第四讲 勾股定理的运用2012-3-10
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竞赛勾股定理
第四讲 勾股定理的运用 2012-3-10
【知识要点】
1.勾股定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
表达形式:在Rt ABC中, C 90 , A, B, C的对边分别为a,b,c, b
则有:①c2 a2 b2;②a2 c2 b2;③b2 c2 a2.
2.勾股定理的逆定理(直角三角形的判别条件) 如果三角形的三边长为a,b,c,满足a2 b2 c2,那么,这个三角形是直角三角形. 3.勾股数:
222
(1)满足a b c的三个正整数,称为勾股数.
(2)勾股数中各数的相同的整数倍,仍是勾股数,如3、4、5是勾股数,6、8、10也是勾股数. (3)常见的勾股数有:①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤9、40、41.
【经典例题】
例1、如图,已知△ABC中,AD、AE分别是BC边上的高和中线,AB=9cm,AC=7cm,BC=8cm,
求DE的长。
E
A
例2、如图,在Rt ABC中,∠ABC=90°,四边形ACDE是正方形,BC=6,AB=8,求BE的长.
E
A
竞赛勾股定理
例3、
已知直角三角形的周长为2 1,求这个三角形的面积。
例4、如图折叠长方形的一边BC,使点B落在AD边的F处,已知:AB=3,BC=5,
求折痕EC的长.
E B
C
D
例5.如图,P为正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB的度数.
D
竞赛勾股定理
例6.如图,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA垂直AB于A,CB垂直AB于
B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?
例7、如图,A、B是笔直公路l同侧的两个村庄,且两个村庄到公路的距离分别为300m和500m,
两村庄之间距离为m,现要在公路上建一汽车停靠点,使两村到停靠点的距离之和最小。问最小值是多少?
A
B
D
C
l
思考:如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,B点离C点5cm,一只蚂蚁如果要沿着
长方体表面从点A爬到点C,需要爬行的最短距离是多少?
竞赛勾股定理
【随堂练习】
1、在一个长6m,宽3m,高2m的房间里放进一根竹竿,这根竹竿最长为多少?
2、如图,在一个高BC为6米,长AC为10米,宽为2.5米的楼梯表面铺设地毯,若每平方米地毯50元,共需多少元?
B
A
3、如图,一个圆柱体高20cm,底面半径为6cm。在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛,想吃到与A点相对的上底面B点处的苍蝇,这只蜘蛛从点A出发沿着圆柱形的曲面爬到B点,最短线路是多长?(结果保留 )
4、如图,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该长方形折叠,使C点与A点重合,
则折痕EF的长为多少?
竞赛勾股定理
5、印度数学家什迦罗(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”:
平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;
请用学过的数学知识回答这个问题。
6、如图,某人在B处通过平面镜看见在B正上方3米处的A物体,已知物体A到平面镜的距离为2米,问B点到物体A的像A′的距离是多少?
B
课后作业
1.已知等腰△ABC,底边BC=20,D为AB上一点,且CD=16,BD=12,求△ABC的周长。
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2.已知△ABC中∠A=30°,AC=4,BC=
5
,求AB的长。 2
3.求图中阴影部分的面积S。
4 已知,如图△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC。
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