武汉科技大学2010-2011-2线性代数A卷试题及答案

线性代数期末试卷 共10页 第1页 学院： 专业：

班级：

装

2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)

题 一 二 号 11 得分 签名 得分

三 12 13 14 15 四 16 五 17 18 总分： 总分人： 复核人： 一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设A,B为n阶矩阵，下列运算正确的是（ ）。 A. (AB)k?AkBk; B. ?A??A;

姓名：

线 C. A2?B2?(A?B)(A?B); D. 若A可逆，k?0，则(kA)?1?k?1A?1；

2．下列不是向量组?1,?2,???,?s线性无关的必要条件的是（ ）。

A．?1,?2,???,?s都不是零向量;

B. ?1,?2,???,?s中至少有一个向量可由其余向量线性表示; C. ?1,?2,???,?s中任意两个向量都不成比例; D. ?1,?2,???,?s中任一部分组线性无关;

学号：

3. 设A为m?n矩阵，齐次线性方程组AX?0仅有零解的充分必要条件是A的（ ）。

A．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；

4． 如果（ ），则矩阵A与矩阵B相似。

A. A?B； B. r?A??r?B?； C. A与B有相同的特征多项式；

D. n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同；

22????1?x35．二次型f(x1,x2,x3)?(??1)x12??x2，当满足（ ）时，是正定二次型。

A. ???1； B. ??0； C. ??1； D. ??1。

1

线性代数期末试卷 共10页 第2页 得分 二、填空题（每小题3分，共15分）

?300??1??6．设A??140?，则?A?2E?＝ ；

?003???

7．设Aij(i,j?1,2) 为行列式D?

?100??201??100???????8．?010??140??001?= ；

?201???103??010??????? 9．已知向量组?1,?2,?3线性无关，则向量组?1??2,?2??3,?1??3的秩为 ；

2131中元素aij的代数余子式，则

A11A21A12A22? ；

10. 设A为n阶方阵， A?E， 且R?A?3E??R?A?E??n， 则A的一个特征值

?? ；

三、计算题（每小题10分，共50分）

得分 11?1??1?a??22?a2?2??a?0?，求A。 11．设A???????????nnn?n+a??

2

线性代数期末试卷 共10页 第3页 得分 12．设三阶方阵A，试求矩阵B以及行列式B，B满足方程A2B?A?B?E，

?102???其中A??030?。

得分 13．阵B。

???20?1A???0??01??1?1?11??，且满足A2?AB?E，其中E为单位矩阵，求矩

0?1??3

已知 线性代数期末试卷 共10页 第4页 ?2x1??x2?x3?1?14．?取何值时，线性方程组??x1?x2?x3?2无解，有唯一解或有无穷

?4x?5x?5x??123?1多解？当有无穷多解时，求通解。

得分

得分

4

15. 设?1??0,4,2?,?2?(1,1,0),?3?(?2,4,3),?4?(?1,1,1)，求该向量组的秩和一个极大无关组。

线性代数期末试卷 共10页 第5页 学院： 四、解答题（10分）

得 分 16．已知三阶方阵A的特征值1，2，3对应的特征向量分别为?1，?2， ?3。其中：?1??1,1,1?，?2??1,2,4?，?3??1,3,9?，???1,1,3?。（1）将向量?用?1，?2，?3线性表示；（2）求An?，n为自然数。

TTTT 专业：

班级：

装

姓名：

线 学号：

5

线性代数期末试卷 共10页 第6页 五、证明题（每小题5分，共10分）

得分 得分

6

17．设A是n阶方阵，且R?A??R?A?E??n，A?E；证明：Ax?0有非零解。

18． 已知向量组(I) ?1,?2,?3的秩为3，向量组(II) ?1,?2,?3,?4的秩为3，向量组(III) ?1,?2,?3,?5的秩为4，证明向量组?1,?2,?3,?5??4的秩为4。

线性代数期末试卷 共10页 第7页 武汉科技大学

2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)

解答与参考评分标准

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设A,B为n阶矩阵，下列运算正确的是（ D ）。 A. (AB)k?AkBk; B. ?A??A;

C. A2?B2?(A?B)(A?B); D. 若A可逆，k?0，则(kA)?1?k?1A?1； 2．下列不是向量组?1,?2,???,?s线性无关的必要条件的是（ B ）。

A．?1,?2,???,?s都不是零向量;

B. ?1,?2,???,?s中至少有一个向量可由其余向量线性表示; C. ?1,?2,???,?s中任意两个向量都不成比例; D. ?1,?2,???,?s中任一部分组线性无关;

3. 设A为m?n矩阵，齐次线性方程组AX?0仅有零解的充分必要条件是A的（ A ）。

A．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关； 4． 如果（ D ），则矩阵A与矩阵B相似。

A. A?B； B. r?A??r?B?； C. A与B有相同的特征多项式；

D. n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同；

22????1?x35．二次型f(x1,x2,x3)?(??1)x12??x2，当满足（ C ）时，是正定二次型． A. ???1； B. ??0； C. ??1； D. ??1。

二、填空题（每小题3分，共15分）

?1300???1?1??6．设A??140?，则?A?2E?＝???2?003??0???01200??0?； ?1??A11A21A12A22? -1 ；

7．设Aij(i,j?1,2) 为行列式D?2131中元素aij的代数余子式，则

?100??201??100??210?????????8．?010??140??001?=?104?；

?201???103??010??350?????????9．已知向量组?1,?2,?3线性无关，则向量组?1??2,?2??3,?1??3的秩为 2 ； 10. 设A为n阶方阵， A?E， 且R?A?3E??R?A?E??n， 则A的一个特征值

