2022-2022学年甘肃省天水市一中高一上学期第二学段考试数学试题

试卷第1页，总4页 天水一中高一级2020-2021年度第一学期第二学段考试

数学试题

（满分：100时间：90分钟）

一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1．已知全集1234{}U ＝，，，，集合}2{1A ＝，，}3{2B ＝，，则()U C A B ?＝（

） A ．{134}，， B ．{3}4， C ．{}3 D ．{}4

2．函数()

31f x x x =++-的定义域为（ ）

A ．[)3,1-

B ．[]3,1-

C ．[)3,-+∞

D ．(),1-∞

3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）

A ．2x y =

B ．3y x x =+

C ．1

y x =- D ．2log y x =-

4．下列说法正确的是（ ）

A ．棱柱的各个侧面都是平行四边形

B ．底面是矩形的四棱柱是长方体

C ．有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥

D ．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周形成的几何体是圆锥

5．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）

A ．163ππ+

B ．1683ππ+

试卷第2页，总4页 C ．81633ππ+ D ．41633

ππ+ 6．如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置一个平面图形的直观图，其中O ′A ′=6，O ′C ′=2，则原图形是（ ）

A ．正方形

B ．矩形

C ．菱形

D ．一般的平行四边形

7．函数()

22()log 4f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(,4]-∞

B ．[4,)+∞

C ．(2,4]-

D ．(2,4] 8．函数e e ()x x

f x x

-+=的图象大致是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

9．已知函数f(x)＝

(a ∈R)，若函数f(x)在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－∞，0)

C ．(－1，0)

D ．[－1，0) 10．若函数满足：在定义域D 内存在实数

，使得成立，

试卷第3页，总4页 则称函数

为“1的饱和函数”．给出下列五个函数： ①；②；③21

()lg()2f x x =-；④21()x

x f x e -=． 其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）

A ．①②④

B ．②③④

C ．①②③

D ．①③④

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若60α?=，则β=________.

12．3

4

331654log log 8145

-??++= ???__________.

1332，则其外接球的表面积为__________．

14．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：当q x p =(,p q 为正整数，q p

是既约真分数)时1()R x p

=，当0,1x =或[0,1]上的无理数时()0R x =，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则108lg 35f f ????-= ? ?????

_________. 三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)

15．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠.

（1）求函数()()f x g x -的定义域；

（2）判断函数()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；

试卷第4页，总4页 16．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA 是四棱锥P ABCD -的高，且2PA =，E 是侧棱PA 上的中点

.

（1）求三棱锥P BCD -的体积；

（2）求异面直线EB 与PC 所成的角；

17．某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成10%)=，售出商品数量就增加85

x 成，要求售价不能低于成本价． （1）设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式()y f x =，并写出定义域；

（2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x 的取值范围．

18．已知函数f （x ）=ln 21x +）（m ∈R ）．

（Ⅰ）是否存在实数m ，使得函数f （x ）为奇函数，若存在求出m 的值，若不存在，说明理由；

（Ⅱ）若m 为正整数，当x ＞0时，f （x ）＞lnx+1m +32

，求m 的最小值．

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答案第1页，总7页 参考答案

1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D 9．D 10．D 11．60?或120? 12．278

13．4π 14．15 15．（1）(1,1)-；（2）是奇函数，理由见解析；（3）单调递增，证明见解析. （1）10x +>，10x ->，11x ∴-<<，

∴函数()()f x g x -的定义域为(1,1)-.

（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称， ()()log (1)log (1)log (1)log (1)[()()]a a a a f x g x x x x x f x g x ---=-+-+=--+=--，

∴函数()()f x g x -是奇函数.

16．（1）13

；（2）6π. （1）因为PA 是四棱锥P ABCD -的高，

所以PA 是三棱锥P BCD -的高， 所以11111123323

C PB

D P BCD BCD V V S PA --==??=????=△. （2）连结AC 交BD 于O ，连结O

E ，

因为四边形ABCD 是正方形，所以O 是AC 的中点，

又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ，

所以BEO ∠(或补角)为异面直线EB 与PC 所成的角，

因为1AB AD ==，112

EA PA ==，

可得EB ED BD ===，

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答案第2页，总7页 所以BDE 为等边三角形，所以3BED π∠=

， 又因为O 为BD 的中点，所以6BEO π∠=

，

即异面直线EB 与PC 所成的角6π.

