古典概率计算中的摸球模型 论文

古典概率计算中的摸球模型

目 录

摘要 ........................................................................ 2 关键词 ...................................................................... 2 引言 ........................................................................ 4 第一章、古典概率定义及其性质 ................................................ 5

1.1古典概率的定义 ....................................................... 5 1.2古典概率的性质 ....................................................... 5 第二章、古典概率的计算方法 .................................................. 8

2.1直接计算古典概率 ..................................................... 8 2.2间接计算古典概率 ..................................................... 9 2.3组合分析公式计算古典概率 ............................................. 9 2.4排列与组合 .......................................................... 11 第三章、古典概率计算中摸球问题 ............................................. 13

3.1 随机的取出若干球 ................................................... 13 3.2无放回的取出若干球 .................................................. 13 3.3有放回的取球若干次 .................................................. 14 第四章、古典概率的应用 ..................................................... 16

4.1在比赛中的应用 ...................................................... 16 4.2在彩票中的应用 ...................................................... 17 结 论 ...................................................................... 19 参考文献： ................................................................. 20 致谢 ....................................................... 错误！未定义书签。

古典概率计算中的摸球模型

摘 要

古典概型是概率论众多概型中的一种，它也是是概率论发展初期的主要研究对象,涉及了几种计算方法，利用这些方法来解决实际中的问题。掌握古典概率的计算方法原理，可以使学生解题思路更加清晰，能够运用正确的方法解题，从而使得遇到类似问题时轻松解决，培养了良好的解题能力。概率论在人们的生活中被充分应用，例如彩票，比赛，掷骰子游戏等等，方方面面都离不开概率论，其中摸球问题也是学习中常见的一种题型，概率论在社会上以及人们的实际生活中都有很概率论在社会上以及人们的实际生活中都有着很重要的意义，因此数学中一直高度的重视概率论。 关键词：古典概率；摸球模型；排列与组合；

Exploration of the solution of fetching - ball model in the classical probability field

Abstract

Classical probability model is one of many schemes of probability theory, which is the main object of study of the early development of probability theory, involving several calculation method, using these methods to solve practical problems.Master the methods of calculation of classical probability theory, allows students to solve problems more clearly, and to use it the right way to solve problems, making it easily encounter the same problem, and cultivating the ability to solve problems. Probability on the in people of life in the was full application, such as Lottery, game, throwing dice game wait, aspects are is inseparable from probability on the, which touch ball problem is learning in the common of a questions, probability on the in community and people of actual life in the are has is probability on the in community and people of actual life in the are has is important of meaning, so mathematics in the has been height of attention probability on the.

Keywords: classical probability；fetching ball model ；permutation and combination

引言

古典概率是概率论中很重要的一部分，大学概率论课程中首先就对其进行的学习,它也是是概率论发展初期的主要研究对象,其中摸球摸球也是实际中常见的应用。概率论在起源和赌博联系到了一起。17世纪中叶，法国的贵族德·梅耳对赌博很沉迷，一次在赌博的时候有个很重要的事急于处理必须中途停止赌博，想要赢得赌博就需要对胜负的预测进行合理的分配，但是不知道如何分配，于是写信请教法国数学家帕斯卡。正是这封信使概率论向前迈进了一大步。并且人们也开始了研究掷硬币、掷骰子和摸球等游戏。2008年李荣江发表了《计算古典概率的若干简化方法》中讲述了古典概率的几种常见方法，荷兰数学家惠更斯在1659年出版的《论赌博中的计算》讲述了生活中赌博成败的可能性各占多少，都体现了概率在赌博中的问题。因此熟练掌握概率论的几种常见计算方法对于学好概率论有着非常重要的意义。古典概型的定义以及它的性质，然后再具体介绍它的几种常见方法，例如直接计算，间接计算以及排列组合分析公式等，探讨古典概型在计算中摸球的模型.古典概型具有基础性和重要性，在国内一直受到很大的关注。

第一章、古典概率定义及其性质

1.1古典概率的定义

实验中样本所发生的可能性都是随机的并且有限的，而且每个基本结果发生的概率也是相同的。对于古典概型，它的样本点总数是n，事件A包括其中的m个，那么规定事件A的概率为

