第一讲：集合的概念及表示方法

第一讲：集合的含义与表示

教学目标：理解集合的含义，知道常用数集及其记法；

初步了解属于关系和集合相等意义，初步了解集合的分类及性质； 初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合．

教学重点：集合的含义及其表示方法． 教学过程： 一、问题情境

１．蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔；茫茫的草原上，一群羊在悠闲地走动；清清的湖水里，一群鱼在自由的游泳；??鸟群，羊群，鱼群??都是“同一类对象汇集在一起”，这就是本章将要学习的集合．

２．在初中学习数的分类时，已接触过“正数的集合”、“负数的集合”，集合这一概念在数学中被广泛运用，集合语言是近现代数学的基本语言，利用它可以简洁、准确地表述数学对象．那么，我们不禁要问：集合的含义是什么？ 二、学生活动

１．让同学介绍自己的家庭、现在的班级等情况． ２．问题：像“家庭”、 “班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征？

三：知识要点

（一）集合的有关概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

如“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素就是北京、上海、天津、重庆这四个城市．

“Young中的字母” 构成一个集合，该集合的元素就是y,o,u,n,g这五个字母． “book中的字母” 也构成一个集合，该集合的元素就是b,o,k这三个字母． 2x?1?3?x?2，所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集．

方程x?3x?2?0?x?1或2，1与2组成的集合称为方程的解集．

自然数的集合 0，1，2，3，?? 故事：一位数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她今于学到了什么？女儿高兴地回答说：?我

们今天学习了‘集合’.?数学家想：对于一个高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了.因此他关切地问：?你懂吗？?女儿肯定地回答：?懂!一点也不难.?父亲还是放心不下：?你们老师是怎么教的？?女儿说：?老师先让男孩子站起来，说：‘这是男孩组成的集合.’然后又让女孩子站起来，说：‘这是女孩组成的集合.’最后老师问我们：‘都懂了吗？’大家回答说：‘都懂了!’?听玩女儿的陈述，父亲决定用下面的问题作最后的检验：?那么，世界上所有的土豆是否能组成一个集合呢？?迟疑了一会儿，女儿最终回答道：?不能!除非它们都能站起来.?大家认为这位小孩回答的是否是正确的呢？

23.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1） 大于3小于11的偶数； （2） 我国的小河流； （3） 非负奇数；

（4） 方程x?1?0的解；

21

（5） 某校2007级新生； （6） 血压很高的人； （7） 著名的数学家；

（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点 （9）全班成绩好的学生。 4.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象）， 因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关。 5.两个集合相等：构成两个集合的元素是一样的。 6.元素与集合的关系

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a?A。 7.常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N

*

正整数集，记作N或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R

（二）集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

2322

如：{1，2，3，4，5}，{x，3x+2，5y-x，x+y}，?；

说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 2.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围， 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

2

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x+1}，{直角三角形}，?。

五：典型例题

考点一：集合的有关概念

例1：下列各组对象不能组成集合的是( )。

A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=

1图象上所有的点 x变式训练

1.下列条件能形成集合的是( )

A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工 考点二：元素与集合的关系

例2：(1)A={1,3},判断元素3,5和集合A的关系,并用符号表示. (2)所有素质好的人能否表示为集合?

2

(3)A={2,2,4}表示是否准确?

(4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?

解：(1)根据元素与集合的关系有两种:属于(∈)和不属于(?),知3属于集合A,即3∈A,5不属于集合A,即5?A.

(2)由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A不能表示为集合. (3)表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A={2,4}. (4)因其元素相同,A与B表示同一集合.

2

例3：在数集{2x,x-x}中,实数x的取值范围是。

2

分析:实数x的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x的取值范围是{x|x<0或03}. 答案：{x|x<0或03}

例4：已知数集A=a2,a?3,7,且16?A，求实数a的值。 分析：16=a或者a?3?16；同时考虑到集合元素的互异性。

2??a??4或a?13 答案：例5：集合A中的元素由关于x的方程kx-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中仅有一个元

素,求k的值.

2

解：由于A中元素是关于x的方程kx-3x+2=0(k∈R)的解, 若k=0,则x=

2

2,知A中有一个元素,符合题设; 3若k≠0,则方程为一元二次方程,

92

时,kx-3x+2=0有两相等的实数根,此时A中有一个元素. 89综上所述k=0或k=.

8当Δ=9-8k=0即k=变式训练

1.用符号∈或?填空:

(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N; (2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z; (3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q; (4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R. 2.数集{3,x,x-2x}中,实数x满足什么条件? 3.方程ax+5x+c=0的解集是{

2

2

11,},则a=________,c=_______. 23考点三：集合的表示方法

例6：用列举法表示下列集合:

(1)小于10的所有自然数组成的集合;

2

(2)方程x=x的所有实数根组成的集合;

3

(3)由1～20以内的所有质数组成的集合. (4)A??x?N???16?N? 9?x???x?y?4???(5)B???x,y???

x?y?2???????(7)D??yy??x?5,x?Z,y?N?

