北京市海淀区2013高三上学期期末考试数学文试题

1

北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试

数学（文）试题

2013.1

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 复数2

1i -化简的结果为

A.1i +

B.1i -+

C. 1i -

D.1i --

2. 向量(1,1),(2,)t ==a b , 若⊥a b , 则实数t 的值为

A. 2-

B. 1-

C. 1

D. 2

3. 在等边ABC ?的边B C 上任取一点P ，则23ABP ABC S S ??≤

的概率是 A. 1

3 B. 1

2 C. 2

3 D. 5

6

4.点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为

A ．2 B. 3 C. 4 D.5

5.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出

的,n S 的值分别为

A. 4,30n S ==

B. 4,45n S ==

C. 5,30

n S ==

D. 5,

45n S ==

6.已知点(1,0),(cos

,sin )A B α

α-, 且||AB =则直线AB

的方程为

A. y =

+

y =- B. 33y =+

或33

y =-

- C. 1y

x =+或1y x =-- D. y =+y =-

7. 已知函数sin , sin cos ,()cos , sin cos ,x x x f x x x x ≥?=?<?

则下面结论中正确的是

2

A. ()f x 是奇函数

B. ()f x 的值域是[1,1]-

C. ()f x 是偶函数

D. ()f x

的值域是[,1]2

-

8. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点, E F 分别是

棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面,A E F

则线段1A P 长度的取值范围是 A ．2

B. 4

2

C. 2

D.

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. tan 225 的值为________. 10. 双曲线

2

2

13

3

x

y

-

=的渐近线方程为_____；离心率为______.

11. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且268a a a +=，则

55

_____.S a =

12. 不等式组0,3,1x x y y x ≥??

+≤??≥+?

表示的平面区域为Ω，直线

1y k x =-与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为

_________.

13. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如

图所示，则棱B D 的长为______.

14. 任給实数,,a b 定义, 0,, 0.a b a b a b a a b b

??≥??

⊕=??<?? 设函数()ln f x x x =⊕，

则1

(2)()2

f f +=______；若{}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，

123781()()()()(=,f a f a f a f a f a a +++++ ）则1___.

a =

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

D

A B

C

B 1

C 1

D 1

A 1

F E B

C D

A

3

15. （本小题满分13分）

已知函

数2

1()s i n c o s c o s 2

f x x x x =

-+

，ABC ?三个内角,,A B C 的对边分别为

,,,a b c 且()1f A =.

（I ） 求角A 的大小；

（Ⅱ）若7a =，5b =，求c 的值.

16. （本小题满分13分）

某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:

（I ） 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只

需写出结果）；

（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽 车是A 型车的概率；

（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据

所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.

17. （本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，

1AB AC AA ==，且E 是B C 中点.

（I ）求证：1//A B 平面1AEC ； （Ⅱ）求证：1B C ⊥平面1AEC .

E

C 1

B 1

A 1

C

B

A

4

18.（本小题满分13分）

已知函数2

11()22

f x x =

-

与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设

()()()F x f x mg x =-(0)m ≠.

（I ） 求a 的值

（Ⅱ）求()F x 在区间[1,e]上的最小值. .

19. （本小题满分14分）

已知椭圆M ：

22

2

1(0)3

x y

a a

+

=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B .

经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45 时，求线段C D 的长；

（Ⅲ）记ABD ?与A B C ?的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.

20. （本小题满分13分）

已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x

=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为

“一阶比增函数”.

(Ⅰ) 若2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；

(Ⅱ) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ?∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+； （Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解.

海淀区高三年级第一学期期末练习

数学（文）

参考答案及评分标准2013．1 说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15．（本小题满分13分）

5

6 解：（I ）因为

21()cos cos 2f x x x x =

-+

1

2cos 222x x

=- π

sin(2)6x =- ………………6分

又π()sin(2)16f A A =-

=，(0,)A π∈， ………………7分 所以π

π7π2(,)666A -∈-， πππ2,623

A A -== ………………9分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得到2π

492525cos 3c c =+-?，所以25240c c --= ………………11分

解得3c =-（舍）或 8c = ………………13分 所以8c =

16. （本小题满分13分）

解：（I ）由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大

………………3分

（Ⅱ）这辆汽车是A 类型车的概率约为

3A 3

3

3A ,B 10313==+出租天数为天的型车辆数

出租天数为天的型车辆数总和

这辆汽车是A 类型车的概率为3

13 ………………7分

（Ⅲ）50辆A 类型车出租的天数的平均数为

334305156775 4.6250A x ?+?+?+?+?== ………………9分 50辆B 类型车出租的天数的平均数为

31041051561075 4.850B x ?+?+?+?+?== ………………11分 答案一：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期

出租天数的平均值为4.8，选择B 类型的出租车的利润较大,应该购买B 型车

………………13分

答案二：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为 4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车 ………………13分

17. （本小题满分14分）

解：(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接E O

7

因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点 又E 为CB 中点，所以E O 为1A BC ?的中位线，