P?A??m事件A包括的样本点数A的有利样本点数?? n样本点总数样本点总数随机试验具有的以下两个特征：

1、实验中的样本空间只有有限个样本点数；（有限性） 2、实验中每一个样本点发生的可能性都是相同的。（等可能性）

具有以上两个特征的实验是大量存在的，这种实验也称为等可能概型或古典概型。

事件发生的可能性又分为随机事件、必然事件和不可能事件。对于一个事件它是否会发生是不可预定的，像抛一枚硬币，问是反面朝上还是正面朝上这样的情况，正反都有可能不管可能性是多少但都有可能，这样的事件成为随机事件，必然事件指的是事件是一定会发生的，例如太阳一定从东边升起西边降落，实数一定与数轴上的点一一对应。而不可能事件与不然事件整好相反，它指的是事件一定不会发生，例如太阳从西边升起，实数的平方可以为负数等。 1.2古典概率的性质

古典概率有以下四个基本性质： 1、 0?P?A??1；（非负性 ）

2、 P????1（样本空间是指样本点全体组成的集合，记为?）；（正规性 ） 3、P????0（?为空集）； 4、 设事件A1,A2,?,Am互斥，则

（有限可加性 ） P?A1?A2???Am??P?A1??P?A2???P?Am?。

古典概率只是概率论的种类之一，它还还具有一些其他性质如： 性质1 （逆事件的概率）对任一随机事件A，有

PA?1?P?A?。

性质2 （可减性）若A?B，则

P?A?B??P?A??P?B?。

??

推论 （单调性）若A?B，则P?A??P?B?。

性质3 （加法公式）对于任意的两个事件A、B，都有

P?A?B??P?A??P?B??P?AB?。

对性质3进一步推广设A1,A2,? An为n个事件，那么

P(A?A2? 1

nAn)P(AiAj)?An)1?i?j?n1?i?j?k?n ?

?P(A)??ii?1?P(AiAjAk)

??(?1)n?1P(A1A2证：（i）（i）成立. 任意事件的可能性都是小于1的

（ii）成立. 必然事件是指包括所有的事件

（iii）令

Ae?{e2,,e?{2,?ek2,?,ekt3}A,B包含的事件不同所s??e1,e2,?en?,A?,?eir,e,B?B{eekt}.i2,ir},i1,i1k1,ek1??以是互不相容的，则A?B?{ei1,?,eir,ek1,?,ekt}.

A所包含的基本事件又因为P(A)=基本事件的总数所以，

P(A?B)?r?trt??=P（A）+P(B). nnn（iv）A,A是互不相容的 P(A?A)?P(A)?P(A)

?A?A?S,?P(A?A)?1.

(v)P(o?)?P(S?o?)-P?S??P(S)?P(S)?0;

(vi)

?A?B,?A?B?(B?A)且A与B?A互不相容 ?P(B)?P(A)?P(B?A)_

?P(B?A)?P(B)?P(A)又?P(B-A)?0,?P(A)?P(B). (vii)

A与B为任意事件，?A?B?AB

?A?B?A?(B?A),且A与B?A互不相容?P（A?B）?P(A)?P(B-A)?P(A?)P(B-)P(AB)n

P(A1?A2??An)??P(Ai)?i?11?i?j?n?P(AA)??P(AAA)

ijijk1?i?j?k?n???(?1)n?1P(A1A2?An) (n?2)

当n=2时，符合上式

n?2时，对于任意的k?n，满足上式，即成立

k?n?1时，P（A1?A2???An?An?1）?P（（A1?A2??An）?An?1） = P(A1?A2???An)?P(An?1)?P((A1?A2???An)?An?1) =

?P(A)??P(AA)??P(AAA)???(?1)iijijki?11?i?j?n1?i?j?knn?1P(A1A2?An)+

P(An?1)n-P（(A1An?1)?(A2An?1)???(AnAn?1)）

??P(Ai)??P(AiAj)??P(AiAjAk)???(?1)n?1P(A1A2?An)?P(An?1)

i?11?i?j?n1?i?j?k?n?(?P(AiAn?1)?i?1nn

1?i?j?k?nn1?i?j?n?P(AAAij1?i?j?nn?1)??P(AAAAijki?1n?1)???(?1)P(A1A2?AnAn?1))n?1?(?P(Ai))?P(An?1)?(?P(AiAj)??AiAn?1)?(?P(AiAjAk)i?11?i?j?k

