高考数学二轮复习考点解析2：一元二次函数性质及其综合考查

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析2：一元二次函数

性质及其综合考查

一、一元二次函数图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质） 二.高考题热身

1.若不等式x＋ax＋1?0对于一切x?（0，1〕成立，则a的取值范围是（ ）

22

A．0 B. –2 C.-2 D.-3 2.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1

A.f(x1)f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定 3．过点（－1，0）作抛物线y?x2?x?1的切线，则其中一条切线为

（A）2x?y?2?0 （B）3x?y?3?0 （C）x?y?1?0 （D）x?y?1?0 3.设a?0，

f(x)?ax2?bx?c，曲线y?f(x)在点P(x0,5f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为

???0,，则点Ｐ到曲线y??4???f(x)对称轴距离的取值范围是（ ）

?1? .[0,1] C.?0,b? ?b?1? A.?0,?D.??B?0,2a?2a?2??2a???4．设b?0，二次函数y?ax2?bx?a2?1的图像为下列之一（ ）

则a的值为

（A）1

（B）?1

（C）?1?52

（D）?1?52

?|x?2|?2?25.不等式组?log2(x?1)?1的解集为 ( )

(A) (0,

3)；

2(B) (3,2)； (C) (3,4)； (D) (2,4)。

6．一元二次方程ax?2x?1?0,(a?0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ）

A．a?0

2B．a?0 C．a??1 D．a?1

17. 已知方程(x?2x?m)(x2?2x?n)?0的四个根组成一个首项为4的等差数列,则

m?n?( )

A 1 B 3 C 1 D 3

428 5

28.已知A??x||2x?1|?3?,B??x|x?x?6?,A?B?( )

A.??3,?2???1,2? B.??3,?2???1,??? C. ??3,?2???1,2? D.???,?3???1,2?

2??(x?1),x?1f(x)??9. 设函数??4?x?1,x?1 ，则使得f(x)?1的自变量x的取值范围为 （ ）

A．???,?2???0,10? B．???,?2???0,1? C．???,?2???1,10? D．[?2,0]??1,10?

9.函数

f(x)?x2?2ax?3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ ）

A. a?(??,1] B. a?[2,??) C. a?[1,2] D. a?(??,1]?[2,??) 10.已知函数f(x)在x?1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为

A．f(x)?(x?1)2?3(x?1) C．

B．f(x)?2(x?1) D．

（ ）

f(x)?2(x?1)2

?6?6

f(x)?x?1

11. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2－|x－4|，则（ ）

A．f(sin)f(cos1) C．f(cos

2?3)

2?3) D．f(cos2)>f(sin2)

12．命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件； 命题q：函数y=|x?1|?2的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（ ）

A．“p或q”为假 B．“p且q”为真 C．p真q假 D．p假q真

2213. .已知关于x的方程x－(2 m－8)x +m－16 = 0的两个实根 x1、x2满足

7?m?} 则实数m的取值范围_______________.{m|?122＜x，x＜321214.已知a,b为常数，若f(x)?x2?4x?3，f(ax?b)?x2?10x?24，则5a?b= 2 。 15.设函数f(x)=x2+mx+n,g(x)?6x?1x2若不等式0?f(x)?g??x?的解集为{x|2≤x≤3或x=6},求

2m,n的值. 三.典型例题

例1．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；

解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时，

6

这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)

例2.若关于x的方程x?2kx?3k?0的两根都在?1和3之间，求 k的取值范围。 解析：令f(x)?x2?2kx?3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)?0

2的解，由y?f(x)的图象可知，要使二根都在?13，之间，只需f(?1)?0，f(3)?0f(?b)?f(?k)?0同时成立，解得?1?k?0，故k?(?1，0) 2a，

例3．（福建卷）已知f(x)是二次函数，不等式f(x)?0的解集是(0,5),且f(x)在区间??1,4?上的最大值是12。 （I）求f(x)的解析式；

（II）是否存在实数m,使得方程f(x)?37?0在x区间(m,m?1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

解：（I）?f(x)是二次函数，且f(x)?0的解集是(0,5),

?可设f(x)?ax(x?5)(a?0).?f(x)在区间??1,4?上的最大值是f(?1)?6a.

由已知，得6a?12,?a?2,?f(x)?2x(x?5)?2x?10x(x?R).2

（II）方程f(x)?37?0等价于方程2x3?10x2?37?0.

x设h(x)?2x?10x?37,则h'(x)?6x?20x?2x(3x?10).

