2010年中考数学试题分类大全49 - 判断说理型问题 - 图文

解答题

1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、

B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)． (1)求抛物线的解析式；

(2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、

B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标； (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是

否总成立?请说明理由．

【答案】

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2．（10湖南益阳）如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，

0），B（6，0），C（0，3）.

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

(2)过Ｃ点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；

(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由. y

P

D C

A?1E第 12 页 共 73 页

oB1x

【答案】

图9解：⑴ 由于抛物线经过点C(0,3)，可设抛物线的解析式为y?ax2?bx?3(a?0)，则

?4a?2b?3?0， ?36a?6b?3?0?1?a??? 解得?4

??b?1∴抛物线的解析式为y??12x?x?3 ???????????4分 4⑵ D的坐标为D(4,3) ???????????5分

1x?1 21直线BC的解析式为y??x?3

2直线AD的解析式为y?1?y?x?1??2 由?

1?y??x?3?2? 求得交点E的坐标为(2,2) ???????????8分 ⑶ 连结PE交CD于F，P的坐标为(2,4)

又∵

E(2,2)，C(0,3),D(4,3)

∴PF?EF?1,CF?FD?2，且CD?PE

∴四边形CEDP是菱形 ???????????12分

3．（2010辽宁丹东市）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．

（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； ．．．．

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（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是

否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．

AAA

DEDNED 2E2

BMNFCBM2 B FC2 F

C

图① 图②

第25题图

图③

【答案】（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， ······ 3分

（说明：答对一个给2分）

（2）成立． ······························ 4分 证明：

法一：连结DE，DF． ·························· 5分

∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC． 又∵D，E，F是三边的中点，

∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°． 又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，

∴∠MDF=∠NDE． ··························· 7分 在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE， ∴△DMF≌△DNE． ··························· 8分 ∴MF=NE． ·························· 9分

A A

D D E E

法二：

延长EN，则EN过点F． ······················· 5分 ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．

又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF． ∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，

∴∠BDM=∠FDN． ···························· 7分

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N

B

M

F

C

B

M

F

N

C

又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，

∴△DBM≌△DFN． ···························· 8分 ∴BM=FN．

∵BF=EF， ∴MF=EN． ·························· 9分 法三：

连结DF，NF． ····························· 5分 ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=AC．

又∵D，E，F是三边的中点， ∴DF为三角形的中位线，∴DF=

11AC=AB=DB． 22又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°，

∴∠BDM=∠FDN． ··························· 7分 在△DBM和△DFN中，DF=DB，

DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．

∴∠B=∠DFN=60°． ··························· 8分 又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形， ∴∠DFE=60°． ∴可得点N在EF上，

∴MF=EN． ·························· 9分 （3）画出图形（连出线段NE）， ····················· 11分

MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）． ·············· 12分

NA

DEBFCM4．（2010山东日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距83米．

（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式； （2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式； （3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 ．

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【答案】 23．（本题满分10分） 解：（1）在Rt△AOC中，

∵∠AOC=30 o ，OA=83，

1=43， 23 OC=OA2cos30o=833=12．

2∴AC=OA2sin30o=833

∴点A的坐标为（12，43）． ?????????????2分 设OA的解析式为y=kx，把点A（12，43）的坐标代入得： 43=12k ，

∴k=

3 ， 33x； ???????? ????????4分 32∴OA的解析式为y=

(2) ∵顶点B的坐标是（9，12）, 点O的坐标是（0，0）

∴设抛物线的解析式为y=a(x-9)+12，?????????????6分 把点O的坐标代入得： 0=a（0-9）+12，解得a=?∴抛物线的解析式为y=?及y=?24 ， 2742 (x-9)+12 27482 x+ x； ???????????????????8分 27332(3) ∵当x=12时，y= ?43，

3∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点． ????10分

5．（2010山东济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP?6时，EM与EN的比值是多少？

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平 第 6 页 共 73 页 (第22题)

行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：

DFDE，因为DE?EP，所以?FCEPDF?FC.可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值.

(1) 请按照小明的思路写出求解过程.

(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP?MN的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. 【答案】

（1）解：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于点F，G，

则

DFDEEMEF，，GF?BC?12. ??FCEPENEG∵DE?EP，∴DF?FC. ············································································· 2分

1122EMEF31∴··················································································· 4分 ???. ENEG155∴EF?CP??6?3，EG?GF?EF?12?3?15.

（2）证明：作MH∥BC交AB于点H， ····································································· 5分

则MH?CB?CD，?MHN?90?. ∵?DCP?180??90??90?， ∴?DCP??MHN.