?1?i?j?n?P(AAAijn?1n?2))???((?1)P(AA?A)?(?1)n?112na1a21?a1?a2??an?1?n?AA?Aan?1)

?(?1)n?1P(A1A2?AnAn?1)1?a1?a2?ak?n??Aa1Aa2Aak指的是从A1,A2,,An中抽取k个元素

rr-1r 且Cn?Cn?Cn?1?1?a1?a2?ak?nn?1i?1Aa1Aa2Aak?1?a1?a2?ak-1?n?Aa1Aa2Aak-1?1?a1?a2?ak?n?1?Aa1Aa2Aak 所以上式??P(A)??iP(AiAj)?1?i?j?n1?1?i?j?k?1n??P(iAjAkA)?n A )?(?1)1P(2AA?1n

第二章、古典概率的计算方法

学好概率论首先要掌握古典概率的计算方法，因为其对于概率论而言具有着重要的意义。很多学生在学习古典概率的过程中，对于有些习题总是不知道该怎么做，不能准确得到问题求解的结果。下面总结了几种关于计算古典概型的方法，可以帮助学生提高解题能力。要想很快的并且正确的解答古典概型问题，做好下面三个方面是最关键的，一是了解问题的性质看它是不是古典概型问题；二是熟练掌握古典概型的公式有利于我们做题；三是根据公式要求，确基本事件总数定n和有利事件总数k的值，这也是解题的关键一步，计算的方法不止一种没有一个固定的模式灵活性很强，但古典概型的解法大多数都是围绕n和k展开的．下面介绍一下这三种方法，即直接计算，间接计算，组合分析公式计算。

2.1直接计算古典概率

直接计算都是针对一些比较简单的问题,对于总数不大的对象，通常采用枚举法。枚举法是指把对象一一列举出来进行计数的办法，枚举时重点在于不重复、不遗漏。 例1. 张明和王强两人要去黄山风景区游玩，每天开往黄山风景区有3辆车，这三辆车的票价一样、但是舒适度不同，他们不知道乘车顺序和舒适度。现在两人乘车的方式不同，张明不管第一辆车是哪个都会乘坐。王强不坐第一辆车但是会观察它的舒适度，等第二辆车到达之后会与第一辆车进行比较，如果舒适度差与第一辆车，则张明会选择上第三辆车。现在把这三种车按舒适度分类，分为上、中、下三种，则张明、王强坐上等车的概率分别是多少？

解：张明乘车概率记为甲，王强乘车概率记为乙。下表列举了所有的可能情况。

乘车方案可能的情况表

车辆顺序

上 上

张明乘的车

下 中

上 上

王强乘的车

下 中

中 下

中 中 下 下

上 下 上 中

下 上 中 上

中 中 下 下

上 上 上 中

易得

3121??。 ?，P乙6263利用枚举按顺序进行，这样能很大的提高准确性及解题速度，若要能清楚的反映情况可以通过列表法或画树状图来解决。

P甲?2.2间接计算古典概率

有的问题用直接计算的方法会很麻烦，解决的方法各种各样，只有运用适当的方法才

能提高效率，有些问题可以采用概率的性质和理间接地计算事件的概率会简单一些。定合格品，10个是次品，现在要从这批灯泡中任意抽取取3个，求其中有次品的概率是多少？

例2. 一批灯泡总共有50个，其中有40个是合格的，剩余的10的均不合格。其中不合格的概率是多少？

解：设A?{从40个合格的灯泡中任取3个所占总体的概率}，A?{从10个次品中任取3个所占总体的概率}，那么事件A与A是互为对立事件，有

3C40PA?3?0.504，

C50??从而所求事件的概率为

P?A??1?PA?0.496

??2.3组合分析公式计算古典概率

排列与组合是计算古典概率题目的重要公式，在计算古典概率的题目时也是经常要用到的。

基本组合分析公式

1、全部组合分析公式的推导原理：

乘法原理： 一项工作若需依次经过A1和A2两个过程，A1过程有n1种方法，A2过程有n2种方法，则要完成该项工作一共有n1?n2种方法。

加法原理： 一项工作如果可以通过几种不同的过程来完成例如一项工作有A1和A2来完成，A1过程有n1种方法，A2过程有n2种方法，那么完成这项项工作一共有n1?n2种方法。这就是加法原理。

