高等数学 习题册解答_7.微分方程(青岛理工大学)

第七章 微分方程 § 1 微分方程的基本概念

1、由方程x2-xy+y2

）的解。

A. (x-2y)y =2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2

y=Cx+C2 ) 所满足的微分方程 （ ） +y 2 B.y=Cx+y 2 C. xy +y 2=C D. y =xy +y 2

3

y=(C1+C2x)e2x , y|x=0=0 , y |x= =1，则C1,C2的值为（ ） 1=0 , C2=1 B. C1=1 , C2=0 C. C1= , C2=0 D. C1=0 , C2=

1

写成以y为自变量，x为函数的形式为（ ） 2x y

dy1dx1 A. B. =2x-y D. y =2x-y

dx2x ydy2x y

4.

微分方程y =

5. 已知某初值问题的解为y=C1sin(x-C2) y|x= =1,y |x= =0, 确定C1, C2 解：y=C1sin(x-C2), y =C1cos(x-C2) 代入y|x= =1,y |x= =0得C1=1,C2=2k +

2

6 .设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动。物体B从点 (-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。 解：设在时刻t，物体B位于(x,y)处，则

dyy (1 vt)

dxx

d2ydt

1 整理可得：x2 v ○

dxdxds dy dx 而2v dtdxdt

2

有

dt1 dy

2 ○

dx2vdx

2

其中s表示B的运动轨迹的曲线的弧长。

d2y1 dy 2代入○1得：x2 将○ 0

dx2dx

初始条件：y(-1)=0, y (-1)=1

§2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）

1

A.可分离变量的微分方程

一阶微分方程的对称形式。 C.不是微分方程 D.不能变成

dxQ(x,y)

dyP(x,y)

2、方程xy -ylny=0的通解为（

A y=ex B. y=Cexcx D.y=ex+C 3、方程满足初始条件：y =e2x-y , y|x=0 ）

e2x 11

A. e=e ln C. y=lne2x+1-ln2 D. ey=e2x+C

22

y

4、已知y=y(x)在任一点x处的增量 y x ，且当 x 0时， 是 x 2

1 x

y

2x

的高阶无穷小，

y(0)= ,则y(1)=( ) A. 2 B. C. e4 e4 5、求 特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=解：分离变量为tanydy=tanxdx

即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC cosy=ccosx

代入初始条件：y|x=0=

2

得：C

24

4

特解为：2cosy=cosx

dy1x y

满足y(0)= 的特解。 cos x y cos

dx22

dyx yx ydyx

解：由 cos cos 0得： sin

ydx2222sin

2

yyx

积分得：lncsc cot 2cos C

2x2

6、求微分方程

代入初始条件：y(0)= ，得C= -2

0满足y(0)=0的特解 7、求微分方程yy e

8、子弹以速度v0=400m/s打进厚度为h=20cm的墙壁，穿透墙壁后速度为

100m/s飞出。假定墙壁对于子弹的阻力和子弹运动速度平方成正比，求子弹穿透墙壁所用的时间。

解：设在时间t=0时，子弹打进墙壁v(t)表示子弹在t时刻速度。子弹在墙

/

2x y2

壁中的运动所受阻力kv2(k为常数)由牛顿第二定律得：

dv1

又 kv2v

dtkt C

2

v(0)=v0=400.解得C=

1400

v

400

400kt 1

可设子弹穿透墙壁所用时间为T，且墙壁后h=20cm,知 T0

v(t)dt 0.2 即： T

0v(t)dt

T

400dt400kt 1 1k ln(400kt 1) T

10

0 k

ln(400kT 1) 0.2

e0.2k=400kT+1 (*)

由题设知：子弹在时刻T时，飞出墙壁，且速度为100m/s，即

v(T)

