大学物理第二章习题解答和分析1

习题二

2-1．两质量分别为m和M(M?m)的物体并排放在光滑的水平桌面上，现有一水平力F作用在物体m上，使两物体一起向右运动，如题图2－1所示，求两物体间的相互作用力? 若水平力F作用在M上，使两物体一起向左运动，则两物体间相互作用力的大小是否发生变化？ 分析：用隔离体法，进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

??解：以m、M整体为研究对象，有：F?(m?M)a…①

???以m为研究对象，如图2-1（a），有F?FMm?ma…②

由①、②，有相互作用力大小FMm?MF

m?M若F作用在M上，以m为研究对象， 如图2-1（b）有FMm?ma…………③ 由①、③，有相互作用力大小FMm

???FMmm

?F mF?，发生变化。 m?M（a）

?FMmm

（b）

2-2. 在一条跨过轻滑轮的细绳的两端各系一物体，两物体的质量分别为M1和M2 ，在M2上再放一质量为m的小物体，如图所示，若M1=M2=4m，求m和M2之间的相互作用力，若M1=5m，M2=3m，则m与M2之间的作用力是否发生变化？

分析：由于轻滑轮质量不计，因此滑轮两边绳中的张力相等，用隔离体法进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

解：取向上为正，如图2-2，分别以M1、M2和m为研究对象， 有： T1?M1g?M1a

?(M2?m)g?T2?? (M2?m)a

FM2m?mg ? ?ma

M2m又：T1=T2，则： F当M1=M2= 4m， F

M2 =

2M1mg

M1?M2?m?m10mg8mg 当M=5m, M=3m, ，发生变化。 12?FM2m99

2-3.质量为M的气球以加速度a匀加速上升，突然一只质量为m的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。若气球仍能匀加速向上，求气球的加速度减少了多少？ 分析：用隔离体法受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

?解：f为空气对气球的浮力，取向上为正。

分别由图2—3（a）、(b)可得：

f?Mg?Ma

f?(M?m)g?(M?m)a1

则a1?

2-4．如图2-4所示，人的质量为60kg，底板的质量为40kg。人若想站在底板上静止不动，则必须以多大的力拉住绳子？

分析：用隔离体法受力分析，人站在底板上静止不动，底板、人受的合力分别为零. 解：设底板、人的质量分别为M，m， 以向上为正方向，如图2-4（a）、(b)， 分别以底板、人为研究对象， 则有：T1?T2?F?Mg?0 T3?F'?mg?0

F为人对底板的压力，F'为底板对人的弹力。 F=F'

Ma?mgm?a?g?,?a?a?a1?

m?Mm?M1T1 2(M?m)g?245(N) 则T2?T3?4又：T2?T3?由牛顿第三定律，人对绳的拉力与T3是一对 作用力与反作用力，即大小相等，均为245（N）。

2-5．一质量为m的物体静置于倾角为?的固定斜面上。已知物体与斜面间的摩擦系数为?。试问：至少要用多大的力作用在物体上，才能使它运动？并指出该力的方向。 分析：加斜向下方向的力，受力分析，合力为零。

????解：如图2—5，建坐标系，以沿斜面向上为正方向。在mg与N所在的平面上做力F，且

0???（若

?2

????，此时F偏大） 2则：?Fcos??mgsin??f?0

?f??N

N?Fsin??mgcos??0

则有：F?mg(?cos??sin?)mg(?cos??sin?)1?,??arctan

?sin??cos??1??2sin(???)即：Fmin?mg(?cos??sin?)1??2,此时???2???arctan?

2-6. 一木块恰好能在倾角?的斜面上以匀速下滑，现在使它以初速率v0沿这一斜面上滑，问它在斜面上停止前，可向上滑动多少距离？当它停止滑动时，是否能再从斜面上向下滑动？

分析：利用牛顿定律、运动方程求向上滑动距离。停止滑动时合力为零。 解：由题意知： ??tan? ① 向上滑动时， mgsin???mgcos??ma ②

2v0?2aS ③

2联立求解得 S?v0/(4gsin?)