乘法和加法原理还可以拓广到各个领域，相似类型的问题都会运用到这两个原理。生活中经常会应用这些原理，例如：从宿州到铜陵总共有3种路径可直接到达，1：火车k1 2：飞机k2 3：轮船k3，那么从宿州-铜陵的方法N=k1+k2+k3。

2、排列

从元素总体中抽取n个元素再取出r个来进行排列，抽取过程我们不仅要考虑到取出元素的个数也要考虑其排列顺序。

这种抽取元素进行排列的情况可以分为两种类型：第一种类型是从总体中有放回的取球若干次，并且取球的过程具有重复性。第二种类型是从总体中无放回取球若干次，每个元素只有一次被抽取的机会，取出的元素不再算入总个数中，也就是说如果有10个球无放回取出一个后计算的时候总体个数就不再是10而是9，那么无放回取球取的个数r?n。

（1）从n个元素中有放回的取出r个元素来进行排列，这种排列方式是有重复性的排

r列它的总数为n。

（2）从n个元素中无放回的取出r个元素来进行排列，这种排列方式叫做选排列它的总数为

rAn?n(n?1)(n?2)?(n?r?1)，

当r?n时，称它为全排列，这时Ann?n!。 3、组合

①组合的定义是从n个元素中不考虑顺序的取出r个，这种组合方式有

rAnn(n?1)?(n?r?1)n!。 C???r!r!r!(n?r)!rnrrn?r也代表二项展开式(a?b)??CnC表示的是这种组合具有的所有可能总数，ab（其中rnnnr?0rn?r0Cn?1）中ab的系数。

可以看出，组合数有以下几种性质：

nn?rrn?rrCn?Cn，Cn?Cn?1。

rr?r???rk?n②如果12，把n个不同的元素分成k个部分，其中第一部分r1个，第二部分r2个，?，第k部分rk个，那么不同的分法有

rkr1r2CnCn?r1?Cn?r1???rk?1?n!

r1!r2!?rk!rrr种，上式中的数称为多项系数，因为它是(x1?x2???xk)n展开式中x11x22?xkk的系数，当k?2时，称为组合数。

（3）如果n个元素带下标“1”的有n1个，带下标“2”有n2个，?，带下标“k”nkn?n???nk?n个，并且12，从这n个元素中取出r个，使得带下标“i”的元素有ri个（1?i?k），而r1?r2???rk?r，这种不同取法的总数有

rkr1r2CnC?Cn2nk。 1但是要求ri?ni。

2.4排列与组合

学习概率论排列组合是计算相关习题的基础，学习过程中很多问题的解决都离不开排列组合，生活中也有很多利用排列组合的应用，例如学习中常见很多习题都涉及站位问题，可能性排列组合是学习概率统计的基础，也是解有多少种，以及生活中举办画展应该怎样排列方式等等，要求不同排列的可能情况也不同，所以相关的习题题型灵活变化，综合性也很强，掌握解题技巧很重要，解题思路保持清晰用适当的方法解题概率论的问题就会简单很多。具体的方法有一下几种：

1、优先安排法

对于含有特殊元素（位置）的，特殊问题特殊对待，也就是说先把特殊的元素安排好，然后再对没有特殊要求的元素进行排列。

例3：用1，2，3，4，5这五个数字组成一个三位数，这个三位数中的数字不能重复使用，问这些三位数中是偶数的共有多少个？

分析：凡是个位数字是偶数的就一定是偶数，从而这五个数中2，4是偶数，我们就把这两个特殊的数字放在最后一位。

222?2?24解法：如果个位选2，则有A4种，如果个位选4从而也有A4种，所以总共有A4种没有重复数字的三位偶数。

例4：画展计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，需要排成一行贡人观赏，要求水彩画不能放在两端，并且同一品种的画必须连在一起，现在问不同的排放方式有几种？

解：把所有的画作为一个整体，水彩画只放在中间，油画和国画进行全排列，所有的

25排列可能共A4?A5?2?5760种。

2、捆绑法

遇到那些要求特殊元素必须相邻的问题时通常用“捆绑法”，做法是把相邻元素看成一个整体，再对相邻的元素先自行排列，然后看成一个整体参与其它元素进行排列。解决

mn?m?1n?An这一类题型的问题我们可以用一个通用的公式：S?Am?m?1（m是总元素中相邻的个

数）。

例5：有甲乙丙丁等7个人排成一排，现在问甲、乙必须相邻共有多少种排列方法？ 分析：甲乙相邻看成一个整体，而这个整体中甲可以在乙左边，也可以乙在甲左边，共有两种可能，而其他的5人不做要求。