17．（1）()20(10)(508)y f x x x ==-+，定义域为[]0,2x ∈；（2）1,22??????. 解：（1）依题意，8100(1)100(1)1050

x y x =-?+； 又售价不能低于成本价，所以100(1)80010x -

-，解得02x ． 所以()20(10)(508)y f x x x ==-+，定义域为[]0,2x ∈． （2）由题意得20(10)(508)10260x x -+，化简得：2830130x x -+， 解得11324

x ． 又因为02x

所以122

x

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答案第3页，总7页 x 的取值范围是1,22

??????． 18．（Ⅰ）m =±1（Ⅱ）5

解：（Ⅰ）存在，m =±1，

理由如下：∵f （x ）=ln

+mx ），

∴f （-x ）=ln

-mx ），

∵f （x ）为奇函数，

∴f （-x ）=-f （x ），

即ln

mx ）=-ln

mx ），

即ln （（1-m 2）x 2+1）=0恒成立，

∴m =±1，

检验：当m =±1时，f （x ）是奇函数，

（Ⅱ）由题意得：当x ＞0时，ln

+mx ）＞ln x +1m +32， 即ln

+m ）＞1m +32， y =ln

+m ）单调递减， ∴ln

+m ）＞ln （1+m ）， 即只要ln （1+m ）＞

1m +32

， 令g （t ）=ln （1+t ）-1t

，则g （t ）在（0，+∞）上单调递增， 当m =1时，ln2＞1+32不成立，

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答案第4页，总7页 当m =2时，ln3＞

12+32

不成立， 当m =3时，ln4＞13+32

不成立， 当m =4时，ln5＞14+32不成立， 当m =5时，ln6=ln2+ln3≈1.7921＞

15+32=1.7成立， 故正整数m 的最小值是5

数学参考答案

1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D 9．D 10．D 11．60?或120? 12．278

13．4π 14．15 15．（1）(1,1)-；（2）是奇函数，理由见解析；（3）单调递增，证明见解析. （1）10x +>，10x ->，11x ∴-<<，

∴函数()()f x g x -的定义域为(1,1)-.

（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称， ()()log (1)log (1)log (1)log (1)[()()]a a a a f x g x x x x x f x g x ---=-+-+=--+=--，

∴函数()()f x g x -是奇函数.

16．（1）13

；（2）6π. （1）因为PA 是四棱锥P ABCD -的高，

所以PA 是三棱锥P BCD -的高，

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所以11111123323C PBD P BCD BCD V V S PA --==??=????=△. （2）连结AC 交BD 于O ，连结OE ，

因为四边形ABCD 是正方形，所以O 是AC 的中点， 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ，

所以BEO ∠(或补角)为异面直线EB 与PC 所成的角， 因为1AB AD ==，112

EA PA ==， 可得2EB ED BD ===，

所以BDE 为等边三角形，所以3BED π∠=

， 又因为O 为BD 的中点，所以6BEO π∠=

，

即异面直线EB 与PC 所成的角6π.

17．（1）()20(10)(508)y f x x x ==-+，定义域为[]0,2x ∈；（2）1,22??????

. 解：（1）依题意，8100(1)100(1)1050x y x =-?+；

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答案第6页，总7页 又售价不能低于成本价，所以100(1)80010

x --，解得02x ． 所以()20(10)(508)y f x x x ==-+，定义域为[]0,2x ∈． （2）由题意得20(10)(508)10260x x -+，化简得：2830130x x -+， 解得11324

x ． 又因为02x

所以122x x 的取值范围是1,22

??????． 18．（Ⅰ）m =±1（Ⅱ）5

解：（Ⅰ）存在，m =±1，

理由如下：∵f （x ）=ln

+mx ），

∴f （-x ）=ln

-mx ），

∵f （x ）为奇函数，

∴f （-x ）=-f （x ），

即ln

mx ）=-ln

mx ），

即ln （（1-m 2）x 2+1）=0恒成立，

∴m =±1，

检验：当m =±1时，f （x ）是奇函数，

（Ⅱ）由题意得：当x ＞0时，ln

+mx ）＞ln x +1m +32， 即ln

+m ）＞1m +32，

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答案第7页，总7页 y =ln

+m ）单调递减， ∴ln

+m ）＞ln （1+m ）， 即只要ln （1+m ）＞

1m +32

， 令g （t ）=ln （1+t ）-1t

，则g （t ）在（0，+∞）上单调递增， 当m =1时，ln2＞1+32

不成立， 当m =2时，ln3＞12+32

不成立， 当m =3时，ln4＞13+32

不成立， 当m =4时，ln5＞14+32

不成立， 当m =5时，ln6=ln2+ln3≈1.7921＞15+32=1.7成立， 故正整数m 的最小值是5

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