?? -3 ；

三、计算题（每小题10分，共50分）

7

线性代数期末试卷 共10页 第8页 11?1??1?a??22?a2?2??a?0?，求A。 11．设A???????????nnn?n+a??111?1111?101?a1?n??1??1a0?0?????解：A?0?01??i?1n2?n2?a?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 2??20a?0 ．

?n00?a?n+aia11?1a0?0ni?n(n?1)n?1?．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ??1???an?an?a．

0a?0?i?1a?2?????00?000?a12．设三阶方阵A，B满足方程A2B?A?B?E，试求矩阵B以及行列式B，其中

?102???A??030?。

??201???解：由A2B?A?B?E，得?A2?E?B?A?E，即

EB? ?A?E??A??A? ．E．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

?202???由于A?E??040?，A?E?32?0，

??202????002??? A?E??020．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ?，A?E?8?0，

??200???

?002??00?1?1??1?1?1??．，．．8分 B??A?E??E??A??020?010??A??E?A?E?????．2??200??100?????所以B?18。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

?11?1???13．已知A??011?，且满足A2?AB?E，其中E为单位矩阵，求矩阵B。

?00?1????1 8

线性代数期末试卷 共10页 第9页 11?1解：因为A?011??1?0，所以A可逆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

00?1由A2?AB?E，得A2?E?AB，故A?1?A2?E??A?1AB，即A?A?1?B，．．．．4分

?1?1?2???1?,．不难求出 A?1??01．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

?00?1????11?1??1?1?2??021???????因此B?A?A?1??011???011???000? 。．．．．．．．．．．．．．．．10分

?00?1??00?1??000????????2x1??x2?x3?1?14．?取何值时，线性方程组??x1?x2?x3?2无解，有唯一解或有无穷多解？当

?4x?5x?5x??123?1有无穷多解时，求通解。

解：由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式

2??1A???11?5?2???4????1??5??4?；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

4554??2??11??5???10?4?55?54???112?r?45?5?10?， 1.当???时，有?A,b?????4??50009??????45?5?1??????R?A??2?R?A,b??3，原方程组无解；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ?21?11??03?3?3??1001???????2?r?01?1?1?， 2.当??1时，有?A,b???1?112?r?1?11?45?5?1???09?9?9???0000????????x1??0??1???????所以原方程的通解为?x2???1?k???1?,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

?x??1??0??3?????43.当??1,?时，方程组有唯一解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

515. 设?1??0,4,2?,?2?(1,1,0),?3?(?2,4,3),?4?(?1,1,1)，求该向量组的秩和一个

极大无关组。 解：

9

线性代数期末试卷 共10页 第10页 ?10?2?1??10?2?1??10?2?1??????TTTA???2?1T?3?41441~0462~0462?????????．6分

?0231??0231??0000???????所以向量组的秩为2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 因为任意两个向量均不成比例，

所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 四、解答题（10分）

得 分 16．已知三阶方阵A的特征值1，2，3对应的特征向量分别为?1，?2，

?3。其中：?1??1,1,1?，?2??1,2,4?，?3??1,3,9?，???1,1,3?。 （1）将向量?用?1，?2，?3线性表示；（2）求An?，n为自然数。

TTTT解：（1）把?用?1,?2,?3线性表示，即求解方程

x1?1?x2?2?x3?3??

1?111??1100?111????????1r?012?r?001?0 ?123?? 2???149????13?1001???001???故??2?1?2?2??3。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）An??An?2?1?2?2??3??2An?1?2An?2?An?3

?2?2n?1?3n???．．．．．．．．．10分 ?2?1n?1?2?2n?2??3n?3?2?1?2n?1?2?3n?3??2?2n?2?3n?1?.．

?2?2n?3?3n?2???五、证明题（每小题5分，共10分）

17．设A是n阶方阵，且R?A??R?A?E??n，A?E；证明：Ax?0有非零解。 证明：A?E?A?E?0?R?A?E??1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

R?A??R?A?E??n?R?A??n?R?A?E??n?1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

所以Ax?0有非零解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

18． 已知向量组(I) ?1,?2,?3的秩为3，向量组(II) ?1,?2,?3,?4的秩为3，向量组(III)

?1,?2,?3,?5的秩为4，证明向量组?1,?2,?3,?5??4的秩为4。

证明：向量组?1,?2,?3的秩为3，向量组?1,?2,?3,?4的秩为3，所以?1,?2,?3为向量组?1,?2,?3,?4的一个极大无关组，因此?4可唯一的由?1,?2,?3线性表示；．．．．2分 假设向量组?1,?2,?3,?5??4的秩不为4，又因为向量组?1,?2,?3的秩为3，所以向量组?1,?2,?3,?5??4的秩为3，因此?5??4也可唯一的由?1,?2,?3线性表示；．．．4分 因此?5可唯一的由?1,?2,?3线性表示，而向量组?1,?2,?3,?5的秩为4，即?1,?2,?3,?5线性无关，因此?5不能由?1,?2,?3线性表示，矛盾，因此向量组?1,?2,?3,?5??4的秩为4。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

10

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