2解法：先对甲乙进行排列可能性共有A2种，再把甲乙看成一个整体与其余5人进行排

626?A6?1440种。 列，共有A6种排法，所以甲乙相邻的可能一共有A2

3、插空法

解决不相邻问题我们通常用插空法解决会非常方便，插空法与捆绑法相反它是先将其它元素排好，再将所要求的不相邻的元素插入它们的间隙或两端的位置。对于一些常见的

问题它们要求某些元素不能放在一起，这个时候通常就要用到插空法的知识，需要注意的地方是准备插入的位置是不是已经包含了两端位置。

元素总个数是n，其中m个元素不能相邻，排列形式可分为以下几种；（1）对于只要

n?mmn?mS?An?m?An?m?（1An?m指的是去掉m个求不相邻没其他要求的问题，这种情况的排列总数为

mAn不相邻元素剩余元素的全排列，?m?1指的是m个不相邻元素在两端的可能性总数，即n?m?1）；（2）如果有m个不相邻元素的顺序已定，则它的所有不同的排列数有

n?mmS?An?m?Cn?m?1。

4、排除法

对于那些比较繁琐需要从正面考虑的情况又很多的问题，我们可以用“逆向思维排除法”来解决，也就是说可以先考虑不符合条件的，然后再用所有可能的情况减去不符合条件的从而得到题目中要求的结果。

例6：一个平面里有9个位置不同的点，这9个点里有三点共线，现在让求任意连接三点能够得到多少个不同的三角形？

分析：平面内的任意三个点只要不是共线那么就能围成一个三角形。我们可以先求出所有可能，再排除共线的个数，那么所得的就是符合条件的个数。

3解法：若9个点中不存在三点共线，那么可作C9?84个不同的三角形，但是已知仅有三点共线，所以这三个点不能构成一个三角形，那么就得到84?1?83个不同的三角形。

5、等可能法

对于那些只要求部分元素按一定顺序排列，其他元素没有任何要求，这种情况的问题可以采用等可能法，就是把那些要求按一定顺序排列的元素当成一个整体，与其他元素在一起进行全排列，全排列的结果再乘以特殊元素占总元素的比例。

将n个元素分成k（k?n）组，每组至少有一个元素，如果将k?1个隔板插在n个元

k?1S?Cn?1种不同的排列总数。 n?1素形成的个空隙中，那么可以形成

6、隔板法

有些题型涉及的是分配问题，这种问题比较复杂是一个难点，分配问题是排列组合中的一个难点，难在于会涉及名额分配和相同物体的分配，像这样的问题通常采用隔板法。隔板法把n个元素分成m组，那么就在n个元素间插入m-1个板的方法。 将n个元素分成k（k?n）组，每组至少有一个元素，如果将k?1个隔板插在n个元素形成的n?1个空

k?1S?Cn?1种不同的排列总数。 隙中，那么可以形成

第三章、古典概率计算中摸球问题

摸球模型是从指定的球里面按照不同的要求摸出球，在不同的情况下事件发生的概率也不相同，常见形式有随机的取出若干球，无放回摸球和有放回摸球，这几种摸球会导致结果截然不同，如果没有清楚的了解它的原理会导致结果多样化并且做题的时候思路不清晰。 3.1 随机的取出若干球

随机的从袋子中取出若干球是古典概型中的一种基本问题，这种情况我们只需要考虑球的大小重量是否相同，不用考虑摸球顺序，计算样本可能时只要求算出组合数就可以了。 例1 袋子里面有m个白球和n个黑球，总数记为m+n。从袋子里随机的抽取k个球，求其中恰好有一个黑球（1?n）的概率。

分析：随机地从袋中取出k个球有cA种可能的结果，“恰好有1个黑球”的事件共有cncmP?k1k?1种结果，恰有一个黑球的概率为

cccnk1k?1mm?n

清楚的掌握解题的思想可以解决很多类似的问题，但不能随便乱套现成的公式，有些问题表面上看相似，实质上差别很大，需要灵活运用公式。 3.2无放回的取出若干球

随机的从袋中无放回的取出一个球是指每次摸出一个小球后不再放回原来的袋子里，一次类推连续进行若干次。因为无放回的取球具有顺序性，所以考虑问题时一定不能忽略掉顺序，这种情况要用到排列计数。无放回摸球概型要遵循两个基本原则： 1、小球总是被看作互不相同。 2、分子分母具有相同的意义。