∵?MNH??CMN??DME?90???CDP，?DPC?90???CDP， ∴?DPC??MNH.∴?DPC??MNH. ···················································· 7分 ∴DP?MN. ································································································ 8分

A D

E

H B N (第22题)

M

C

P

6．（2010四川凉山）已知：抛物线y?ax2?bx?c(a?0)，顶点C(1,?4)，与x轴交于A、B两点，A(?1,0)。

（1） 求这条抛物线的解析式；

（2） 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依

次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），

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过点Q作QF?AE于F，QG?DB于G，请判断若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；

（3） 在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN?EQ，MN分

别与边AE、BE相交于M、N，（M与A、E不重合，N与E、B不重合），

QFQG?是否为定值；BEADQAEM?请判断是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。 QBEN 【答案】

C 第26题图 D A F O G M H Q B x y E N

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7．（2010 嵊州市）（10分）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。 （1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；

（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明； （3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明。

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【答案】（1）AE＝EF （2）猜想：（1）中结论没有发生变化，即仍然为AE＝EF（过点E作EH∥AB，可证

△AEH≌△FEC）

（3）猜想：（1）中的结论发生变化，为AE＝kEF

2

8．（2010 浙江省温州市）(本题l2分)如图，抛物线y=ax+bx经过点A(4，0)，B(2，2)。连结OB，AB．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求证：△OAB是等腰直角三角形；

(3)将△OAB绕点0按顺时针方向旋转l35°得到△0A′B′，写出△0A′B′的中点 P的出标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．

【答案】

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9．（2010 福建德化）（12分）在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角

α(0<α<120°),得△A1BC1，交AC于点E，AC分别交A1C1、BC于D、F两点．

（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明

你的结论；

（2）如图②，当?=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED的长．

C C1 D A1 E A

【答案】(1)EA1?FC；提示证明?ABE??C1BF （2）①菱形（证明略）

（3）过点E作EG⊥AB，则AG=BG=1

在Rt?AEG中，AE?AG?1?23 cosAcos303由（2）知AD=AB=2

∴ED?AD?AE?2?233C D A1 E A B 图② F C1 F 图① B 210．（2010山东临沂）如图，二次函数y?x?ax?b的图象与x轴交于A(?,0),B(2,0)12两点，且与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式，并判断?ABC的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.

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第26题图

【答案】解：根据题意，将A（?1,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中， 2?11???a?b?0,得?42 ???4?2a?b?0.3??a?,解这个方程，得?2

??b?1.所以抛物线的解析式为y=-x2+

3x+1. 2当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。 所以在△AOC中，AC=OA2?OC2=在△BOC中，BC=OB2?OC2=5. 5. 215?2?. 22125?AB2. 因为AC2+BC2=?2?44AB=OA+OB=

所以△ABC是直角三角形。 （2）点D的坐标是?（3）存在。

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?3?,1?. 2??图1

由（1）知，AC⊥BC,

① 若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为

1y??x?1.

21x?b， 21111将A（?,0）代入直线AP的解析式求得b=?,所以直线AP的解析式为y??x?.

2424直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y??

因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+

311x+1=?x?. 22451x2??（不合题意，舍去）. 2253当x=时，y=?.

2253所以点P的坐标为（，?）.

22解得x1?②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得

直线AC的解析式为

y?2x?1.

直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y?2x?b，

将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.

因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+解得x1??当x=-

3x+1=2x-4 2图2 5,x2?2（不合题意，舍去）. 25时，y=-9. 25，-9）. 2535，?）或（-，-9）. 222所以点P的坐标为（-

综上所述，满足题目的点P的坐标为（

11．（2010湖南衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但

A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：

（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由． （2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．

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【答案】不变，理由是：在Rt△ABE和Rt△AHE中，AB=AH，AE=AE，所以Rt△ABE∽Rt△AHE，所以HE=BE，同理HF=DF.所以△ECF的周长=EF+CE+CF=BC+DC.可见△ECF的周长等于正方形边长的两倍.

12．（2010 黄冈）（15分）已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线y?（1）求字母a，b，c的值；

（2）在直线x＝1上有一点F(1,)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求

出t值，若不存在请说明理由.

5

作垂线，垂足为M，连FM（如图）. 4

34

【答案】（1）a＝－1，b＝2，c＝0

（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形. （3）不存在.因为当t＜

113.此时，MP＝，横坐标为1?4255，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞144时，PM与PN不可能相等.

13．（2010 山东莱芜）在 平行四边形 ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE. （1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由； （2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是 ；

（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是 ； （4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.