当它停止滑动时，会静止，不再下滑． 2-7. 5kg的物体放在地面上，若物体与地面之间的摩擦系数为0.30，至少要多大的力才能拉动该物体？

分析：要满足条件，则F的大小至少要使水平方向上受力平衡。 解：如图2—7，Fcos??f??N??(mg?Fsin?) F??mg1??sin(???)2(??arctan1?)

当sin(???)?1时,Fmin=?mg1+?2?14.08N

2—8. 两个圆锥摆，悬挂点在同一高度，具有不同的悬线长度，若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同，试证这两个摆的周期相等．

分析：垂直方向的力为零，水平方向的力提供向心力。先求速度，再求周期讨论。 证：设两个摆的摆线长度分别为l1和l2，摆线与竖直轴之间的夹角分别为?1和?2，摆线中的张力分别为F1和F2，则

F1cos?1?m1g?0 ① F1sin?1?m1v1/(l1sin?1) ②

2解得： v1?sin?1gl1/cos?1 第一只摆的周期为 T1?2?l1sin?1?2?v1 l1cos?1 g同理可得第二只摆的周期 T2?2?l2cos?2 题2-8 gm1 m2 由已知条件知 l1cos?1?l2cos?2 ∴ T1?T2

2—9. 质量分别为M和M+m的两个人，分别拉住定滑轮两边的绳子往上爬，开始时，两人与滑轮的距离都是h 。设滑轮和绳子的质量以及定滑轮轴承处的摩擦力均可忽略不计，绳长不变。试证明，如果质量轻的人在ts内爬到滑轮，这时质量重的人与滑轮的距离为

m?12?h?gt? 。 ?M?m?2?分析：受力分析，由牛顿第二定律列动力学方程。 证明：如图2—9（b）、（c），分别以M、M+m为研究对象，设M、M+m对地的加速度大小分别为a1（方向向上）、a2（方向向下），则有：对M，有：

h?12a1t2f?Mg?Ma1

对M?m,有:(M?m)g?f'?(M?m)a2又:f?f'mgt2-2Mh则:a2=(M+m)t2则质量重的人与滑轮的距离:

（b） (c) 图2-9

1m?12?h??h?a2t2?h?gt?。此题得证。 ?2M?m?2?2-10.质量为m1=10kg和m2=20kg的两物体，用轻弹簧连接在一起放在光滑水平桌面上，以F=200N的力沿弹簧方向作用于m2 ,使m1得到加速度a1=120cm·s，求m2获得的加速度大小。 分析：受力分析，由牛顿定律列方程。 解：物体的运动如图2—10（a ）， 以m1为研究对象，如图（b），有：

-2F1?m1a1

以m2为研究对象，如图（c），有：

F?F1'?m2a2

又有：F1?F1' 则：a2?F?m1a1?9.4m/s2 m2

2—11. 顶角为?的圆锥形漏斗垂直于水平面放置，如图2-11所示. 漏斗内有一个质量为m的小物体，m距漏斗底的高度为h。问（1）如果m与锥面间无摩擦，要使m停留在h高度随锥面一起绕其几何轴以匀角速度转动，m的速率应是多少？（2）如果m与锥面间的摩擦系数为?，要使m稳定在h高度随锥面一起以匀角速度转动，但可以有向上或向下运动的趋势，则速率范围是什么？

分析：（1）小物体此时受到两个力作用：重力、垂直漏斗壁的支承力，合力为向心力；（2）小物体此时受到三个力的作用：重力、垂直漏斗壁的支承力和壁所施的摩擦力。当支承力在竖直方向分量大于重力，小球有沿壁向上的运动趋势，则摩擦力沿壁向下；当重力大于支承力的竖直方向分量，小球有沿壁向下的运动趋势，则摩擦力沿壁向上。这三个力相互平衡时，小物体与漏斗相对静止。 解：