?x,y?y??x?5,x?Z,y?N? (8)E??2(6)C?xy??x?5,x?Z,y?N

22解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

2

(2)设方程x=x的所有实数根组成的集合为B,那么 B={0,1}.

(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C,那么 C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 变式训练

1.用列举法表示下列集合:

(1)小于5的正奇数组成的集合;

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;

2

(3)方程x-9=0的解组成的集合; (4){15以内的质数}; (5){x|

6∈Z,x∈Z}. 3?x列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={??}的形式.

说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶集合中的元素可以为数，点，代数式等 ⑷列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。 ⑸对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方

能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为?1,2,3,4,5,......?

例7：用描述法表示下列集合

2

(1)二次函数y=x图象上的点组成的集合; (2)坐标平面内数轴上的点集合; (3)不等式x-7<3的解集.

222

解：(1)二次函数y=x上的点(x,y)的坐标满足y=x,则二次函数y=x图象上的点组成的集合

4

表示为{(x,y)|y=x}; (2)?x,y?xy?0

(3)不等式x-7<3的解是x<10,则

不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.

用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画

一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 一般格式：?x?Ap(x)2

???

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，?； 学习集合表示方法时应注意的问题

（1）注意a与?a?的区别．a是集合?a?的一个元素，而?a?是含有一个元素a的集合，二者的关系是a??a?．

（2）注意?与?0?的区别．?是不含任何元素的集合，而?0?是含有元素0的集合． （3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或?R?来表示实数集R这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思．

（4） 用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如： 集合(x，y)y?者理解为曲线y? 集合xy??x中的元素是(x，y)，这个集合表示二元方程y?x的解集，或?x上的点组成的点集；

x中自变量x的取值范围； x中函数值y的取值范围；

x?中的元素是x，这个集合表示函数y?? 集合?yy?x?中的元素是y，这个集合表示函数y? 集合y??x中的元素只有一个（方程y?x），它是用列举法表示的单元素集合．

?

变式训练

1.用描述法表示下列集合: (1)方程2x+y=5的解集;

(2)小于10的所有非负整数的集合; (3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;

(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合; (5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;

5

①若A是空集，求a的范围；

②若A中只有一个元素，求a的值；

③若A中至多只有一个元素，求a的范围．

21．用列举法把下列集合表示出来： ①A={x?N|②B={9?N}; 9?x9?N|x?N}; 9?x③C＝{y｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；

④D＝{(x，y)｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}； ⑤E＝{x|p?x,p?q?5,p?N,q?N*}? q

22．已知集合A＝{p｜x2＋2(p－1)x＋1＝0，x∈R}，求集合B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}．

1.2 集合间的基本关系

1. 已知集合A???1,0,1?,A的子集中，含有元素0的子集共有（ ） A．2个 B.4个 C.6个 D. 8个 2.已知集合P={1，2}，那么满足Q?P的集合Q的个数为（ ）

A．4 B.3 C.2 D. 1

3.满足{1，2}?A??1,2,3,4,5?条件的集合A的个数为（ ）

A.4 B.６ C.８ D.１０

24．集合A?x|x?2x?1?0,x?R?的所有子集的个数为（ ）

?A.4 B.3 C.2 D.1 5.在下列各式中错误的个数是( ) ①1?0,1,2??;②

?1???0,1,2?;③

?0,1,2???0,1,2?;④??0,1,2?;⑤

???0,1,2???2,0,1?

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A.1 B.2 C.3 D. 4 6．下列六个关系式中正确的有（ ）

①?a,b???b,a?；②?a,b???b,a?；③?a,b???b,a?；④?0???；⑤???0?；⑥0??0?．

?A.６个 B.５个 C.４个 D.３个及３个以下

7．已知集合A???1,0?，集合B??0,1,x?2?，且A?B，则实数x的值为 8．若?1,2,3??A??1,2,3,4?,则A? ?9. 设数集A??1,2,a?,B?1,a2?a,若A?B,求实数a的值。

10. 求满足x|x2?1?0,x?R?M?x|x2?1?0,x?R的集合M的个数.

???????

2211. 集合A?x|x?3x?2?0,B?x|x?2x?a?1?0?,

???B?A,求a的范围。

12. 已知集合A??x|1?x<4?,B??x|x

?

13.若集合A={x｜-2≤x≤5}，B={x｜m+1≤x≤2m-1}，且B?A，求由m的可取值组成的集合。

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