所以1//EO A B ………………3分 又EO ?平面1AEC ，1A B ?平面1AEC

所以1//A B 平面1AEC ………………6分 (Ⅱ)因为AB AC =，又E 为CB 中点，所以A E B C ⊥ ………………8分 又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面A B C ， 又AE ?底面A B C , 所以1AE BB ⊥,

又因为1BB BC B = ，所以AE ⊥平面11BCC B ，

又1B C ?平面11BCC B ，所以AE ⊥1B C ………………10分

在矩形11BCC B 中

, 111tan tan 2

C B C EC C ∠=∠=,所以111CB C EC C ∠=∠，

所以11190CB C EC B ∠+∠=

，即11B C EC ⊥ ………………12分

又1AE EC E = ，所以1B C ⊥平面11BCC B ………………14分 18. （本小题满分13分）

解：（I ）因为(1)(1)0,f g ==所以(1,0)在函数(),()f x g x 的图象上

又'(),'()a f x x g x x

==

，所以'(1)1,'(1)f g a ==

所以1a = ………………3分 （Ⅱ）因为2

11()ln 2

2

F x x m x =

-

-，其定义域为{|0}x x >

2

'()m x m F x x x x

-=-

=

………………5分

当0m <时，2

'()0m x m F x x x x

-=-=>，

所以()F x 在(0,)+∞上单调递增

所以()F x 在[1,e]上最小值为(1)0F = ………………7分 当0m >时，令2

'()0m x m F x x x x

-=-

==

，得到120,0x x ==< (舍)

8

1≤时，即01m <≤时，'()0F x >对(1,e)恒成立，

所以()F x 在[1,e]上单调递增,其最小值为(1)0F = ………………9分

e ≥时，即2e m ≥时, '()0F x <对(1,e)成立，

所以()F x 在[1,e]上单调递减， 其最小值为2

11(e)e 22

F m =

-

- ………………11分

当1e <

<,即2

1e m <<时, '()0F x <

对成立, '()0F x >

对e)成立

所以()F x

在单调递减,

在e)上单调递增

其最小值为1111ln

ln 22222m F m m m m =

-

-=

-

-………13分

综上，当1m ≤时， ()F x 在[1,e]上的最小值为(1)0F = 当21e m <<时，()F x 在[1,e]

上的最小值为11ln 2

2

2

m F m m =--

当2e m ≥时, ()F x 在[1,e]上的最小值为2

11(e)e 2

2

F m =-

-.

19. （本小题满分14分）

解：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b = 所以2

4,a =所以椭圆方程为

2

2

14

3

x

y

+

= ………………3分

（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45 ,所以直线的斜率为1,

所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到

22

14

31x y

y x ?+=?

??=+?

,消掉y ,得到27880x x +-= ………………5分 所以121288288,,7

7

x x x x ?=+=-

=

所以1224|||7

C D x x =

-=

………………7分

（Ⅲ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,

此时3

3

(1,),(1,)2

2

D C ---, ,A B D A B C ??面积相等，

12||0S S -= ………………8分 当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,

设1122(,),(,)C x y D x y

9

和椭圆方程联立得到22

143

(1)x y

y k x ?+=?

??=+?

,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然0?>，方程有根，且22

12122

2

8412,3434k

k x x x x k

k

-+=-

=

++ ………………10分

此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++

212

12||2|()2|34k k x x k k

=++=

+ ………………12分

因为0k ≠,

上式1234||

||

k k =

≤==+

（2

k =±

所以12||S S -

………………14分

20. （本小题满分13分） 解：（I ）由题2

()f x ax ax

y ax a x

x

+=

=

=+在(0,)+∞是增函数，

由一次函数性质知

当0a >时，y ax a =+在(0,)+∞上是增函数，

所以0a > ………………3分 （Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即

()f x x

在(0,)+∞上是增函数，

又12,(0,)x x ?∈+∞，有112x x x <+，212x x x <+ 所以

1121

12

()()f x f x x x x x +<+，

2122

12

()()f x f x x x x x +<

+ ………………5分

所以112112

()()x f x x f x x x +<

+，212212

()()x f x x f x x x +<

+

所以112212121212

12

()()()()()x f x x x f x x f x f x f x x x x x x +++<

+

=+++

所以1212()()()f x f x f x x +<+ ………………8分

10 （Ⅲ）设0()0f x =，其中00x >.

因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，00()()

0f x f x x x >=

法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =

由（Ⅱ）知(2)2f t m >，同理(4)2(2)4f t f t m >>，(8)2(4)8f t f t m >> 所以一定存在*n ∈N ，使得(2)22013n n f t m >?>， 所以()2013f x > 一定有解 ………………13分

法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()

f t k t =

因为当x t >时，()(

)

f x f t k x t >=，所以()f x kx >对x t >成立

只要 2013

x k >，则有()2013f x kx >>，

所以()2013f x > 一定有解 ………………13分

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