（1）如图2—11（a），有：

mgtan?2?mv2htan?2，则：v?gh （2）若有向下运动的趋势，且摩擦力为最大静摩擦力(f2??N2)时，速度最小，则图2—11（b）有： 水平方向：N2cos?2?f2sin?2?mv2htan?2

竖直方向：N2sin?2?f2cos?2?mg

又：f2??N2

1??tan则有：v???2 gh1??cot2若有向上运动的趋势，且摩擦力最大静摩擦力(f3??N3)时，速度最大，则图2—11（c），有：

水平方向：N3cos?2?f3sin?2?mv2htan?2

竖直方向：N3sin?2?f3cos?2?mg

又：f3??N3

1??tan则有：v???2 gh1??cot21??tan综合以上结论，有gh??2?v?gh1??tan1??cot??2 1??cot22?22—12． 如图2-12所示，已知两物体A、B的质量均为3.0kg物体A以加速度1.0m?s运动，求物体B与桌面间的摩擦力。（滑轮与绳子的质量不计）

分析：因为滑轮与连接绳的质量不计，所以动滑轮两边绳中的张力相等，定滑轮两边绳中的张力也相等，但是要注意两物体的加速度不相等。

解：图2—12（a）以A为研究对象，其中FL、FR分别为滑轮左右两边绳子的拉力。有：

mAg?FL?FR?mAaA

且：FL?FR

图2—12（b）以B为研究对象，在水平方向上，有：FL'?f?mBaB 又：FL'?FL，aB?2aA,aA?1.0m/s2 mA?mB?m?3kg 联立以上各式，可解得：f?

mg?2maB?maA?7.2N

2

2—13．一质量为m的小球最初位于如图2-13所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑，试求小球到达C点时的角速度和对圆轨道的作用力.

分析：如图2—13，对小球做受力分析，合力提供向心力，由牛顿第二定律，机械能守恒定律求解。 解：mgrcos??A 题图2－12 B ?FR?FL

?N ?f ?mAg

图2－12a

?FL?

?mBg 图2－12b

又：v???r,此时,v??r………② 由①、②可得： ?????12mv…………① 22gcos? r题图2－13

v2N?mgcos??m……③

r由①、③可得，N=3mgcos?

图2－13

2—14．质量为m的摩托车，在恒定的牵引力F的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到最大速率是vm? 试计算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程。

分析：加速度等于零时，速度最大，阻力为变力，积分求时间、路程。 解：设阻力f?kv(k?0)，则加速度a?2F?kvmF则有：0?,k?2,从而:mvm2F?f，当a=0时，速度达到最大值vm， mf?F2v 2vm又a?F?fdv?，即：mdtF?F2v2vmdv?…………① mdtFdt?mtdvv2(1?2)vmdvv2(1?2)vmvm/2vm/2F?0mdt??0

?v??1?t?vm?F??vm?t???ln?v?m?0?2?1???vm??0t?mvmln3，即所求的时间 2FF?对①式两边同乘以dx，可得：

2vmvFdx?2dv2mvm?vF2v2vmdvdx?dx mdt?x02vm/2vmvFdx??dv220mvm?vx2mvm/2

?F??v22?x??ln(v?vm)?????m?0?2?0x?mvmv4ln?0.1442F3F2m2m题图2－15

2-15．如图2-15所示，A为定滑轮，B为动滑轮，3个物体的质量分别为m1=200g，m2=100g，m3=50g.（1）求每个物体的加速度（2）求两根绳中的张力（滑轮和绳子质量不计，绳子的伸长和摩擦力可略）。