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A E D

A E A D

G H

A E D

E D

G H G G O O O H O H F C F C B B C B F B F C 图① 图② 图③ 图④

（第23题图）

【答案】解：（1）四边形EGFH是平行四边形． 证明：∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O． ∴点O是 ABCD的对称中心． ∴EO=FO，GO=HO．

∴四边形EGFH是平行四边形． （2）菱形． （3）菱形． （4）四边形EGFH是正方形．

证明：∵AC=BD，∴ ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴ ABCD是菱形． ∴ ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC． ∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．

∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF． 由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH. ∴四边形EGFH是正方形．

2

14．（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m>0)个单位，所得抛物线与x轴交与C、D两点，与原抛物线交与点P. （1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）

（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）△CDP的面积为S，求S关于m的关系式。

y P O C A D x

【答案】解：（1）令-2x+4x=0得x1=0，x2=2 ∴点A的坐标是（2，0）， △PCA是等腰三角形， （2）存在。

OC=AD=m,OA=CD=2，

（3）当0

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2

AC2?m?， 222?mm?2∴xP=OH= m?= .

22m?22

把xP=代入y=-2x+4x，得

21yP=?m2?2，∵CD=OA=2,

21111S?CDgHP??2(?m2?2)??m2?2∴

2222∴AC=2-m, ∴CH=

.

当m>2时，如图2

作PH⊥x轴于H，设P(xP,yP), ∵A（2，0），C（m,0）,

m?2 22?mm?2∴xP=OH= m?= ,

22m?22

把把xP=代入y=-2x+4x，得

212得, yP=?m?2

2∴AC=m-2，∴AH=∵CD=OA=2， ∴S?111CDgHP??2(?yP)??m2?2． 222

15．（2010 武汉 ）如图1，抛物线y1?ax?2ax?b经过点A（－1，0），C（0，

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23）两2

点，且与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线解析式；

（2）若抛物线的顶点为点M，点P为线段AB上一动点（不与B重合），Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x，MQ=

2y2，求y2于x的函数关系式，并且直接写出自2变量的取值范围；

（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于E、G两点，与（2）中的函数图像交于F、H两点，问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由． 图 2

图 1

25．【答案】（1）y??123x?x?； 22（2）由顶点M（1，2）知∠PBM=45°，易证△MBP∽△MPQ得

PMQM2??PM2?BM?QM，得(1?x)2?4?22?y2，即BMPM2y2?125x?x?(0?x?3)； 22（3）存在，设点E、G是抛物线y??123x?x?分别与直线x=m，x=n的交点，则22131315E(m，?m2?m?)、G(n,?n2?n?)，同理F(m,m2?m?)、

22222215H(n,n2?n?)，?EF?m2?2m?1,GH?n2?2n?1．由四边形EFHG为平行四

2222边形得EG=FH，即m?n?2m?2n?0?(m?n?2)(m?n)?0，由

m?n?m?n?2(0?m?2，且m?1)，因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、

n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2，且m≠1）． 16．（2010浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上任

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意一点（不含端点A，D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E． （1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在， 求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．

（第25题）

【答案】（1）存在，理由如下：假设存在这样的点Q，∵FE⊥PC，∴∠APE＋∠DPC＝90°，∵∠D＝90°， ∴∠DPC＋∠DCP＝90°，∴△PAE∽△PDC，∴

AEAP?，∴AP?DP?AE?DC，同理可DPCD?3?AQ）?AP（?3?AP）得AQ?DQ?AE?DC，∴AQ?DQ?AP?DP，即AQ（，

∴3AQ?AQ2?3AP?AP2，∴AP2?AQ2?3AP?3AQ，

（AP?AQ）（AP?AQ）?（3AP?AQ）∴

∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3.∵AP≠AQ，∴AP≠

3，即P不能是AD的中点，∴当P是AD的中2点时，满足条件的Q点不存在，故，当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP＋AQ＝3．

（2）设AP＝x，BE＝y，则DP＝3－x，AE＝2－y，又PE⊥PC，∴△PAE∽△PDC，∴AEAP?，DPCD32?yx133?，∴y?x2?x?2，当x?2?时，y有最小值，y的最小值为即

123?x2222?2194??2?24?7，又E在AB上运动，且AB＝2，∴BE的取值范围是7≤BE＜2．

1884?2117．（2010湖北荆门）已知一次函数y＝x?1的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；

2121二次函数y?x?bx?c图象与一次函数y＝x?1的图象交于B、C两点，与x轴交

22?于D、E两点且D点的坐标为(1,0)

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEF的面积S；

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（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，