400

400kT 1 100，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即

T

3

400ln2

§3 齐次方程

22)dx-xydy=0，其通解为（ ） 22=x2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) =2x2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C 2.y

xy y

x

, y|x=1

=2，则特解为（ ） A. y2=2x22=2x2(lnx+2) 3. x 1 2ey x

dx 2ey x

1 y dy 0的通解为（ ） x

x

A. x=2y+C B. xyey

2 2yey C D.以上都不对 4、求y x2+xy=y2满足y|x=1=1的特解。

2

解：y y

yy x

x,令x u，则

dudxu(u 2) x解得：y 2x

1 x

2

5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解

dyx2 2xy y2

解：

ydx y2 2xy x2

,

令u

x

du u3可得xdx u2 u 1u2 2u 1

2

解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)

即x(1+u2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y

6、求初值问题 y x2 y2

dx xdy 0(x 0)

的解

y|x 0 0

dy2

解：原方程化为

dx yx y

x

令y=xu这里可得：

du u2

dxx

lnu u2

lnx lnCu u2 Cxy y2

x

x Cxy

x2 y2 Cx2

将y|x=1=0代入的特解为y x2 y2 x2或y

121

2x 2

7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x轴上的截距

解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y (X-x) 又x2 y2 x

yy

2

得 x 1 x dx,令x y

ydyu y整理得： ydu

u2 dy

解得：lnu u2

lny C 得通解x x2 y2 C 六、求y

x 2y 1

2x 4y 1

的解。

解：令u=x+2y，则u =1+2y'

12(u 1)

u 1

2u 1

3

2u 1

u

du 4dx 2u-lnu=4x+C

2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C §4 一阶线性微分方程

1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（ ） A. y 1 13 y2

1 3y C x 1 13

y2

1 3y C

C. y

1 1x2 1 3y3 C

D. x 1 13 y2

1 3y 2、微分方程xy +2y=xlnx满足y(1)= 1

9

的解为（ ）

A. y 13xln

x 111

9xy 3xlnx 9

x

C. x2y C 111

3x3lnx D. y

3lnx 9

x

3、y +y=y2(cosx-sinx)的通解为（ ） A .y=Cexx-sinx C. Cyex-ysinx=C D.y=ex-sinx+C

4、求 通解 x

dydx 3

2

y x2.y 解：xy 1

2

2

3dy 32y3 x2，令z y3得x3dz2dx 32

z x2dx dz 1z 2x2dxx3

1z e xdx C 213x2e xdx

2

y3

1 x 2 3 14x3 C

即y2 1C

6x2 x

2.xdy-ydx=y2eydy 解：整理得

dxdy 1

y

x yey

4

x e

1 dy

y

1 dy

C yeyeydy yey C

5、求 通解 xdy-ydx=y2eydy 解：整理得

x e

1

dy

y

dx1

x yey dyy

1 dy

C yeyeydy yey C

y ay f(x)

6、求初值问题 的解y(x)，其中a是常数，f(x)是连续函数

y| 0 x 0解：y(x) e

ax

x

f(t)eatdt

7、求微分方程y cosy-cosx sin2y=siny的解。 （提示令z=siny）

解：设z=siny，则方程化为z -z=z2 cosx，是伯努利方程 令u=z-1得u +u= -cosx

dx1 x dx u e C ( cosx)edx cosx sinx Ce

2

2

从而得 cosx sinx C1e x

siny

8、设环境保持恒定温度20 C，有一个物体在10秒内从温度100 C降到60 C，问此物体从100 C降到25 C需要多少时间？（提示：物体冷却速度与该物体和环境温度之差成正比）

解：设物体在时刻t的温度为u(t)，则u +ku=20k 解得u

du

k u T) k(u 20) dt

1

ln2, 需40秒。 10

9、已知连续函数f(x)满足方程f(x)

3x

t

f dt e2x，求f(x) 3

解：原方程两边对x求导数f (x)=3f(x)+2e2x

f (x)-3f(x)=2e2x 解得：f(x)=Ce3x-2e2x 又f(0)=1，所以C=3 f(x)=3e3x-2e2x

§5 全微分方程

1.下面方程中不是全微分方程的是（ ） A. (3x2+6xy2）+(6x2y+4y2)dy=0 B. eydx+(xey-2y)dy=0

5

班级 姓名 学号 成绩： 日期 .