分析：相对运动。m1相对地运动，m2、m3相对B运动，T1?2T2。根据牛顿牛顿定律和相对运动加速度的关系求解。

解：如下图2-15，分别是m1、m2、m3的受力图。

设a1、a2、a3、aΒ分别是m1、m2、m3、B对地的加速度；a2B、a3B分别是m2、m3对B的加速度，以向上为正方向，可分别得出下列各式

?m1g?T1'?m1a1……………① ?m2g?T2'?m2a2…………② ?m3g?T2?m3a3……………③

又：

a2?aB?a2Ba3?aB?a3B

且：a2B??a3B

则：a2?a3?2aB,且aB??a1,则：

图2－15

…………④ …………⑤ …………⑥

a2?a3??2a1

又：T1'?T1?T2?T2'

T2'?T2

?4m2?3m1ga?g????1.96m/s2?13m1?4m25??4m2?m1gg????1.96m/s2 则由①②③④⑤⑥，可得：?a2??3m1?4m25??5m1?4m23ga?g??5.88m/s2?33m1?4m25?（2）将a3的值代入③式，可得：T2?8m1m2g?0.784N。T1?2T2?1.57N

3m1?4m22-16．桌面上有一质量M=1.50kg的板，板上放一质量为m=2.45kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的摩擦系数均为0.25. 要将板从物体下面抽出，至少需要多大的水平力？

分析：：要想满足题目要求，需要M、m运动的加速度满足：aM?am，如图2-16（b），以M为研究对象，N1，N2，f1，f2分别为m给M的压力，地面给M的支持力，m给M的摩擦力，地面给M的摩擦力。 解：aM?F?f1?f2

M如图2-16（c），以m为研究对象，N1',f1'分别为M给m的支持力、摩擦力。

f1'则有：am?

m又f1?f1??N1??N??mg,则aM?am可化为：

''f2??N2???m?M?g

题图2－16

F??(M?m)g??mg?mg?

Mm则：Fmin?2?(m?M)g?19.4N

2-17．已知一个倾斜度可以变化但底边长L不变的斜面.（1）求石块从斜面顶端无初速地滑

到底所需时间与斜面倾角α之间的关系，设石块与斜面间的滑动摩擦系数为?；（2）若斜面倾角为60和45时石块下滑的时间相同，问滑动摩擦系数?为多大？

分析：如图2-17，对石块受力分析。在斜面方向由牛顿定律列方程，求出时间与摩擦系数的关系式，比较??60与??45时t相同求解?。 解：（1）其沿斜面向下的加速度为：

oo00a?mgsina??mgcosa?gsina??gcosa

mL1?at2，则： 又s?cosa2t?2L gcosa(sina??cosa)2L，

gcos60?(sin60???cos60?)题图2－17

（2）又??60?时，t1???45?时，t2?2L gcos45?(sin45???cos45?)又t1?t2，则：??0.27

2—18，如图2-18所示，用一穿过光滑桌面小孔的轻绳，将放在桌面上的质点m与悬挂着的质点M连接起来，m在桌面上作匀速率圆周运动，问m在桌面上圆周运动的速率v和圆周半径r满足什么关系时，才能使M静止不动？

分析：绳子的张力为质点m提供向心力时，M静止不动。 解：如图2—18，以M为研究对象, 有：Mg?T'……① 以m为研究对象，

v2水平方向上，有：T?man?m……②

r又有：T'?T…③

v2Mg?由①、②、③可得： rm0

题图2－18

2-19．一质量为0.15kg的棒球以v0?40m?s-1的水平速度飞来，被棒打击后，速度与原来方向成135角，大小为v?50m?s。如果棒与球的接触时间为0.02s，求棒对球的平均打击力大小及方向。

分析：通过动量定理求出棒对球在初速方向与垂直初速方向的平均打击力，再合成求平均力及方向。 解：

： ?F1?t?mvcos135??mv0 ①

在和初速度垂直的方向上，由动量定理有： F2?t?mvcos45? ② 又F?-1F12?F22 ③

重力的功?pgh?pgr

1AB???Nr 摩擦力的功?f??2（3）物块沿折线AOB由A移动到B时，

重力的功?pgh?pgr。摩擦力的功?f?AOB?2?Nr

2-37．求把水从面积为50m的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为1.5m，水面至街道的竖直距离为5m。

分析：由功的定义求解，先求元功再积分。

解：如图以地下室的O为原点，取X坐标轴向上为正，建立如图坐标轴。 选一体元dV?Sdx，则其质量为dm?pdV?pSdx。 把dm从地下室中抽到街道上来所需作的功为

2dA?g(6.5?x)dm

故A?

