2018届高考数学二轮复习三角恒等变换与解三角形学案文（全国通用

第2讲 三角恒等变换与解三角形

高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

真 题 感 悟

4

1.(20172全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )

37A.－

92C. 9

2B.－

97D. 9

2

（sin α－cos α）－17

解析 sin 2α＝2sin αcos α＝＝－. －19答案 A

2.(20162山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a＝2b(1－sin

2

2

A)，则A＝( )

3

A.π 4πC. 4

解析 因为b＝c，a＝2b(1－sin A)，

2

2

B.D.

π 3π 6

b2＋c2－a22b2－2b2（1－sin A）

所以cos A＝＝，则cos A＝sin A. 22bc2bπ

在△ABC中，A＝.

4答案 C

3.(20172全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋ sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( ) πA. 12πC. 4

B.D.π 6π 3

解析 由题意得sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0， ∴sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，

?π?则sin C(sin A＋cos A)＝2sin Csin?A＋?＝0，

4???π?因为sin C≠0，所以sin?A＋?＝0，

4??

π3π

又因为A∈(0，π)，所以A＋＝π，所以A＝.

44由正弦定理＝，得

sin Asin C1π

则sin C＝，得C＝.

26答案 B

π??π??4.(20172全国Ⅰ卷)已知α∈?0，?，tan α＝2，则cos?α－?＝________.

2?4???解析 由tan α＝2得sin α＝2 cos α， 1222

又sinα＋cosα＝1，所以cosα＝.

5

525?π?因为α∈?0，?，所以cos α＝，sin α＝. 2?55?π?ππ?因为cos?α－?＝cos αcos ＋sin αsin 4?44?＝

52252310

3＋3＝. 525210

310

10

考 点 整 合

1.三角函数公式

sin α22

(1)同角关系：sinα＋cosα＝1，＝tan α.

cos α(2)诱导公式：对于“

ac2＝， 3πsin Csin

4

2

答案

kπ

2

±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下

面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； tan α±tan β

tan(α±β)＝.

1?tan αtan β

(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα.

(5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a＋bsin(x＋φ)，其中tan φ＝. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理

在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；

sin Asin Bsin C变形：a＝2Rsin A，sin A＝

2

2

2

222

baabca， 2Ra∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.

(2)余弦定理

在△ABC中，a＝b＋c－2bccos A；

2

2

2

b2＋c2－a2

变形：b＋c－a＝2bccos A，cos A＝. 2bc2

2

2

(3)三角形面积公式

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.

热点一 三角恒等变换及应用

121212

?3?【例1】 (1)(20172九江一模)已知tan θ＝3，则cos?π＋2θ?＝( ) ?2?

4

A.－

53C. 5

3B.－

54D. 5

(2)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为?

αα3?12，－5?，2α

∠AOC＝α.若|BC|＝1，则3cos－sin2cos－的值为________. ?13?2222?13

解析 (1)∵tan θ＝3，

?3?∴cos?π＋2θ?＝sin 2θ ?2?

＝

2sin θcos θ2tan θ63

＝＝＝. 222

sinθ＋cosθ1＋tanθ105

(2)由题意得|OC|＝|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形， 所以sin∠AOB＝sin?又因为3cos

2

?π－α?＝5，

?13

?3?

ααα3－sincos－ 2222

1＋cos αsin α3

＝32－－ 22213

＝－sin α＋cos α

22

?π?5＝sin?－α?＝. ?3?13

5答案 (1)C (2)

13

探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点

(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.

(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.

【训练1】 (1)(20172北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它1

们的终边关于y轴对称 .若sin α＝，则sin β＝________.

3

1143ππ

(2)(20172石家庄质检)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则

14742α＋β的值为________.

解析 (1)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，

k∈Z.

1

∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.

311π

(2)因为cos(2α－β)＝－且<2α－β<π，

14453

所以sin(2α－β)＝.

14

43ππ

因为sin(α－2β)＝且－<α－2β<，

742

1

所以cos(α－2β)＝.

7

所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]

＝cos(2α－β)2cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) 11153431＝－3＋3＝. 1471472

π3ππ因为<α＋β<，所以α＋β＝.

4431π答案 (1) (2) 33

热点二 正弦定理与余弦定理

命题角度1 利用正(余)弦定理进行边角计算

【例2－1】 (20172武汉二模)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos Acos

C(tan Atan C－1)＝1.

(1)求B的大小；

33

(2)若a＋c＝，b＝3，求△ABC的面积.

2解 (1)由2cos Acos C(tan Atan C－1)＝1，

1

得2(sin Asin C－cos Acos C)＝1，即cos(A＋C)＝－，

21

∴cos B＝－cos(A＋C)＝，

2π

又0

3

a2＋c2－b21

(2)由余弦定理得cos B＝＝，

2ac2

（a＋c）－2ac－b133

∴＝，又a＋c＝，b＝3，

2ac22275

∴－2ac－3＝ac，即ac＝， 44115353∴S△ABC＝acsin B＝33＝.

224216

33

【迁移探究1】 若本题第(2)问条件变为“若b＝3，S△ABC＝”，试求a＋c的值.

2133

解 由已知S△ABC＝acsin B＝，

221333

∴ac3＝，则ac＝6. 222

由余弦定理，得b＝a＋c－2accos B＝(a＋c)－3ac，

2

2

2

2

2

2

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