例2袋子里面有m个白球和n个黑球，总数记为m+n。从袋子里不放回的取球若干次，求下列事件的概率：

（1） 前i次中恰好取到1个黑球（1?i?A，； 1?n）（2） 第i次才取到黑球； （3） 前i次中能取到黑球； （4） 前i次恰好取到1个黑球；

（5） 到第i次为止才取到1个黑球； （1）“第i次取到的是黑球”也就是说总共摸了i次球，第i次恰好是黑球，而前面的i-1

次摸球中摸到的可能是白球也可能是黑球，最后一次摸到黑球是所有黑球里的一个。从m+n中不放回的取球i次，总共有

ppim?n种可能；“第i次取到的是黑球”共有

pi?1m?n?1c1n种。

i?1m?n?1i恰好取到一个球的概率为：

p1?c1np?n。 m?nm?n（2）“第i次才取到黑球”也就是说从第一次取球如果取到的是白球就继续，直到取到的球是黑色为止，这种取球的可能共有取球i次一共有

pcmi?11n种；类似于（1）可得从m+n个球中不放回地

pim?n种不同的取法，最后得到第i次才取到黑球的概率是

p2?pcpmim?ni?11n?nppii?1m 。

m?n（3）“前i次中能取到黑球”其中的可能性有很多种，如果不从正面考虑，先考虑它的对立事件也就是相反事件“前i次取出的都是白球”的概率。由公式得“前i次取出的都是白球”的概率是：P?ppiim?m?ncciim，再用总体的可能性减去它的对立事件得到的就是前i

m?n次能取到黑球的概率

p3?1?cciim。

m?n（4）“前i次恰好取到1个黑球”指的是取的球里面只有一个黑球，其余的都是白球，至于第几次取到黑球不重要，通过乘法原理计算得到共有cmi?1cp种取法，所以前i次恰好

1niipcccc?取到1个黑球的概率p?pci?1m1i?1mini4im?nm?ni1n。

（5）“到第i次为止才取到1个黑球”是指前i-1次取到的都是白球只有最后一次取到的是

pccc黑球，所以到第i次为止才取到1个黑球的概率p?pi?1m1?1ni?15im?ni?11m?1?1?ccmi?11?1n(n?1?1)iicm?n。

3.3有放回的取球若干次

随机从袋子里摸出一个小球，记录结果后再放回原来的袋子里，打乱顺序后再重新摸球，连续多次摸球，每一次都是有顺序的进行，每个球被取出后都会记录下来然后放回，放回后仍旧属于整体，不影响下一次摸球的结果，也就是说每次摸球球被摸中的可能性都是一样的，那么在解决这类问题时就要考虑到它的顺序，同样一个球在所有的摸球中被重复摸到了几次都要加入计算，每一次每一个小球被摸到的可能事件彼此是相互独立的，这

类问题属于独立重复试验问题，正因为每一个小球被摸到的概率相同所以解决这类问题时会用到等可能概率相关知识。

例7. 袋子里面有m个白球和n个黑球，总数记为m+n。现随机地从中每次取出一个球，取后放回，求下列事件的概率：

1、前i次中恰好取到1个黑球（1?i?A，； 1?n）2、到第i次为止才取到1个黑球（1?i?A，； 1?n）3、第i次取到的是黑球； 4、前i次中能取到黑球； 5、第i次才取到黑球；

分析：每一个事件都是和i次取球有关，那么我们就当作取球i次。根据题中的取球要求

i我们每次取球都是从A个球中取出1个共取了i次，从而应该有A种不同的取球方式。 1、“前i次中恰好取到1个黑球”意思是前i次摸球过程中有且只摸到一次黑球，其余全是白球，这个黑球具体是哪一次摸到的不在考虑范围内，这一个黑球属于i球里面的一个，将白球一一取出总共需要取i-1次。由乘法原理可以得到“前i次中恰好取到1个黑球”可能性共有cinm种。概率为