?1.50dA??pSg(6.5?x)dx?4.23?106J

01.5题图2-37

2-38．质量为m的物体置于桌面上并与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支承面间的滑动摩擦系数为?，求物体能达到的最远距离。 分析：由能量守恒求解。

解：设物体能达到的最远距离为x(x?0) 根据能量守恒，有

?v0

m 1212mv0?kx??mgx 222mv02?mgx??0 即：x?kk2题图2-38 2?kv0解得x?1?22?1?

?k??mg??2—39．一质量为m、总长为l的匀质铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂。

?mg??试求铁链滑离桌面边缘时重力所作的功。

分析：分段分析，对OA段取线元积分求功，对OB段为整体重力在中心求功。 解：建立如图坐标轴

选一线元dx，则其质量为dm?mdx。 l铁链滑离桌面边缘过程中，OA的重力作的功为

11A1??dA??g(l?x)dm?mgl

28OB的重力的功为

题图2—39

1l201l20111mg?l?mgl 2243故总功A?A1?A2?mgl

8??2-40．一辆小汽车，以v?vi的速度运动，受到的空气阻力近似与速率的平方成正比，???1（1）如小汽车以80km?h的恒定速率行F??Av2i，A为常数，且A?0.6N?s2?m?2。A2?驶1km，求空气阻力所作的功；（2）问保持该速率,必须提供多大的功率？ 分析：由功的定义及瞬时功率求解。

??2??102im/s,?r?1?103im 9???2222故F??Avi?0.6?(?10)i

9??则A?F??r??300kJ

解：（1）v?80ikm/h???(2)P?Fv?Av3?6584W

2-41．一沿x轴正方向的力作用在一质量为3.0kg的质点上。已知质点的运动方程为

x?3t?4t2?t3，这里x以m为单位，时间t以s为单位。试求：（1）力在最初4.0s内作的功；（2）在t=1s时，力的瞬时功率。

分析：由速度、加速度定义、功能原理、牛顿第二定律求解。 解：(1)v(t)?dx?3?8t?3t2 dt则 v(4)?19m/s,v(0)?3m/s 由功能原理，有

122?m?v(4)?v(0)?528J ??2dxdv?3?8t?3t2,a(t)??6t?8 （2）v(t)?dtdtA??Ek?t?1s时，F?ma??6N,v??2m/s

则瞬时功率p?Fv?12W

2—42.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。)

分析：根据功能原理，因铁锤两次打击铁釘时速度相同，所以两次阻力的功相等。注意：阻力是变力。

解：设铁钉进入木板内xcm时，木板对铁钉的阻力为

f?kx(k?0)

由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故

?10fdx??fdx

1x所以，x?2。第二次时能击入(2?1)cm深。

2—43．从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度v0应为多大才能使卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转？

分析：地面附近万有引力即为重力，卫星圆周运动时，万有引力提供的向心力，能量守恒。 解：设卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转速度为v, 地球质量为M, 半径为Re,卫星质量为m.

