 H(k) H(Z)Z 2 k/N (5 3e j k)(1 e因而

H(0) 24,H(1) 2 23j,H(2) 0 H(3) 2,H(4) 0,H(5) 2 23j

j

3

k

e

j

2 k3

)

则 H0(z)

H(0)24

1 rz 11 0.9z 1H(3)2

H3(z)

1 rz 11 0.9z 1

01 11z 1

2 1

求 ： Hk(z)k 1 时 ：H1(z)

2 2

1 2zrcos rz

N

01 2Re H(1) 2Re[2 23j] 4 11 ( 2) (0.9) ReH(1)W61 3.6

4 3.6z 1

H1(z)

1 0.9z 1 0.81z 2

k 2 时 ： 02 12 0 ， H2(z) 0

7．设某FIR数字滤波器的系统函数为：

1

H(z) (1 3z 1 5z 2 3z 3 z 4)

5

试画出此滤波器的线性相位结构。 解：由题中所给条件可知：

1331

h(n) (n) (n 1) (n 2) (n 3) (n 4)

5555

则 h(0) h(4) 1

0.253

h(1) h(3) 0.6

5

h(2) 1

N 1

2 2

即h(n)偶对称，对称中心在 n 处 ， N 为奇数(N 5) 。

8．设滤波器差分方程为：

y(n) x(n) x(n 1)

11

y(n 1) y(n 2)34

⑴试用直接I型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方

程。

⑵求系统的频率响应（幅度及相位）。

⑶设抽样频率为10kHz，输入正弦波幅度为5，频率为1kHz，试求稳态输出。 解：

(1)直接Ⅰ型及直接Ⅱ：

根据 y(n)

a

k 1

N

k

y(n k)

bx(n k) 可得：

kk 0

M

11a1 , a2

34 ； b0 1 , b1 1

一阶节级联型：

1 z 1H(z)

1 z 1 z 2

34

1 z 1

1 11 1

(1 z)(1 z)

66 1 z 1

1 1

(1 0.7z)(1 0.36z)

一阶节并联型：

H(z)

1 z 1

(1

1 11 1

z)(1 z)66

1717 1 11 11 z1 z

66

1.60.6

1 0.7z 11 0.36z 1

1 z 1

（2）由题意可知 H(z)

111 z 1 z 2

34

1 e j

H(e)

j 2j 1 e e34

j

(1 co s) jsin

111 1 1 co s co2s j sin sin2 344 3

幅度为：

H(ej )

(1 cos )2 sin2

1111

(1 cos cos2 )2 (sin sin2 )2

3434 相位为：

sin

argH(ej ) arg) tg(

1 co s

11 sin sin2

tg( arg)

11 1 co s co2s 34

（3） 输入正弦波为 ： x(t) 5sin(2 t 103)

3

由 T 2 10T1 2 可得：

又抽样频率为10kHz，即抽样周期为

1 3

T 0.1 10 0.1ms3

10 10

∴在x(t)的一个周期内，采样点数为10个，且在下一周期内的采样值与(0,2 )间的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为

周期为：T1

1

10 3s 1ms1000

5sin 10

x(n) 5sin2 103 nT

3

2 10 4

n

1

5sin n (n 0 ,1 ,

5

由此看出

,9)

0 0.2

根据公式可得此稳态输出为：

y(n) 5H(ej 0)cos 0n argH(ej 0) 12.13cos0.2 n 51.6

4.试用N为组合数时的FFT算法求N 12的结果(采

并画出流图。

1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需50 s 计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间。

每次复加5 s，用它来计算512点的DFT[x(n)]，问直拉

对于0 n N,有

解：依题意：N 3 4 r1r2,

解: ⑴ 直接计算: 复乘所需时间:

T 61 5 10 N2

5 10 6

512

2

1.31072s

复加所需时间:

T2 0.5 10 6 N (N 1)

0.5 10 6 512 (512 1) 0.130816s

T T1 T2 1.441536s⑵用FFT计算:

复乘所需时间:

T 61 5 10 Nlog2N 5 10 6

log2512

0.01152s 复加所需时间:

T2 0.5 10 6 N log2N

0.5 10 6 512 log2512 0.002304s

T T1 T2 0.013824s

n n 1r2 n0,

n1 0,1,2

n0 0,1,2,3

同样： 令N r2r1

对于频率变量k(0 k N)有k k k1 0,1,2,3

1r1 k0,

k0 0,1,2

x(n) x(n1r2 n0) x(4n1 n0) x(n1,n0)

X(k) X(k1r1 k0) X(3k1 k0) X(k1,k0)

11

X(k) x(n)Wnk

12

n 0

3

2

x(n(4n1 n0)(3k1 k01,n)

0)W12n0 0n1 0

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