-ysinx+siny=0 2dy=0

2、设曲线积分 f(x) ex sinydx f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶

L

连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于( )

e

x exe x exe x ex

A. 1 D. 1

222

3、设函数 (x)具有二阶连续导数，且 (0)= (0)=0，并已知y (x)dx+(sinx-

(x))dy=0是一个全微分方程，则 (x)=( )

x2x3

x B.x C.x2ex D.sinx C1cosx C2sinx

22

4、若 (x)是连续函数，且 (0)=1，并设曲线积分A 与路径无关，则A=( )

A.

2222

B. C. 2288

, 44 (0,0)

y (x)tanxdx (x)dy

5、判别下列方程的类型并求其通解 （1）(a2-2xy-y2)dx-(x+y)2dy=0

解：是全微分方程u(x,y) P(x,0)dx Q(x,y)dy a2x x2y xy2

x

y

13y 3

通解为a2x x2y xy2

（2）(1+e2 )d +2 e2 d =0

解：是全微分方程d( + e2 )=0 通解为 + e2 =C

6、若f(x)可导，f(0)=1，对任意简单闭曲线L, yf(x)dx (f(x) x2)dy 0，

L

13

y C 3

求 xf(x)dx

1

解：对任意闭曲线L有 yf(x)dx (f(x) x2)dx 0，知

L

Q P

x y

由此得f (x)-2x=f(x)

解得：f(x)=Cex-2x-2,再代入初始条件可得C=3。于是f(x)=3ex-2x-2

xf(x)dx

1

4 3

6

7、若 (x)是连续函数，且 (0)=1，并设曲线积分

A

, 44 (0,0)

y (x)tanxdx (x)dy与路径无关，求A

Q P

，得 (x)=- (x)tanx

x y

解：曲线积分与路径无关

解得 (x)=Ccosx,又因为 (0)=1得C=1所以 (x)=cosx

A

, 44 (0,0)

y (x)tanxdx (x)dy

4

2

0dx 4 cos dy

04 8

§6 可降阶的高阶微分方程 1、yy +y 2=0满足初始条件y|x=0=1，y |x=0= A. y2

y x 1 C. y

2、方程xy =y lny 的通解为（ ）

y

1

的特解为（ ） 2

x 1 C D. y2=C1x+C2

1C1x

e C2 B.y C1ec1x C2 C1

1

C.y C1eCx C2x D.以上都不对 3、 (1) 求y =y +x的通解

x2

x C2 解：令y =p得p -p=x p=-x-1+C1e y C1e 2

x

x

(2) 求xy +y =0的通解 解：令y =p，则xp +p=0

Cdpdx

得 p 1 y=C1lnx+C2

pxx

4、求下列方程所满足初始条件的特解 (1) yy +(y )2=0 , y(0)=1 , y'(0)=

1

2

解：由yy +(y )2=0得(y y) =0, y y=C1 又y(0)=1 , y'(0)= (2) y3y +y =0

11

得C1= y2=x+C2 代入初始条件得C2=1， y2=x+1 22

C1x

解：令y =p，则xp +p=0 解得p y=C1lnx+C2

1

2

5、求y2y +1=0的积分曲线方程，使其通过点 0, 且在该点处切线的斜率为2 解:y2y +1=0 ,y|x=0=

1

, y |x=0=2 2

7

令y =p，y p

dpdy

，方程化为y2p

dp

1 0 dy

p211

C1，由y|x=0= , y |x=0=2得C1=0 解得：2y2dy dx

21 1 2

解得y2 2x C2 y3 3x

2 2 3y

3

2

x1

6、设在x>-1时所定义的可微函数y(x)满足y (x) y(x) y(t)dt 0，及

1 x 0

y(0)=1，求y (x)

