为什么叫“基本不等式”

为什么把

a?b≥ab（a，b＞0）叫做“基本不等式” 21．从“数及其运算”的角度看，a?b是两个正数a，b的“平均数”；2从定量几何的角度看，ab是长为a、宽为b的矩形面积，ab就叫做两个非负数a，b的“几何平均”。因此，不等式中涉及的是代数、几何中的“基本量”。

2．有多种等价形式：

代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式；

几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a+b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；……

函数——本质上是函数凹凸性的反映。例如，可以直接通过函数

y?

1

，y?x，y?x2等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，x

利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点(1,1)作曲线y?x的切线，切线方程为y??x?1?，曲线y?x总位于切线的下方，故有，x≤?x?1?。令x?，代入化简即得重要不等式。

也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x+y=2A，考察曲线族xy=c（这里c是参数），画个图就可以看出，和给定直线有公共点，且使c取最大值的曲线，是和直线相切于（A，A）的那条曲线，

x?y?这时c=A，于是xy≤???。

2??2

21212ab

3．证明方法的多样性

从上所述已经表明，“基本不等式”确是与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，表述形式简洁、流畅且好懂，而且从上述联系性中，事实上也已经给出了证明的各种思路，这些思路与数学的基本概念相关，不涉及太多的技巧。

我们还可以从“平均数”的角度来构造性地证明： 设A=

a?ba?b。引进一个量d=，则a=A+d，b=A－d。于是 222

2

2a?ba?b?2a b =A－d =?。 ???d，由d≥0容易得到ab≤

2?2?4．可推广。我们大家都知道有n个正数的几何平均值不大于算术平均值的定理。这个定理的证明方法很多，由此就能培养学生的解题能力，而且能体现创造性。

值得注意的是，n个数（不一定为正）的算术平均是一个重要的最小性质，有广泛的用途，特别是在统计中，就是对于某个未知量x，我们通过测量获得了它的n个观测值xi（i=1，2，…，n）。由于测量误差，这些值会略有不同，那么x取什么值才最可信呢？数学王子高斯的想法是：用x－xi表示观测值xi与理想值x之间的偏差（可正可负），可以把那个使总偏差最小的值作为理想值的最佳估计。数学中，习惯上把(x－xi)2作为不精确性的适当的度量，这样问题就转化为求使??x?xi?2的最小值。非常凑巧，这个值恰好就是这n个观测值的算

i?1n术平均——这是重要的高斯“最小二乘法”的出发点。

基本不等式的教学过程概录

1．借助问题情境（赵爽弦图），得到a2+b2＞2ab。老师提示：当a=b时，有a2?b2?2ab。

通过课件，动态演示面积变化情况，直观展示等号成立的条件。 师：当 a，b为任意实数时，上式还成立吗？你能给出它的证明吗？

生：利用完全平方，(a－b)2≥0，即a2－2ab+b2≥0，得到a2+b2

≥2ab。

师：还有什么方法？（片刻后）证明不等式的常用方法是“作差”。 证明：a2?b2?2ab?(a?b)2?0,?a2?b2?2ab. 由证明过程可知：不等式a2?b2?2ab恒成立.

师：通过刚才的探究，我们得到了一个对任意实数都成立的不等式a2?b2?2ab。特别是a=b时，a2?b2?2ab；反过来a2?b2?2ab时，定有a=b。所以我们说当且仅当a=b时取等号。

2．探究新知

师：当a＞0，b＞0时，如果用a,b替换上述结论中的a，b，能得到什么结论？

生：可得a?b?2ab(a?0,b?0)。

师：你能证明这个不等式吗？什么时候取等号？ 学生模仿已有证明，用综合法。 教师让学生阅读教科书，并填空： 要证

a?b?ab， ① 2只要证a?b? ② 要证②,只要证a?b? ?0 ③ 要证③,只要证(?)2?0 ④

显然, ④是成立的。当且仅当a=b时，④中的等号成立 。 再阅读课本的“探究”，作出基本不等式的几何解释。 教师对基本不等式做出如下说明： （1）注意基本不等式成立的条件； （2）注意基本不等式的结构：

