18学年高中数学导数及其应用章末复习提升教学案新人教B版1 - 11803074104

。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第三章 导数及其应用

1．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和自变量的增量Δx→0的方式，导数

Δy是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限，

ΔxΔyfx0＋Δx－fx0

即Δlim＝lim. x→0ΔxΔx→0Δx函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．

2．曲线的切线方程

利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：

1

(1)判断P点是否在曲线上；

(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．

3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键． 4．判断函数的单调性

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；

(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．

5．利用导数研究函数的极值要注意

(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的．

(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小． (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．

6．求函数的最大值与最小值

(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x，

3

x∈(－1,1)．

(2)求函数最值的步骤

一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值及端点处的函数值f(a)，f(b)；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个极值点x0，则f(x0)是函数的最值.

2

题型一 应用导数解决与切线相关的问题

根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．

例1 已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值．

解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－. 2

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0),

axx∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,

∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1), 即x＋y－2＝0.

ax－a(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：

xx①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;

∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0

∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．

跟踪演练1 点P(2,0)是函数f(x)＝x＋ax与g(x)＝bx＋c的图象的一个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的值．

解 因为点P(2,0)是函数f(x)＝x＋ax与g(x)＝bx＋c的图象的一个公共点，所以2＋2a＝0① 4b＋c＝0②

由①得a＝－4.所以f(x)＝x－4x. 又因为两条曲线在点P处有相同的切线， 所以f′(2)＝g′(2)，

而由f′(x)＝3x－4得到f′(2)＝8， 由g′(x)＝2bx得到g′(2)＝4b，

2

3

3

2

3

3

2

3

所以8＝4b，即b＝2，代入②得到c＝－8. 综上所述，a＝－4，b＝2，c＝－8. 题型二 应用导数求函数的单调区间

在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，

b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．

2

例2 已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a＞0.讨论f(x)的单调性．

x解 由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，

2

2ax－ax＋2

f′(x)＝1＋2－＝. 2

xxx设g(x)＝x－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a－8.

①当Δ＜0即0＜a＜22时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的增函数．

②当Δ＝0即a＝22时，仅对x＝2，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的增函数．

③当Δ＞0即a＞22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根

a－a2－8a＋a2－8x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.

22当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： 22

x f′(x) f(x) (0，x1) ＋ ↗ x1 0 极大值 (x1，x2) － ↘ x2 0 极小值 (x2，＋∞) ＋ ↗ ?a－a2－8?此时f(x)在?0，?上单调递增， 2???a－a2－8a＋a2－8?在?，?上单调递减，

22???a＋a2－8?在?，＋∞?上单调递增．

2??

跟踪演练2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝(x－3)e，x∈(0，＋∞)； (2)f(x)＝x(x－a).

解 (1)f′(x)＝(x－3)′e＋(x－3)(e)′＝(x－2)e， 令f′(x)＞0，解得x＞2，又x∈(0，＋∞)， 所以函数的单调增区间(2，＋∞)，

xxx2

x 4

函数的单调减区间(0,2)，

(2)函数f(x)＝x(x－a)＝x－2ax＋ax的定义域为R， 由f′(x)＝3x－4ax＋a＝0， 得x1＝，x2＝a.

3①当a>0时，x1

∴函数f(x)的单调递增区间为?－∞，?，(a，＋∞)，

3??

2

22

3

2

2

a?

a???单调递减区间为?，a?.

?3?

②当a<0时，x1>x2，

a??∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，?，＋∞?， ?3?

单调递减区间为?a，?.

?3?

③当a＝0时，f′(x)＝3x≥0，∴函数f(x)的单调区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是递增的．

2

a?

a?????综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为?－∞，?，(a，＋∞)，单调递减区间为?，a?.

3???3??a??a?a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，?，＋∞?，单调递减区间为?a，?.

?3

?

?