解：原方程化为(x+1)(y (x)+y(x))= y(t)dt

0x

令y (x)=p则有(x 1)

dp

(x 2)p 0 dx

解得：ln|p|=-(x+ln|x+1|)+C由y (0)=-y(0)=-1,p|x=0=-1得C=0

y (x)

1

e x x 1

15x

e是方程y -3y +2y=e5x的通解 12

§7 高阶线性微分方程 1、证明：y C1ex C2e2x

2、已知二阶线性非齐次方程y +p(x)y +q(x)y=f(x)的特解为y1=x,y2=ex,y3=e2x,试求 方程满足初始条件y(0)=1,y (0)=3的特解。

解：由线性微分方程解的理论，非齐次微分方程y +p(x)y +q(x)y=f(x)任两解之差是对应齐次方程y +p(x)y +q(x)y=0的解。得齐次方程的两个解：ex-x,e2x-x，且线性无关。于是齐次方程的通解Y=C1(ex-x)+C2(e2x-x). 非齐次方程的通解是y=x+C1(ex-x)+C2(e2x-x). 由y(0)=1，y (0)=3代入得：C1= -1, C2=2 所以特解为y=2e2x-ex §8 常系数齐次线性微分方程

1、设y=ex(C1sinx+C2cosx) (C1,C2 为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程

）

A.y +2y -2y +2y=0 C.y -2y =0 D.y +y=0

2、设y

1=excos2x,ysin2x 都是方程y +py +qy=0的解，则（ ） 3

r1,2= -1,r3,4= i，则此方程通解为 （ ） 1+C2x)e-x+C3cosx+C4sinx B.y=C1e-x+C2cosx+C3sinx

8

C. y=C1e-x+C2cosx+C3xsinx D.C1e-x+(C2+x)cosx+C3sinx

4、求下列微分方程的通解 (1) y -4y +13y=0

解：r2-4r+13=0 r1,2=2 3i y=e2x(C1cos3x+C2sin3x)

(2) y +25y=0 解：r2+25=0 r= 5i y=C1cos5x+C2sin5x

d2sds

(3) 2 2 s 0

dtdt

解：r2+2r+1=0 r1,2=-1 y=(C1+C2t)e-t (4) y(4)-2y +5y =0

解：r4-2r3+5r2=0 r1,2=0,r3,4=1 2i y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x) 5、求下列初值问题的特解

y +( 1+ 2)y + 1 2y=0 ( 1 2且为实数)满足y(0)=0,y (0)=1 解：r2+( 1+ 2)r+ 1 2=0 r1= 1 r2= 2

通解为y C1e x C2e x 由y(0)=0,y (0)=1

1

2

得：y

11

e 1`x e 2x

1 2 1 2

6、一单位质点受一力的作用沿x 轴作直线运动，该力与M点到原点O的距离成

正比（比例系数为4），介质的阻力与运动速度成正比（比例系数为3），求该质点的运动规律，设开始时质点静止并且距原点1cm

d2xdt2

4x 3

dxdt

x

C1et C2e 4t x

15

(4et e 4t)

§ 9 常系数非齐次线性微分方程 1.、方程y

为常数）的特解形式为y*=( ) 2(Acos4x-Bsin4x)

2.、设函数y1,y2,y3都是线性非齐次方程y +p(x)y +q(x)=f(x)的特解，则函数y=(1- C1-C2)y1+C1y2+C2y3( )（C1,C2为任意常数） A. 是所给方程通解

C. 是所给方程的特解 3 、方程y -2y =xe2x

）

A. y*=Axe2x B. y*=(Ax+B)e2x2x D. y*=x2(Ax+B)e2x

9

4. 求解微分方程y +2y +2y=e-xsinx 解：对应的齐次方程：y +2y +2y=0 特征方程r2+2r+2=0 r1,2= -1 i

齐次方程通解为：Y=e-x(C1cosx+C2sinx)