求出所有的点P，若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）∵ 由题意知:当x=0时,y=1, ∴B（0，1）,当y=0时,x=－2, ∴A（－2，0）

?c?1?c?1123??∴?1解得?3,所以y?x?x?1

22?b?c?0b????2?2?123x?x?1?0,解得x1=1,x2=2, ∴D(1,0) E(2,0) ∴AO=3,AE=4. S=S2211AE?3?AD?OB，S=4.5, △CAE－S△ABD，S=22（2）当y=0时,

(3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC,

由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE， ∴

BOOP1a??,整理得:a2－4a－3=0,解得a=1或a=3,所以所求P点坐标为(1,0)．即PFCF4?a3或(3,0).综上所述,满足条件的点P有两个.

18．（2010湖南常德）如图10，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证

明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M. ① 求证：AG⊥CH； ②当AD=4，DG=2时，求CH的长.

G H G G D A F A D D A F M E F E E B C

图10 B 图11

第 19 页 共 73 页

C B 图12

C

【答案】解：（1）AG?CE成立．

?四边形ABCD、四边形DEFG是正方形， ∴GD?DE,AD?DC,

∠GDE?∠ADC?90?.

∴∠GDA?90°-∠ADE?∠EDC.

∴△AGD?△CED. ∴AG?CE.

G

F D A

E B C

图11

H G 1 A D F M P E 2

C B

图12

（2）①类似（1）可得△AGD?△CED， ∴∠1＝∠2 又∵∠HMA＝∠DMC. ∴∠AHM?∠ADC＝90?. 即AG?CH.

② 解法一: 过G作GP?AD于P, 由题意有GP?PD?2?sin45??1,

GP1?. AP3DM1 而∠1＝∠2，∴tan∠2＝＝tan∠1＝.

DC348 ∴DM? ，即AM?AD?DM?.

33 ∴AP?3，则tan∠1＝

4?＝ 在Rt?DMC中，CM?CD2?DM2＝42?????3?2410, 3

AHAM而?AMH∽?CMD,∴, 即AH?3, ?DCCM441038

第 20 页 共 73 页

410. 5再连接AC，显然有AC?42,

∴AH? ∴CH?AC2?AH2?

?42?2?410?810. ?????5?5??2 所求CH的长为

810. 5解法二：研究四边形ACDG的面积 过G作GP?AD于P,

由题意有GP?PD?2?sin45O?1, ∴AP?3,AG ?10.

而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1, SAGD?SACD?S四边形ACDG?SACG?SCGD, ∴4×1+4×4=10×CH+4 ×1.

H G A

1 D

F M P E 2 B

图12

C

∴CH=810.

519．（2010湖南郴州）如图（1），抛物线y?x2?x?4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y?x?b与抛物线交于点B、C.

（1）求点A的坐标；

（2)当b=0时（如图（2）），ABE与ACE的面积大小关系如何？当b??4时，上述关系还成立吗，为什么？ （3）是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. yyCCEBOxEOBAxA图（1） 第26题 图（2）

【答案】（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4） （2）当b＝0时，直线为y?x，由??y?x2?y?x?x?4解得?

?x1?2?x2??2，?

?y1?2?y2??2所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2）

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SABE1??4?2?4，S2ABEACE1??4?2?4 2所以S?SACE（利用同底等高说明面积相等亦可） ABE当b??4时，仍有S?SACE成立. 理由如下

yC???y?x?b?x1?b?4?x2??b?4由?，解得?，? 2y?x?x?4???y1?b?4?b??y2??b?4?bBGROF所以B、C的坐标分别为（－b?4，－b?4+b），（b?4，b?4+b）， 作BF?y轴，CG?y轴，垂足分别为F、G，则BF?CG?b?4， 而ABE和ACE是同底的两个三角形， 所以SABEQ?SACE.

（3）存在这样的b.

因为BF?CG,?BEF??CEG,?BFE??CGE?90? 所以BEF?CEG

所以BE?CE，即E为BC的中点

所以当OE=CE时，OBC为直角三角形 因为GE?b?4?b?b?b?4?GC 所以 CE?2?b?4，而OE?b 所以2?b?4?b，解得b1?4,b2??2，

所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.