E A

O C D B

两个正数之积与两数之和之间的不等关系。 （3）注意等号成立的条件。 3．知识应用

例1判断下列说法是否正确：

1x1（2） 若x＜0，则x?≤－2；

xba（3） 若ab≠0，则?≥2；

ab（1） 若x＞0，则x?≥2；

（4） 若ab＝3，则a+b≥23。

1?11?（1）生：因为x?－2=?x??≥0，所以x?≥2。

xxx??1?1?（2）生：x?+2=?x??≥0，所以??？

xx??1??师：能写为?x??吗？

x??222生：哦，不能！应该是

111???x??2???x??≥0，所以x?≤－2。

xx?x??2教师提醒：注意，利用基本不等式，最基本的是要求两个数大于0。本题是经过变形可以利用基本不等式。

（3）当ab＞0时，?≥2；当 ab＜0时，?≤－2。 教师补充：实际上，概括一下就是前面（1）和（2）。 （4）生：当a＞0，b＞0时，a+b≥2ab=23；当a＜0，b＜0时，??

师：怎么还不会？看一下（3）的解答。

生：哦，因为－a－b≥2??a???b?=23，所以a+b≤－23。 师：通过这几个例题可以知道，在基本不等式求a，b大于0。

例2在下列函数中，最小值是2的是（ ） （A）y??（x≠0） （B）y?lgx?x55xbaabbaaba?b?ab中，要21（1＜x＜10） lgx1?（0＜x＜） sinx2（C）y?3x?3?x（x∈R） （D）y?sinx?x5x2?25生1：y???，因为x2+25＞0，5x既可以大于0，也可

5x5x以小于0，所以y的值可以小于0。所以选项（A）不对。

生2：因为1＜x＜10，所以lgx＞0。根据基本不等式，lgx?2lgx?1=2。所以选项（B）正确。 lgx1≥lgx生3：因为对任意x，3x＞0，所以3x?3?x≥23x?3?x=2。所以选

项（C）正确。

生4：因为0＜x＜2sinx??1，所以sinx＞0。所以sinx?≥

sinx21=2。所以选项（D）正确。 sinx师：对吗？再看看每一个函数都能取到2吗？

学生经过思考，得出只有选项（C）中的函数能取到2。 师：所以，大家要注意基本不等式中等号成立的条件。 变式练习：

1的最小值及取得最小值时的x值。 x?1x2?x?2（2） 求函数y?（x＞0）的最小值及取最小值时的x的

x（1） 若x?1，求y?x?值。

（3） 若0?x?1，求f?x??x?1?x?的最大值及取得最大值时的x

值。

大部分学生在解答时遇到较大困难。教师发现时间也不够了，于是就自己讲解：

做这几个题目时，大家要注意灵活变形，就是要往基本不等式靠。如果是和的形式，就要凑出“积定”；如果是积的形式，就要凑出“和定”。这样就有

（1）因为x?1，所以x－1＞0。所以y?x?2 (x?1)?11??x?1???1≥x?1x?111+1=3。等号当且仅当x?1?，即x=2时取得。

x?1x?12x（2）只要将函数解析式转化为y?x??1，就可以利用基本不等式求解了。同学们课后完成。

（3）因为0?x?1，所以0＜1－x＜1。所以

x??1?x?1=。 221等号当且仅当x=1－x，即x=时取得。

2f?x??x?1?x?≤

教师总结：今天我们学了很重要的基本不等式。基本不等式在求最值时很有用。从前面的几组题目可以看到，用基本不等式求最值时，首先要注意含有字母的式子必须是正的；其次，要注意观察式子的结构，和的形式要看是否有积为定值，积的形式则要看是否有和为定值；第三，一定要注意是否能取到最值，这就要看“相等”的条件是否能满足。总结起来就是：

一正，二定，三相等。 大家一定要记住了。 思考题：

（1）基本不等式简单，而且“一正、二定、三相等”也很明确，但为什么学生总是想不到？——越是简单，越接近常识，应用范围就越广泛，越需要经过一定的训练而形成习惯。

（2）在利用基本不等式求最值时，学生为什么总是丢三落四？

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