由于 i=-1 i是特征方程的根，设y*=xe-x(Acosx+Bsinx)代入原方程得：

1

,B=0 2

1

即y*= xe-xcosx

2

A=

原方程通解为y=Y+y*=e-x(C1cosx+C2sinx) 5. 求解初值问题y +9y=cosx ,yx y x

2

2

1-x

xecosx 2 0

解：由y +9y=0得：r1,2= 3i

所以齐次方程通解是：Y=C1cos3x+C2sin3x

由于 i=i不是特征方程的根，设y*=Acosx+Bsinx代入原方程得： A=, B=0，即Y=cosx 通解为y=C1cos3x+C2sin3x+cosx 由初始条件得特解y

11

cos3x cosx 248

1

8

1818

6. 求特解：y -y=4xex，y|x=0=0,y |x=0=1

解：r2-1=0 r1,2= 1，所以y -y=0的通解为Y=C1ex+C2e-x

因 =1是特征方程的单根，设y*=xex(Ax+B)是原方程的一个特解，代入原方程得：

A=1,B=-1 即y*=ex(x2-x)

原方程的通解为：y=C1ex+C2e-x+ex(x2-x) 代入初始条件得：C1=1,C2=-1 所求特解为：y=ex(x2-x+1)-e-x 7. 求y -4y=e2x的通解

8、证明：y C1eC 3x 1是方程y -9y=9的解，但不是其通解，C1,C2为任意常 数

证明：y C1eC 3x 1代入方程使方程成立，是方程的解。

2

2

又因为y C1eC 3x 1只有一个常数。所以不是方程的通解。 9、证明方程y +y=f(x)(其中f(x)连续)的通解为

2

10

y=C1cosx+C2sinx+ f(t)sin(x t)dt, C1,C2为常数

0x

证明：有 +1=0 = 1 .故齐方程通解为Y=C1cosx+C2sinx 记y* f(t)sin(x t)dt sinx f(t)costdt cosx f(t)sintdt

x

x

x

x

x

2

则y* cosx f(t)costdt sinx f(t)sintdt

y* sinx f(t)costdt cosx f(t)sintdt f(x)

0x

0x

所以y* +y*=f(x)，即y*是其一个特解。

由解的结构定理：y==Y+y*=C1cosx+C2sinx+ f(t)sin(x t)dt

0x

10、设du [ex f/(x)].ydx f/(x)dy，其中f(x)有连续的二 阶导数，并且满足：f(0) 4,f/(0) 3 ，试求函数f(x) ( f(x)=2 (2 x)ex) 第十二章 自测题 一、选择题(3 6=18分)

1.方程(x+1)(y2+1)dx+y2

2是( ) A.线性非齐次方程 可分离变量方程 C.线性齐次方程 2.微分方程xdy-ydx=y2ey

dy的通解为( ) A. y=x(C-exx) C.x=y(C+eyy)

2-xy+y2=C( ) =2x-y B.(x-2y)y =2x =2x-y D.xy =2x-y 4.微分方程y -2y =xe2x

A. y*=(Ax+B)e2x B. y*=Axe2x

C. y*=Ax2e2x D. y*=x(Ax+b)e2x

5.已知y1,y2,y3为方程y +a1(x)y +a2(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，C1,C2,C3均为任意常数，则该方程的通解为( ) A.C1y1+C2y2

y1+C2y2+C3y3

C. C1y1+C2y2+y31(y1-y2)+C2(y1-y3)+y2

6.函数y=y(x)的图形上的切线为2x-3y=0且y(x)使y =6x，则函数y(x)为( ) A.y=x2-2 B.y=x3+2 C.3y-3x3+2x+6=0 D.3x-3y2-2y-6=0 二、填空题(3 6=18分)

1 x21

C1. f (x) f(x) 1的通解为f(x) x 2x

11

2. 方程y +sin(2x-y)=sin(2x+y)满足初始条件yx

2

的特解 2

B

12

3. 积分 f(x) 4f (x) dy ysin2x dx与路径无关，且f (0)=f(0)=0，则f(x)