20．（2010江苏常州）如图，已知二次函数y?ax?bx?3的图像与x轴相交于点A、C，与y轴相较于点B，A（?,0），且△AOB∽△BOC。

（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y?ax?bx?3的关系是；

（2）在线段AC上是否存在点M（m,0）。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

2294

第 22 页 共 73 页

【答案】

21．（2010四川 巴中）如图12已知△ABC中，∠ACB＝90°以AB 所在直线为x 轴，过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ）

第 23 页 共 73 页

（1）试求点C 的坐标

（2）若抛物线y?ax2?bx?c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式．

（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线y=－x－1 交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B 的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。

D

H

G

【答案】（1）∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，△ACO∽△CBO，∴则C（0，2）；

COAO?，CO=2， OBCO?a?b?c?0?（2）抛物线y?ax2?bx?c过△ABC的三个顶点，则?16a?4b?c?0，∴

?c?2?1313a??,b?,c?2，抛物线的解析式为y??x2?x?2；

2222（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，m?3，∴D（1，3），把直线y=－x－1与抛物线

?y??x?1?x1??1?x2?5123?y??x?x?2联立成方程组?∴?， ,?12322y?0y??6y??x?x?2?1?2?22?∴E（5，－6）,过点D作DH垂直于x轴,过点E作EG垂直于x轴,DH=BH=3,∴∠DBH=45°, BD=32,AG=EG=6, ∴∠EAG=45°,AE=62,

当P在B的右侧时,∠DBP=135°≠∠ABE,两个三角形不相似,所以P点不存在； 当P 在B的左侧时 ⅰ) △DPB∽△EBA时，

53BPDBBP32，BP?，∴P的坐标为（，0）， ?,?22BAAE562

第 24 页 共 73 页

ⅱ) △DPB∽△BEA时，3616PBDBPB32 ，BP?，∴P的坐标为（?，0）， ?,?55EABA625所以点P的坐标为（

316，0）或（?，0）。 2522．（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，

点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当 △APE的面积最大时，求点P的坐标；

(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最 大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）由题意知：A（0，6），C（6，0）， 设经过点A、B、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c

?6?c?则：?0?9a?3b?c

?0?36a?6b?c?Ay1?a???3?解得：?b?1

?c?6??∴该抛物线的解析式为y??BOCx12x?x?6 324题图 （2）如图：设点P（x，0），

∵PE∥AB，∴△CPE∽△ABC， ∴

S△CPECP?（)2

S△ABCBC1BC3OA=27 2又∵S△ABC=

∴

S△CPE6-x2?（) 279(6?x)212∴S△CPE==x?4x?12

33

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S△ABP＝

1BP3OA=3x+9 2设△APE的面积为S 则S= S△ABC—S△ABP—S△CPE=?121327x?x?6??(x?)2? 3324327时，S最大值为 243∴点P的坐标为（，0）

2当x=

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（3）假设存在点G（x，y），使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等．

27，过点G做GF垂直y轴与点F． 4111①当y＞6时，S△AGC=S梯形GFOC—S△GFA—S△AOC=（x+6）y—x（y-6）—3636

222在（2）中，△APE的最大面积为=3x+3y-18 即3x+3y-18=

27， 412x?x?6， 31227∴3x+3(?x?x?6)-18=

4393915327解得：x1?,x2?，当x=时，y=，当x=时，y=．

224224又∵点G在抛物线上，y??又∵y＞6，∴

第 26 页 共 73 页

点G的坐标为（

327，）24

②当y＜6时，如图：

S△AGC=S△GAF+S梯形GFOC—S△AOC=即3x+3y-18=

11x（6—y）+y(x?6)-18=3x+3y-18 2227， 412x?x?6， 31227∴3x+3(?x?x?6)-18=

4393915327解得：x1?,x2?，当x=时，y=，当x=时，y=．

224224又∵点G在抛物线上，y??

915，）． 24327915综和①②所述，点G的坐标为（，）和（，）．

2424又因为y＜6，所以点G的坐标为（

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（3）解法2：可以向x轴作垂线，构成了如此下图的图形: 则阴影部分的面积等于S△AGC=S△GCF+S梯形AGFO—S△AOC 下面的求解过程略．这样作可以避免了分类讨论．

23．（2010邵阳）阅读下列材料，然后解答问题。

经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。

如图（十三），已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为S1，正四边形ABCD的面积为S2，以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O相交于点E、F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H。设OE、OF、EF及正四边形ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S

（1）当OM经过点A时（如图①），则S、S1、S2之间的关系为：S＝ （用

第 28 页 共 73 页

含S1、S2的代数式表示）；

（2）当OM⊥AB时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。

（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．

图（十三） 【答案】解：（1）

S1?S2 4（2）成立。理由：连OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的面积

（3）成立。过点O分别作AB、BC的垂线交AB、BC于点P、Q，交圆于点X、Y，可证直角三角形OPG全等于直角三角形OQH，可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积． 24．（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y?x?bx?c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