根据能量守恒，有

12GMm12GMm mv0??mv?2Re2r又由卫星圆周运动的向心力为

GMmmv2FN?2?

rr卫星在地面附近的万有引力即其重力，故

GMm?mg 2Re联立以上三式，得v0??1Re2gRe?1??2r?? ??12—44．一轻弹簧的劲度系数为k?100N?m，用手推一质量m?0.1kg的物体A把弹簧压缩到离平衡位置为x1?0.02m处，如图2-44所示。放手后，物体沿水平面移动距离

x2?0.1m而停止，求物体与水平面间的滑动摩擦系数。

分析：系统机械能守恒。

解：物体沿水平面移动过程中，由于摩擦力做负功，

致使系统（物体与弹簧）的弹性势能全部转化为内能（摩擦生热）。 根据能量关系，有

12kx1??mgx2所以，??0.2 2

2—45．一质量m?0.8kg的物体A，自h?2m处落到弹簧上。当弹簧从原长向下压缩

题图2—44

题图2—45

x0?0.2m时，物体再被弹回，试求弹簧弹回至下压0.1m时物体的速度。

分析：系统机械能守恒。

解：设弹簧下压0.1m时物体的速度为v。把物体和弹簧看作一个系统，整体系统机械能守恒，选弹簧从原长向下压缩x0的位置为重力势能的零点。

当弹簧从原长向下压缩x0?0.2m时，重力势能完全转化为弹性势能，即

12kx0 2当弹簧下压x?0.1m时， mg(h?x0)?mg(h?x0)?121kx?mg(x0?x)?mv2 22所以，v?3.1gm/s

2—46．长度为l的轻绳一端固定，一端系一质量为m的小球，绳的悬挂点正下方距悬挂点的距离为d处有一钉子。小球从水平位置无初速释放，欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈，试证d至少为0.6l。

分析：小球在运动过程中机械能守恒；考虑到小球绕O点能完成圆周运动，因此小球在圆周运动的最高点所受的向心力应大于或等于重力。

证：小球运动过程中机械能守恒，选择小球最低位置为重力势能的零点。设小球在A处时速度为v，则:mgl?mg?2(l?d)?12mv 2mv2又小球在A处时向心力为: FN?mg?

l?d其中，绳张力为0时等号成立。联立以上两式，解得d?0.6l

题图2—46

2—47．弹簧下面悬挂着质量分别为M1、M2的两个物体，开始时它们都处于静止状态。突然把M1与M2的连线剪断后，M1的最大速率是多少？设弹簧的劲度系数k?8.9N?m，而M1?500g,M2?300g。

分析：把弹簧与M1看作一个系统。当M1与M2的连线剪断后，系统作简谐振动，机械能守恒。

解:设连线剪断前时弹簧的伸长为x，取此位置为重力势能的零点。M1系统达到平衡位置时

?1

题图2—47

弹簧的伸长为x?,根据胡克定律，有

kx?(M1?M2)g kx??M1g

系统达到平衡位置时，速度最大，设为v。由机械能守恒，得

12121kx?kx??M1g(x?x?)?M1v2 222联立两式，解之：v?1.4m/s

2—48．一人从10 m深的井中提水．起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功． 分析：由于水桶漏水，人所用的拉力F是变力，变力作功。 解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为原点. 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量 即： F?P?P0?ky?mg?0.2gy?107.8?1.96y 人的拉力所作的功为： A?dA?H10??0Fdy＝?(107.8?1.96y)dy=980 J

0112-49．地球质量为6.0?1024kg，地球与太阳相距1.5?10m，视地球为质点，它绕太阳作圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。

分析：太阳绕地球一周365天，换成秒为，用质点角动量定义求解。

2?r2??1.5?10111124?1.5?10?6.0?10?2.68?1040kg?m2?s?1 解：L?rmv?rmT365?24?60?602-50．我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近?439km，远地点高度

d远?2384km，地球半径R地?6370km，求卫星在近地点和远地点的速度之比。

分析：卫星绕地球运动时角动量守恒。 解：(d近?R地)mv近?(d远?R地)mv远 所以

V近d远+R地??1.28 V远d近+R地???22-51．一个具有单位质量的质点在力场F?(3t?4t)i?(12t?6)j中运动，其中t是时间，

设该质点在t?0时位于原点，且速度为零，求t?2s时该质点受到的对原点的力矩和该质点对原点的角动量。

分析：由牛顿定律、力矩、角动量定义求解。 解：对质点由牛顿第二律有

????v?t?t?dv2F?ma 又因为a?所以?dv??adt???(3t?4t)i?(12t?6)j??dt 000?dt???322得v?(t?2t)i?(6t?6t)j