A

为

181 4x

e40

3 2

11 cos2x sin2x 1020

4. 设常系数方程y +by +cy=0的基本组是y1=e2xcosx, y2=e2xsinx，则b=_-4,C=5

5. 方程y -4y +4y =x的通解为

y C1 C2e

2x

C3xe

2x

x2x (C1,C2,C3为常数) 84

6. 已知连续函数f(x)满足f(x) 三、求通解(5 4=20分)

1.（xlnx）y +y=ax(lnx+1) 解：原方程化为y

1

0

3x

t

f dt e2x则3x2x 3

11

y a 1 xlnxlnx

1

dx 1 xlnxdx C y exlnx C a1 e ax lnx lnx

C

的通解。 y ax lnx

dy2. xy x3y3 0 dx

du

解：令u=y-2，则 2xu 2x3

dx

2xdx 3 2xdx2x2 u edx x 1 Ce C 2xe

通解y 2 x2 1 Cex 即y2x2 1 Cex 1 3.y -ay 2=0, y(0)=0,y (0)= -1 解：令y =p,即p =ap2=0得p

1

代入初始条件得

ax C1

12

2

2

y

1

a

ln(ax 1)4.y +2y +y=cosx，y(0)=0,y x 0 2

解：r2+2r+1=0 r1,2= -1故Y=(C1+C2x)e-x

+i =i不时特征根，设y*=Acosx+Bsinx是原方程的特解，代入方程得：

A=0,B=

12 y*=12sinx 通解是y=(C1+C2x)e-x+1

2

sinx 代入初始条件得C1=0,C2=1,特解为y=xe-x+1

2

sinx

四（10分）设可导函数 (x).满足 (x)cosx 2 x

(t)sintdt x 1，求 (x).

解：求导得 (x) tanx (x)

1

cosx

(x) e tanxdx 1 tanxdx C cosx

edx

sinx Ccosx 由题设 (0)=1 C=1

(x)=sinx+cosx

五（10分）求(x+y2)dx-2xydy=0满足y|x=1=2的特解。 解：设积分因子u(x,y)

1x2

1xdx y22xy

x2dx x2dy 0

d lnx y2即

x 0

y2lnx x

C

代入初始条件得C=4

lnx y2

原方程的特解为x

4 六（12分）设f(x)具有二阶连续偏导数，f(x)=0,f (0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f (x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的解。 解：

P Q

y

x2 x

+2xy-f(x)=f (x)+2xy f (x)+f(x)=x2, f(0)=0,

r2+1=0 r1,2= i齐次方程的通解为Y=C1cosx+C2sinx

不是特征方程的根。设f*(x)=Ax2+Bx+C,代入原方程A=1，B=0,C=-2

13

f(x)=x2-2，

通解是f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2

代入初始条件f(x)=0,f (0)=1，得C1=2, C2=1 f(x)=2cosx+sinx+x2-x

求得通解x-2ysinx+ycosx+2xy+

122

xy2

=C 七（12分）设函数f(t)在[0,+ ）上连续，且满足方程：

f(t) e4 t2 f 1x2 y2 dxdy，求f(t) 2

x y2 4t2 2

f(t) e4 t2

f 1

2x2 y2 4t2

2x y2

dxdy

=e

4 t2

2

d 2t

f(r

4 t2

2t

002

)rdr=e 2 r

0f(2

)rdr

由此可得f(0)=1，且f (t)=8 te4 t2

+8 tf(t) f'(t)-8 tf(t)=8 te4 t2

这是一个一阶线性微分方程,P(t)= -8 t，Q(t)=8 te4 t2

f(t)=e P(t)dt P(t)dt

C Q(t)edt e 8 tdt C

8 te4 t2e 8 tdtdt

=e

4 t2

C 8 tdt e

4 t2

C 4 t2

代入条件f(0)=1得C=1,所以f(t)=(1 4 t2

)e

4 t2

14

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