//2

第 29 页 共 73 页

【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入得??3b?c?0

c??3?解得：??b??2

?c??3所以二次函数的表达式为：y?x2?2x?3

（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，x2?2x?3）， PP交CO于E

若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．

连结PP 则PE⊥CO于E，

////

∴OE=EC=2 ∴y=?3．

22∴x?2x?3=?3

32

第 30 页 共 73 页

解得x1=

2?102?10，x2=（不合题意，舍去） 22∴P点的坐标为（

2?10，?3）??????????8分 22（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（x，x2?2x?3），

易得，直线BC的解析式为y?x?3 则Q点的坐标为（x，x－3）.

S四边形ABPC?S?ABC?S?BPQ?S?CPQ??111AB?OC?QP?OE?QP?EB 22211?4?3?(?x2?3x)?3 2223?3?75=??x???

2?2?8当x?

3

时，四边形ABPC的面积最大 2

此时P点的坐标为?,?面积的最大值为?3?215??，四边形ABPC的 4?75． 825．（2010云南红河哈尼族彝族自治州）如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论. 【答案】解：根据题目条件可判断DE//BF.

A证明如下： B2∵四边形ABCD是正方形， 第 31 页 共 73 页 EFC图61D

∴AB=AD，∠BAF+∠2=90°. ∵AF=AE+EF，又AF=BF+EF ∴AE=BF

∵∠1=∠2，∴△ABF≌△DAE（SAS）. ∴∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE. ∴∠ADE+∠2=90°， ∴∠AED=∠BFA=90°. ∴DE//BF.

26．（2010河南）如图，直线y=k1x+6与反比例函数y=两点.

（1）求k1、k2的值； (2)直接写出k1x +6一

k2等(x>0)的图象交于A(1,6)，B(a,3)xk2 >0时的取值范围； x (3)如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD,OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于E，CE和反比例函数的图象交于点P.当梯形OBCD的面积为l2时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由.

【答案】（1）由题意知 k2 = 136 = 6 ∴反比例函数的解析式为 y = 又B（a，3）在y =

6. x6的图象上，∴a = 2 ∴B（2,3）. x ∵ 直线y = k1x + b 过A（1,6），B（2,3）两点， ∴??k1?b?6,?k1??3, ∴?

2k?b?3.?b?9.?1 （2）x 的取值范围为1< x < 2.

（3）当S梯形OBCD = 12时，PC= PE

第 32 页 共 73 页

设点P的坐标为（m，n），∵BC∥OD，CE⊥OD，BO = CD，B（2,3）. ∴C（m，3），CE = 3，BC = m – 2，OD = m +2.

BC?ODm?2?m?2?CE,即12 =?3 2231 ∴m = 4 .又mn = 6 ，∴n = .即PE = CE.

22 ∴当S梯形OBCD =

∴PC = PE.

27．（2010四川乐山）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O.过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3. （1）如图（12.1），当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）.求证：h2+h3= 2h1； （2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直.

①如图（12.2），当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由； ②如图（12.3），当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由）

A

F

h1 (G) O h3

l

E h1 G h2 B

O A

h1 G F h3

D 图（12.1）

C D 图（12.2）

C

B l

E h2

D 图（12.3）

C

h3 F l

O A

E h2 B

【答案】25.（1）证明：∵BE⊥l，GF⊥l，

∴四边形BCFE是梯形.

又∵GD⊥l，D是BC的中点， ∴DG是梯形的中位线， ∴BE+CF=2DG.

又O为AD的中点，∴AG=DG， ∴BE+CF=2AG. 即h2+h3= 2h1. （2）成立.

证明：过点D作DH⊥l，垂足为H，

∴∠AGO=∠DHO=Rt∠，∠AOG=∠DOH，OA=OD， ∴△AGO≌△DHO， ∴DH=AG.

又∵D为BC的中点，由梯形的中位线性质， 得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF， ∴h2+h3= 2h1成立.

（3）h1、h2、h3满足关系：h2－h3= 2h1. （说明：（3）问中，只要是正确的等价关系都得分）

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28．（2010江苏徐州）如图，已知二次函数y=?123x?x?4的图象与y轴交于点A，与x42轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．

(1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；

(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?

【答案】

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29．（2010云南昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，?23）3三点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这

样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：y?ax?bx?c(a?0)

2

第 35 页 共 73 页

??c?0?? 由题意得：?16a?4b?c?0

??9a?3b?c??23?3?