???dr?1423?32同样由v? 得r?(t?t)i?(2t?3t)j

dt43????????所以t=2时M?r?F??40k(N?m) L?r?mv??16k(kg?m2?t?1)

???2-52. 一质量为m的粒子位于（x, y）处，速度为v?vxi?vyj，并受到一个沿x方向的

力f，求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。 分析：由质点力矩、角动量定义求解

????????解：L?r?mv?(xi?yj)?m(vxi?vyj)?m(xvy?yvx)k ???????M?r?f?(xi?yj)?fi??yfk

2-53．电子的质量为9.1?10?31kg，在半径为5.3?10已知电子的角动量为

?11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。

h（h为普朗克常量, h?6.63?10?34J?s)，求其角速度。 2?得??分析：由角动量定义求解。

L16?1?4.13?10rad?s 2mr2-54．在光滑的水平桌面上，用一根长为l的绳子把一质量为m的质点联结到一固定点O. 起

解：由L?rm?2初，绳子是松弛的，质点以恒定速率v0沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到l时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。能量到哪里去了？（2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动，绳断后质点对O的角动量如何变化？ 分析：绳子绷紧时，质点角动量守恒。 解：（1）当质点做圆周运动时，mv0b?mvl

可得其速度v?v0b l1bm(v0)2Ekb22l所以最终动能与初始动能之比??2?1，其他能量转变为绳子的弹性势

1Ek0l2mv02能，以后转化为分子内能.

（2）绳子断后，质点将按速度v?v0b沿切线方向飞出，做匀速直线运动质点对0点的角l动量J?mv0b?恒量。

2-55． 如题图2-55所示，质量分别为m1和m2的两只球，用弹簧连在一起，且以长为L1的线拴在轴O上，m1与m2均以角速度?绕轴在光滑水平面上作匀速圆周运动．当两球之间的距离为L2时，将线烧断．试求线被烧断的瞬间两球的加速度a1和a2．(弹簧和线的质量忽略不计)

分析：未断时，球2受的弹性力为圆周运动的向心力，线断瞬间弹性力不变仍为球2受的弹性力；该力使M1、M2 产生加速度。

解：未断时对球2有弹性力 f?m2?2(L1?L2) 线断瞬间对球1有弹性力 f?m1a1 ?? 对球2有弹性力 f?m2a2 解得 a1?m2?2(L1?L2)/m1 O 2 a2??(L1?L2)

?1L1 m1 L2 m2 题图2-55 2-56．A、B两个人溜冰，他们的质量各为70kg，各以4m?s的速率在相距1.5m的平行线上相对滑行。当他们要相遇而过时，两人互相拉起手，因而绕他们的对称中心作圆周运动，如图2-56所示，将此二人作为一个系统，求： （1）该系统的总动量和总角动量； （2）求开始作圆周运动时的角速度 分析：两人速度大小相等、方向相反。

A 1.5m ???解：（1）系统的总动量P?m1v1?m2v2?0

2?1总角动量L?rm v?rmv?420kg?m?s111222B 题图2-56

（2）??

v4??5.33rad/s r1.5/22-57人造地球卫星绕地球中心做椭圆轨道运动，若不计空气阻力和其它星球的作用，在卫星运行过程中，卫星的动量和它对地心的角动量都守恒吗？为什么？ 分析：由守恒条件回答。

答：人造卫星的动量不守恒，因为它总是受到外力──地球引力的作用．人造卫星对地心的角动量守恒，因为它所受的地球引力通过地心，而此力对地心的力矩为零。

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