初中数学复习总动员第6讲分式及其运算

2017年暑期初中数学复习总动员第6讲分式及其运算

【知识巩固】

1、分式的概念及其理解

（1）一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成母，式子

A的形式，如果B中含有字BA就叫做分式。 BAA有意义，当B=0时，分式无意BB注意：A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 （2）分式和整式通称为有理式。当B≠0时，分式义；当A=0且B≠0，分式

2、分式的性质 （1）分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 AA×MAA÷M

用式子表示为：＝，＝(M是不等于零的整式)

BB×MBB÷M

（2）分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法则

A的值等于0. Bacacacadad??;????; bdbdbdbcbcanan()?n(n为整数); bbaba?b??; cccacad?bc ??bdbd4．最简分式

如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式． 5．分式的约分、通分

把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．

6．分式的混合运算

在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式． 【典例解析】 典例一、分式的概念 （2017广西百色）若分式

有意义，则x的取值范围为 x≠2 ．

【考点】62：分式有意义的条件．

【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案． 【解答】解：由题意，得 x﹣2≠0． 解得x≠2， 故答案为：x≠2． 【变式训练】 下列各式：（1﹣x），

，

，

，其中分式共有（ ）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

分析：根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案． 解答：解：（1﹣x）是整式，不是分式；

，

的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．

分母中含有字母，因此是分式． 故选A．

点评：本题考查了分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以典例二、分式的性质

若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A．

B．

C．

D．

不是分式，是整式．

考点： 分式的基本性质．

分析：根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的2倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是．

解答：解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的2倍， A、

=

=

；

B、=；

C、；

D、==．

故A正确． 故选A．

点评：本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变． 【变式训练】

下列约分正确的是（ ） A．

B．

C．

D．

考点：约分．

分析：根据分式的基本性质作答． 解答： 解：A、B、C、D、故选C．

点评：本题主要考查了分式的性质，注意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相同时约分结果应是1，而不是0． 典例三、分式的约分、通分

（2016·山东省滨州市·3分）下列分式中，最简分式是（ ）

，错误；

，正确；

，错误．

，错误；

A． B．

C． D．

【考点】最简分式． 【专题】计算题；分式．

【分析】利用最简分式的定义判断即可． 【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意； B、原式=

=

，不合题意；

C、原式==，不合题意；

D、原式=故选A

=，不合题意，

【点评】此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式． 【变式训练】 约分：①考点：约分．

分析：第一个式子分子、分母同时约去公分母5ab；第二个式子约分时先把分子、分母进行分解因式，再约分． 解答：解：①

=

；

=

，②

=

．

②=．

点评： 分式的约分的依据是分式的基本性质，约分时分子、分母能分解因式的要先分解因式．

典例四、分式的混合运算 （2017毕节）先化简，再求值：（数．

+

）÷

，且x为满足﹣3＜x＜2的整

【考点】6D：分式的化简求值． 【分析】首先化简（

+

）÷

，然后根据x为满足﹣3＜x＜2的整数，求

出x的值，再根据x的取值范围，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：（

+

）÷

=[=（=2x﹣3

+

+）×x

]×x

∵x为满足﹣3＜x＜2的整数， ∴x=﹣2，﹣1，0，1， ∵x要使原分式有意义， ∴x≠﹣2，0，1， ∴x=﹣1， 当x=﹣1时，

原式=2×（﹣1）﹣3=﹣5 【变式训练】

（2017广东）先化简，再求值：（【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】先计算括号内分式的加法，再计算乘法即可化简原式，将x的值代入求解可得． 【解答】解：原式=[==2x， 当x=原式=2

时， ．

?（x+2）（x﹣2）

+

]?（x+2）（x﹣2）

+

）?（x2﹣4），其中x=

．

【能力检测】

1. 利用分式的基本性质填空：

（1）=，（a≠0）；（2）=．

考点：分式的基本性质．

分析：根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 解答：解：（1）

=

（a≠0）；

（2）=．

故答案为：6a，a﹣2．

点评： 本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 2. 计算：

= a﹣3 ．

2

考点：分式的加减法． 专题：计算题．

分析：根据同分母分式加减运算，注意分子利用平方差公式拆开，然后化简即可得出结果． 解答：解：计算：故答案为a﹣3．

点评：本题主要考查了同分母分式的加减运算，比较简单． 3. （2016·广西桂林·3分）当x=6，y=3时，代数式（A．2 B．3 C．6 D．9 【考点】分式的化简求值．

【分析】先对所求的式子化简，然后将x=6，y=3代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：（==

，

，

）?

）?

的值是（ ）

=

=

=a﹣3，

当x=6，y=3时，原式=故选C．

4. （2017呼和浩特）下列运算正确的是（ ） A．（a2+2b2）﹣2（﹣a2+b2）=3a2+b2 B．C．（﹣a）÷a=（﹣1）a

3m

m

m2m

2

﹣a﹣1=

D．6x﹣5x﹣1=（2x﹣1）（3x﹣1）

【考点】6B：分式的加减法；4I：整式的混合运算；57：因式分解﹣十字相乘法等． 【分析】直接利用分式的加减运算法则以及结合整式除法运算法则和因式分解法分别分析得出答案．

【解答】解：A、（a2+2b2）﹣2（﹣a2+b2）=3a2，故此选项错误； B、

﹣a﹣1=

=，故此选项错误；

C、（﹣a）3m

÷am

=（﹣1）ma2m

，正确；

D、6x2﹣5x﹣1，无法在实数范围内分解因式，故此选项错误； 故选：C．

5. ( 2017湖南怀化)计算： = x+1 ．

【考点】6B：分式的加减法．

【分析】本题考查了分式的加减运算．解决本题主要是因式分解，然后化简． 【解答】解：原式=

．故答案为x+1．

6. （2016·山东省德州市·3分）化简﹣等于（ ）

A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】分式的加减法． 【专题】计算题；分式．

【分析】原式第二项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=+

=

+

=

=，

故选B

【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7. （2016·广西桂林·3分）当x=6，y=3时，代数式（）?

的值是（ A．2 B．3 C．6 D．9 【考点】分式的化简求值．

）【分析】先对所求的式子化简，然后将x=6，y=3代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：（==

，

，

）?

当x=6，y=3时，原式=故选C．

8. （2017广西百色）已知a=b+2018，求代数式【考点】6D：分式的化简求值．

?÷的值．

【分析】先化简代数式，然后将a=b+2018代入即可求出答案． 【解答】解：原式==2（a﹣b） ∵a=b+2018， ∴原式=2×2018=4036

9. （2017黑龙江鹤岗）先化简，再求值：（当中选一个合适的数代入求值． 【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】先化简分式，然后根据分式有意义的条件即可求出m的值，从而可求出原式的值． 【解答】解：原式=（===

×﹣，

﹣

﹣×

）×

﹣

）÷

，请在2，﹣2，0，3

×

×（a﹣b）（a+b）

∵m≠±2，0， ∴当m=3时， 原式=3

10.

考点：分式的化简求值． 专题：计算题．

+1，其中a=，b=﹣3．

分析：此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简，最后代值计算． 解答：解：原式=

+1

=+1；

．

当a=，b=﹣3时，原式=

点评：本题主要考查分式的化简求值，通分、约分是解答的关键

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