解得：a?2383,b??,c?0 9923283x?x 99

∴抛物线的解析式为：y?（2）存在

抛物线y?2328383， x?x的顶点坐标是(2,?)，作抛物线和⊙M（如图）

999设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D

∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC l′

∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴DM = 1, CD =

CM2?DM2=3 ∴ C (1, 3) 设切线 l 的解析式为:y=kx+b(k 0)，点B、C在 l 上，可得：

?k?b?3323? 解得： k?,b??33???2k?b?0∴切线BC的解析式为：y?323 x?331?x??1?2? 解得：?

?y?31??2∵点P为抛物线与切线的交点

??y??由??y???23283x?x99323x?33?x2?6??83 ?y2?3?

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∴点P的坐标为：P,1(?1383)， P2(6,) 223∵ 抛物线y?23283x?x的对称轴是直线x?2 99此抛物线、⊙M都与直线x?2成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线x?2的对称直线 l′(如图) 得到B、C关于直线x?2的对称点B1、C1

l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x?2的对称点：

9383P3(,) ，P4(?2,)即为所求的点. 223∴这样的点P共有4个：P,1(?13839383)，P2(6,)，P3(,)，P4(?2,) 22322330．（2010四川内江）如图，抛物线y＝mx2―2mx―3m(m＞0)与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C点.

（1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理

由..

y A O B x C M 【答案】解：（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m(x2―2x―3)＝m(x－1)2―4m,

∴抛物线顶点M的坐标为（1，―4m） ·················································································· 2分 ∵抛物线y＝mx2―2mx―3m(m＞0)与x轴交于A、B两点， ∴当y＝0时，mx2―2mx―3m＝0， ∵m＞0，

第 37 页 共 73 页

∴x2―2x―3＝0， 解得x1＝－1，x,2＝3，

∴A，B两点的坐标为（－1,0）、（3,0）. ·················································································· 4分 （2）当x＝0时，y＝―3m， ∴点C的坐标为（0，－3m）,

1∴S△ABC＝×|3－(－1)|×|－3m|＝6|m|＝6m， ············································································· 5分

2过点M作MD⊥x轴于D，则OD＝1，BD＝OB－OD＝2，MD＝|－4m |＝4m.

y A O D B x C N M ∴S△BCM＝S△BDM ＋S梯形OCMD－S△OBC 111

＝BD2DM＋(OC＋DM)2OD－OB2OC 222

111

＝3234m＋(3m＋4m)31－3333m＝3m， ···································································· 7分 222∴ S△BCM：S△ABC＝1∶2. ·········································································································· 8分 （3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线.

过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN＝OD＝1，DN＝OC＝3m, ∴MN＝DM－DN＝m, ∴CM2＝CN2＋MN2＝1＋m2，

在Rt△OBC中，BC2＝OB2＋OC2＝9＋9m2， 在Rt△BDM中，BM2＝BD2＋DM2＝4＋16m2.

①如果△BCM是Rt△，且∠BMC＝90°时，CM2＋BM2＝BC2, 即1＋m2＋4＋16m2＝9＋9m2， 解得 m＝±

2

, 2

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2. 2

2232x－2x－使得△BCM是Rt△;······················································· 10分 22

∵m＞0，∴m＝

∴存在抛物线y＝

②①如果△BCM是Rt△，且∠BCM＝90°时，BC2＋CM2＝BM2. 即9＋9m2＋1＋m2＝4＋16m2， 解得 m＝±1, ∵m＞0，∴m＝1.

∴存在抛物线y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△;

③如果△BCM是Rt△，且∠CBM＝90°时，BC2＋BM2＝CM2. 即9＋9m2＋4＋16m2＝1＋m2， 1

整理得 m2＝－，此方程无解,

2

∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.

（或∵9＋9m2＞1＋m2，4＋16m2＞1＋m2，∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.） 综上的所述，存在抛物线y＝

2232x－2x－和y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△. 22

31．（2010 福建三明）已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线x??2。

（1）求抛物线与x轴的另一交点A坐标；（2分） （2）求此抛物线的解析式；（3分）

（3）连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B）不重合，过点E

作EF∥AC交BC于点F，连结CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若

存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的 坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请 说明理由。

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【答案】（1）∵抛物线y?ax2?bx?C的对称轴是直线x??2

∴由对称性可得A点的坐标为（-6，0）

????2分

（2）∵点C（0，8）在抛物线y?ax2?bx?C的图象上?C?8

将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式得

2?a????0?36a?6b?828?3y??x?x?8 解得 ∴所求解析式为??8330?4a?2b?8??b???3?[也可用y?a(x?6)(x?2)把C(0,8)代入求出a] （3）依题意，AE=m，则BE=8-m