3?

aaa＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

题型三 利用导数求函数的极值和最值 1．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根；

(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．

2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．

特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，

5

b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处

取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．

12

例3 已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)

2(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值； (2)求f(x)的单调区间；

1223

(3)求证：当x>1时，x＋lnx

23

(1)解 f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)＝xx2

4x＋x－－＝，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；

aaxx当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.

ax2－a(2)解 因为f′(x)＝x－＝，x∈(0，＋∞)，

xx所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

ax2－ax＋ax－a当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝xxx，所以函数f(x)的单调递增区间

(a，＋∞)；递减区间为(0，a)．

231212

(3)证明 设g(x)＝x－x－lnx，则g′(x)＝2x－x－，因为当x＞1时，g′(x)＝

32xx－x2＋x＋1

＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上为增函数，所以g(x)＞g(1)＝＞

x6

1223

0，所以当x＞1时，x＋lnx＜x.

23跟踪演练3 已知函数f(x)＝x＋ax＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在区间[0，t](0

(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．

解 (1)因为f′(x)＝3x＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x－3x＋2.

(2)由f(x)＝x－3x＋2得，f′(x)＝3x－6x. 由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2.

①当0

6

3

2

2

3

2

2

3

2

＝2，

f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.

②当2

又f(t)－f(0)＝t－3t＝t(t－3)<0. 所以f(x)max＝f(0)＝2.

综上可知，在区间[0，t](0

32??t－3t＋2，0

f(x)min＝?

?－2，2

3

2

2

(3)令g(x)＝f(x)－c＝x－3x＋2－c，

32

g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．

在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.

g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根， g??

则?g??g，，，

解得－2

利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．

1322

例4 设函数f(x)＝－x＋2ax－3ax＋b(0

3(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取值范围；

2

(3)当a＝时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取

3值范围．

7

解 (1)f′(x)＝－x＋4ax－3a ＝－(x－a)(x－3a)．

令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： 22

x f′(x) f(x) (－∞，a) － ↘ a 0 极小值 (a,3a) ＋ ↗ 3a 0 极大值 (3a，＋∞) － ↘ ∴f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数． 当x＝a时，f(x)取得极小值，

4

f(x)极小值＝f(a)＝b－a3；

3

当x＝3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(3a)＝b. (2)f′(x)＝－x＋4ax－3a，其对称轴为x＝2a. 因为0

所以f′(x)在区间[a＋1，a＋2]上是减函数．

当x＝a＋1时，f′(x)取得最大值，f′(a＋1)＝2a－1； 当x＝a＋2时，f′(x)取得最小值，f′(a＋2)＝4a－4.

??2a－1≤a，于是有?

?4a－4≥－a，?

2

2

4

即≤a≤1. 5

又因为0

4

所以≤a<1.

5

213424

(3)当a＝时，f(x)＝－x＋x－x＋b.

3333

84

f′(x)＝－x2＋x－，

33

842

由f′(x)＝0，即－x＋x－＝0，

33

2

解得x1＝，x2＝2，

3

2??可知f(x)在?－∞，?上是减函数， 3??

?2?在?，2?上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数． ?3?

f(x)＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，

即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，

8

?于是有?f??f1解得0

?f，>0，，

1

－＋b≤0，??3即?b>0，??－1＋b≤0，

111316

跟踪演练4 证明：当x∈[－2,1]时，－≤x－4x≤.

333

13

证明 令f(x)＝x－4x，x∈[－2,1]，

3则f′(x)＝x－4.

因为x∈[－2,1]，所以f′(x)≤0， 即函数f(x)在区间[－2,1]上单调递减．

16

故函数f(x)在区间[－2,1]上的最大值为f(－2)＝，

3

11

最小值为f(1)＝－. 3

1116

所以，当x∈[－2,1]时，－≤f(x)≤，

33

111316

即－≤x－4x≤成立．

333

1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．

2．在解决问题的过程中要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．

2

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