1ii?1p?cnm 。

(m?n)i1ii?11ii?12、“到第i次为止才取到1个黑球”意思是如果第一个摸出的球是白球就继续进行，直到摸出的球是黑球为止，第i次指的是总共摸了这么多次，里面有且仅有一次摸到的是黑球，并且是最后一次摸到的黑球，前i-1次摸到的都是白球，摸到白球的可能性共有m而“到第i次为止才取到1个黑球”总共有ci?1n1?11?1n种；

mi?1n?ci?1n1?11mi?1种可能，它的概率是

p?cnm(m?n)i?121?11i?1i 。

3、“第i次取到的是黑球”也就是说总共摸了i次球，第i次恰好是黑球，而前面的i-1次摸球中摸到的可能是白球也可能是黑球，最后一次摸到黑球是所有黑球里的一个，由乘法原理可以算出第i

(m?n)c次取到的是黑球的可能共有

i?11n种。它的概率是

(m?n)c?p(m?n)3ii?11n?n。 m?n 4、“前i次中能取到黑球”指的是取的所有球里面存在摸到黑球的可能，这种情况可能性太复杂，可以通过考虑它的对立事件“前i次取出的都是白球”，间接计算前i次中能取到黑球的概率，前i次取到的球都是白球的可能有m种。所以“前i次中能取到黑球”的概率是

ip4?1?m 。

(m?n)ii5、“第i次才取到黑球”也就是说从第一次取球如果取到的是白球就继续，直到取到的球

是黑色为止，这样的可能共有mn种。所以“从第i次才取到黑球”的概率是

nm 。 p(m?n)5i?1i?1?i以上这两类问题的解决方法是：（1）小球是互不相同 彼此独立的（2）分子，分母具有相同的意义。也就是说分母用排列记数则分子也一定要用排列记数。分母用组合记数则分子也一定要用组合记数。

第四章、古典概率的应用

生活中经常会应用到概率论中知识，例如比赛项目，我们语文课本上学过的田忌赛马就是利用了概率知识，算出每种情况的胜算再重新策划布局，这样赢的可能性就大很多，盲目的去做某事可能会产生事倍功半的效果，我们也会经常在大街上看到一些摆摊的，通过游戏的形式赚钱，很多人都知道那是一个骗局，却不知道它的原理，为什么有的人会设计了这样的游戏，就是因为他掌握了其中的原理，以下的几个例子就运用到了概率论的知识。 4.1在比赛中的应用

例8：甲乙两人进行跑步比赛，现在进入的是冠军塞，根据以往的比赛情况讨论一下谁获得冠军的可能性最大，综合以往甲与乙的比赛情况发现甲在每一局胜利的概率为0.45，乙胜利的概率为0.55，现在有两种比赛方案，一种是三局两胜制，另一种是五局三胜制，这两种比赛方案哪种更有利于甲？下面来分析一下：

A假设1表示甲胜前两局，A2表示前两局中甲乙各胜一局并且第三局甲胜，A表示甲最终胜

A=A1A2利，利用三局两胜制得到的结果是，而

P?A1??0.452?0.2025,P?A2???0.452?0.55??2?0.22275，

由于

A1与A2互斥，由加法公式得

P?A??P?A1A2??P?A1??P?A2??0.2025?0.22275?0.42525。

B如果采用的是五局三胜制，假设B表示甲最终胜利，1表示前三局甲胜，B2表示前三局中

甲胜两局且第四局甲胜，

B?B1B2B3，而

B3表示前四局中甲乙各胜两局且第五局甲胜，那么

P?B1??0.453?0.091125，

， ，

。

2P?B2??C30.452?0.55?0.45?0.1503562P?B3??C40.452?0.552?0.45?0.165392则

P?B??P?B1B2B3??P?B1??P?B2??P?B3??0.4069

由于

P?B??P?A?，所以若要甲胜利的可能性更大采用三局两胜制。

4.2在彩票中的应用

生活中有很多的人买彩票，彩票刮刮乐等等也开始覆盖着生活中，喝饮料瓶盖上设置了中奖信息，再来一瓶或者谢谢惠顾，零食中会有刮刮乐，身边抽奖经历很多然而中奖情况却少之又少，下面举个例子来解释一下原因。

例9：现有一种彩票是购买者从35个数字中抽取7个，其中奖率是多少呢？ 令Pi是第i等奖的概率（i=1,2，?，7），那么一次中奖率为：

?7??1??27???????7001 p1???????==0.149?10?6

6724520?35????7??7??1??27???????6107 p2???????==1.04?10?6

6724520?35????7??7??1??27???????611189 p3???????==28.106?10?6

6724520?35????7??7??1??27???????511567 p4???????==84.318?10?6

6724520?35????7??7??1??27???????5027371 p5???????==1.096?10?3

6724520?35????7??7??1??27???????41212285 p6???????==1.827?10?3

6724520?35????7?