∵OA=6，OC=8，∴AC=10 ∵EF//AC ∴?BEF≌?BAC

????5分

?EFBF40?5m?即EF? ACAB44 5过点F作FG⊥AB，垂足为G，则Sin?FEG?Sin?CAB??FG4440?5m??FG???8?m EF554?S?S?BCE?S?BFE

11(8?m)?8?(8?m)(8?m) 221??m2?4m

2? （4）存在.理由如下：

????10分

111?S??m2?4m??(m?4)2?8且??0

222∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8

∵m=4

∴点E的坐标为（——-2，0） ??BCE为等腰三角形 ????14分

????12分

32．（2010 湖北孝感） 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线y?x?1与二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上。 （1）二次函数的解析式为y= ；（3分）

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（2）证明点(?m,2m?1)不在（1）中所求的二次函数的图像上；（3分）

（3）若C为线段AB的中点，过C点作CE?x轴于E点，CE与二次函数的图像交于

D点。

①y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐

标是 ；（2分） ②二次函数的图像上是否存在点P，使得S?POE?2S?ABD？若存在，求出P点坐标；

若不存在，请说明理由。（4分）

121x?x?1(或y?(x?2)2). …………3分 4412 （2）证明：设点(?m,2m?1)在二次函数y?x?x?1的图像上，

412则有：2m?1?m?m?1. …………4分

4【答案】（1）解：y?整理得m?4m?8?0,

2???(?4)2?4?8??16?0.

∴原方程无解

…………5分 …………6分

?点(?m,2m?1)不在二次函数y?12x?x?1的图象上 41212说明：由m?m?1?(2m?1)得到(m?1)?1?0,

42从而判断点(?m,2m?1)不在二次函数图像上的同样给分。

（3）解：①K(0,5)或(0,?3)；

…………8分

②二次函数的图象上存在点P，使得S?POE?2S?ABD.

如图，过点B作BF?x轴于F，则BF//CE//AO，又C为AB中点，

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12x?x?1和y?x?1可求得点B(8,9). 4?E(4,0),D(4,1),C(4,5),?AD//x轴.?OE?EF,由y?1?S?ABD?2S?ACD?2??4?4?16.

212设P(x,x?x?1)，由题意有：

4111S?POE??4(x2?x?1)?x2?2x?2.

242…………9分

…………10分

?S?POE?2S?ABD, 1?x2?2x?2?32.2解得x??6或x?10.

…………11分

33．（2010 云南玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是

△POD的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

O

图a 图b

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；

（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

图c 图d

【答案】解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D. 延长BP交CD于点E, ∵AB∥CD. ∴∠B=∠BED.

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又∠BPD=∠BED+∠D，

∴∠BPD=∠B+∠D. ????4分 （2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. ????7分

（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E. 又∵∠AGB=∠CGF.

∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°

∴∠A+∠B+∠C+∠D∠E+∠F=360°. ????11分

34．（2010 云南玉溪）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3） ，△AOB的面积是3. （1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出

点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线

AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y A B 图10 0 x 【答案】解：（1）由题意得:1OB?3?3，?OB?2.

2∴B（－2，0） ????3分

（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1, 3），得a?∴y? 第 43 页 共 73 页 C B O A 3， 33223x?x ????6分 33y x

（3）存在点C.过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线

的对称轴x= - 1交x轴于点E.当点C位于对称轴 与线段AB的交点时，△AOC的周长最小.

∵ △BCE∽△BAF,

BECE?.BFAFBE?AF?CE?BF 3?.33?C(-1,).3 ????9分

（4）存在. 如图，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则

?3k????k?b?3,?3， ?解得??23??2k?b?0.?b??3? ∴直线AB为y?323x?， 3311S四BPOD?S?BPO?S?BOD = |OB||YP|+|OB||YD|=|YP|+|YD|

22 =

?32323. x?x?333132333323∣x+∣=-x+. 23333∵S△AOD= S△AOB-S△BOD =3-

S∴?AOD=S四BPOD33x?233=. 323233-x-x?333?

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∴x1=-

1 , x2=1(舍去). 2∴p(-

13,-) .

24又∵S△BOD =

323x+,

333232x?= . 33332323?x?x?333B y S∴?BOD =S四BPODA D O ∴x1=-

1 , x2=-2. 2x P(-2,0)，不符合题意.

∴ 存在，点P坐标是（-

P 13，-）. ????12分

2435．（2010 重庆江津）如图，抛物线y?ax2?bx?1与x轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式；

(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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