322)减函数；当x?(3当x?(0,10)时，h'(x)?0,h(x是

3101 5?h(3)?1?0h,(?)??h0,(?4)?3273310,??)时，h'(x)?0,h(x是)增函数。

0,?方程h(x)?0在区间(3,10),(10,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,??)内没

有实数根，所以存在惟一的自然数m?3,使得方程f(x)?37?0在区间(m,m?1)内有且只有

x两个不同的实数根。

例4：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x

轴上的射影A1B1的长的取值范围

7

2?解: (1)证明由?y?ax?bx?c消去y得ax2+2bx+c=0

?y??bxΔ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c)2?3c2］

24∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴3c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点 4(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－2b,x1x2=c aa|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2

2b24c4b2?4ac4(?a?c)2?4ac ccc13?(?)????4[()2??1]?4[(?)2?] 22aaa24aaaa∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0，∴a>－a－c>c,解得

c∈(－2,－1) a2c1∈(－2,－)时，为减函数

2a∵f(c)?4[(c)2?c?1]的对称轴方程是c??1

aaaa2∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(3,23) 例5：已知f(x)=x2+c,且f［f(x)］=f(x2+1) (1)设g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；(2)设φ(x)=g(x)－λf(x),试问 是否存在实数λ,使φ(x)在(－∞,－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数

点拨与提示：由f［f(x)］=f(x2+1)求出c，进而得到函数的解析式，利用导数研究函数的单调性.

解: (1)由题意得f［f(x)］=f(x2+c)=(x2+c)2+c, f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f［f(x)］=f(x2+1)

∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,∴x2+c=x2+1,∴c=1 ∴f(x)=x2+1,g(x)=f［f(x)］=f(x2+1)=(x2+1)2+1 (2)φ(x)=g(x)－λf(x)=x4+(2－λ)x2+(2－λ) 若满足条件的λ存在，则φ′(x)=4x3+2(2－λ)x

∵函数φ(x)在(－∞,－1)上是减函数， ∴当x＜－1时，φ′(x)＜0 即4x3+2(2－λ)x＜0对于x∈(－∞,－1)恒成立

∴2(2－λ)＞－4x2, ∵x＜－1,∴－4x2＜－4 ∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4 又函数φ(x)在(－1,0)上是增函数 ∴当－1＜x＜0时，φ′(x)＞0 即4x2+2(2－λ)x＞0对于x∈(－1,0)恒成立

∴2(2－λ)＜－4x2, ∵－1＜x＜0,∴－4＜4x2＜0 ∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥4

故当λ=4时，φ(x)在(－∞,－1)上是减函数，在(－1,0)上是增函数，即满足条件的λ存在

例6. 已知f(t)?log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2?mx?4?2m?4x恒成立，求x的取值范围。

解:∵t∈[2，8]，∴f(t)∈[2，3]原题转化为：m(x?2)?(x?2)2>0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）当x＝2时，不等式不成立。∴x≠2。令g(m)＝m(x?2)?(x?2)2，

1 8

m∈[12，3]问题转化为g(m)在

m∈[12，3]上恒对于0，则：

?1?g()?0?2??g(3)?0

；解得：x>2或x<－1

例8.解关于x的不等式：ax2?(a?1)x?1?0(见备考指南148页例3) 解：（1）当a?0时，原不等式化为?x?1?0?x?1 （2）当a?0时，原不等式化为a(x?1)(x?1)?0

a ①若a?0，则原不等式化为(x?1)(x?1)?0

a ?1?0a?11?1 ?不等式解为x?或x?1

aaa ②若a?0，则原不等式化为(x?1)(x?1)?0 （i）当a?1时，1?1，不等式解为1?x?1

aa (ii)当a?1时，1?1，不等式解为x??

a (iii)当0?a?1时，1?1，不等式解为1?x?1

aa 综上所述，得原不等式的解集为

1??当a?0时，解集为?xx?或x?1?；当aa???0时，解集为?x|x?1?；

?当0?a?1时，解集为?x1?x???1?1?；当a?1时，解集为?x?x?1? ；当a?1时，解集为???a?a?例9. 若方程lg(?x2?3x?m)?lg(3?x)在[0，3]上有唯一解， 求m的取值范围。

??x2?3x?m?0??x2?3x?m?0???3?x?0??0?x?3?0?x?3??x2?4x?3?m 解：原方程等价于??2??x?3x?m?3?x? 令y1??x2?4x?3，y2?m，在同一坐标系内，画出它们的图象，

其中注意0?x?3，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或?3?m?0时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3，0]?{1}。

例10．设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=?x，均不相交.试证明对一切x?R都有

ax2?bx?c?14a.

证明：由题意知，a≠0．设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则

又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故 Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．

9

所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．

10

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/09dd.html