?7??1??27??7??1??27???????+??????403313204750 p7?????????????==30.448?10?3

6724520?35????7?例10.彩票中心现有一种活动，即发行?张刮刮乐类型的彩票，每个等级的获奖情况采用这种形式：若某等奖有?个，那么中此等奖的概率??????。若发行1000万张彩票，特?等奖1个，那么中奖可能性为P(A)=1÷10000000=0.0000001，一等奖100个，则中一等奖的可能性为P(A)=100÷10000000=0.00001，即10万分之一；二等奖有1000个，则中二等奖的概率为P(A)=1000÷10000000=0.0001，即一万分之一。

在我们学习概率论的同时学习中也应用到了它的相关知识，大学时每个学生都要考英语四六级，尤其是考英语四级，很多学生都抱着侥幸的心理考试，下面就简介一下这种心理是错误的，四级试卷中包含了作文、听力阅读理解、选项填空、翻译等题型。其中、除了作文题和翻译题靠实力拿分，剩余的都是选择题，阅读理解和完形填空有A、B、C、D四个选项，十五选十要想拿分的话更是难上加难，如果考生仅仅想凭借运气考过可能性接近于零，侥幸通过的也是小概率事件，所以靠运气通过考试是不可能的。

上面只是列举了概率在生活中的应用的几个小部分，单单几个小应用也体现了概率知识的广泛应用。我们的生活离不开概率论，从而学好概率论是很有必要的。

结 论

古典概率在数学模型中是比较特别的，我们学习概率论时一开始就主要讲到了它，在概率论上占了很重要的地位。在一次实验中，除了必然事件和不可能事件一个事件其他事件其发生的可能性的大小是客观存在的。事件的独立性是概率论中一个很重要的概念。古典概型计算中摸球实验体现了其随机性及独立性。摸球实验分三步进行，随机抽样，无放回抽样以及放回抽样，无论是哪一种小球都是被看作独立的，这充分体现了概率论中事件的独立性。计算过程中分子分母都是按排列计数的，所以这个实验也考察了概率论中排列与组合的知识。对于古典概率不仅要清楚它的定义性质的运用，在计算古典概率问题时要重点关注它的重点难点。对于古典概率的计算要充分利用事件的等价性、对称性、及概率的加法公式、全概公式等，为了避免排列组合计算中复杂等难题，如果我们在学习中注意到这样性质及公式该如何运用，古典概率的计算问题将不再是一个难题。通过对古典概型中摸球实验的研究，可以发现现实中很多类似的问题都能用这种方法解决，例如开锁问题等等。计算古典概型的类的问题套用公式很简单，但是问题在于很多人都不能做到充分理解其要点，从而计算中发生错误，古典概型涉及的知识很广泛，每一个小点都值得人们钻研，摸球模型只是它的一个小分支，每一个小点也会挖掘出有意义在生活中很实用的东西。

参考文献：

[1]盛骤,谢式千.概率论与数理统计.北京：高等教育出版社.2012

[2]韩秀芳.古典概率的实际应用分析[J].吕梁高等专科学校学报，2006

[3]朱建中.摸球模型在代数中的应用.安庆师范学院学报（自然科学 版）.1999 [4]毛凤梅.古典概型中摸球模型的解法探讨.2004 [5]曾宏伟.古典概型的计算方法与应用.2005

[6]杜镇中.全概率公式及其应用[J].遵义师范学院学报，2005

[7]雒志江.概率在实际生活中的应用[J].吕梁高等专科学校校报, 2008

[8]邹乐强, 董斌斌. 概率统计在几个流行彩票中的应用[J]. 教学探索, 2011 [9]Fei Heliang. AMLEs of the lognormal distrbution based on multiply type censored samples in constant stress accelerated life-testing[J]. Journal of Shanghai normal university, 2004

[10]Chen Guanglei.Two new tests for multinormality based on U-processes With PP method[J]. Actascientiar Universitatis nakaiensis, 2009

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