周易中的数学原理

“高等数学（经济类）”学生课程论文说明表

（每位同学务必填写此表，并将此表作为课程论文的首页。） 课程名称 学 号 专 业 电子邮箱 高等数学(经济类)3-2 任课教师 张阳 1011864 保险 姓 名 高山 联系电话 13920989709 题 目：周易中的数学原理 1、 题目确定的依据和想法（要求不超过100字） 从小就痴迷于中国古代哲学和命理学的我，决定用所学知识，探究《周易》中的数学问题与原理，体验数学和易理的美，同时也从科学的角度来解释很多人所谓的“迷信”。 2、构思和撰写的过程（要求不超过200字） 首先，我将《周易》的起源和发展以及卦的概念进行了介绍。然后，我又对《周易》中的数学理念进行了陈述，其中，我重点说明了《周易》中同余和幻方的思想。 3、备注

《周易》中的数学原理

高山

（经济学院保险系 1011864）

摘要：作为中国古老的经典著作，《周易》中蕴含了丰富的哲学与数学知识，在此，我将对周易文化和数学理念加以介绍，探寻其中的奥秘。 关键词：周易；数学：二进制：同余：幻方 1.《周易》简介

《周易》是我国最古老、最有权威、最著名的一部经典著作，是中华民族聪明智慧与文化的结晶，被誉为“群经之首，大道之源”。它是保罗万象的百科全书，具有多学科性，包括自然、社会、思维各大领域，内容渉及哲学、地理、天文、医学、乐理、物理、相对论、场论、信息论甚至若干现代尖端科学的渊源都可追溯到《周易》，如：遗传密码、军事战略、计算机、未来学等。从本质上来讲，《易经》是一本关于“卜筮”之书。“卜筮”就是对未来事态的发展进行预测，而《易经》便是总结这些预测的规律理论的书。然而，《周易》同时也是一部“数学巨著”。

《周易》分为《易经》与《易传》两部分，《易经》要早于《易传》七百多年。《易经》记载了六十四卦，每卦六爻。乾卦另有“用九爻”(多一卦)，坤卦另有“用六爻”，讲述六十四卦为“经”，所有这些卦合起来共有（64×6＋2=）386爻。《易传》是解释《易经》的书，是具有浓厚哲学思想的书。有七种十篇。

要了解《周易》的宇宙观，就必须了解八卦是怎样形成的，了解从太极到六十四卦的演化，“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”。太极生两仪体现了数的可分性。两仪就是天和地。阳爻用—来表示，代表正数、奇数、加号＋、数字1，…阴爻用- -来表示，代表负数、偶数、减号 -、数字0，…两仪生四象，四象是在两仪一奇一偶之上复生一奇一偶而产生的，四象分为太阴、少阴、少阳、太阳，它们象征着春、夏、秋、冬和东、南、西、北。

中国人将“笛三个互相垂少太 阳

卡尔直角坐直的平面将

（－，标系”的四个（＋，空间分为8

部分称为四个部分，每 个象限，各象一个部分我少 阳 太 阴

限的正、负值们称他为一

完全符合易个“卦限”。 （－，（＋，

经中的四象。 －） －）

四象生八卦，在四象之上再生一阴一阳，就产生第三爻。以阴阳三爻错综复杂的排列，最终可得八种卦形：

1乾卦 2 兑卦 3 离卦 4 震卦 （天） （泽） （火） （雷） 5 巽卦 6 坎卦 7 艮卦 8 坤卦 （风） （水） （山） （地）

中央的圆圈为太极，黑白鱼形图为两仪，围绕着太极的是八卦。太极的上、下、左、右为乾、坤、离、坎四卦，四个卦形为内层两条迭线为四象。右图为“伏曦八卦图”

2.《周易》中的数学思想 2.1八卦中的排列组合的思想

如将阳爻—与阴爻－－作为元素： 每次取2个，共有4种不同的取法； 每次取3个，共有8种不同的取法； … … …

每次取6个，共有64种不同的取法； … … …

两仪到64卦的排列方法相当数学中的无重复排列：

八 卦 小 横 图 23621＝2，2＝4，2＝8，?，2＝64

2.2八卦中的二进制数

《周易?系辞》上说八卦的形成过程，就是一种二进制记数法：阳爻—代表 1；阴爻－－代表 0。两爻组成“四象”：（由下向上读）太阴00 少阴01 少阳10 太阳11。三爻的不同排列组成 “八卦”：乾111 兑110 离101 震100 巽011 坎010 艮001 坤000。这是二进制数记数中0、1、2、3、4、5、6、7 中的八个数。64卦相当于二进制数 0 到 63 这 64 个数。坤卦( 0 )000000…乾卦(63)111111。二进制的发明者德国著名数学家莱布尼茨评价八卦图说：“易图是流行于宇宙间的科学中最古老的纪念物”。 2.3《周易》筮法中的数论问题

事实上，筮是一种与数有关的活动，而筮法确实是一种计算活动。筮法有多种形式，现在我们来分析一种筮法。 2.3.1“周易筮法”简介

将49根蓍草随机的分为两堆，然后在其中一堆中取出1根不用，把两堆余下的蓍草分别4根一组地分组，去掉不够4的余数（无余数则算余4），这样加上已经取出的那根，共去掉 5 根或 9 根蓍草，余下 44 根或 40根，这个过程叫 “一变 ”

用“一变”余下的蓍草再重复上述的过程，余下40、36、或 32 根蓍草，叫“二变”。 用 “二变” 余下的蓍草再重复上述过程，余 下36、32、28 或 24 根蓍草，叫“三变”。

用4除“三变”余下的蓍草数，可得 9、8、7、6四个数之一。 如果得9或7，叫阳爻，用“—”表示； 如果得8或6，叫阴爻，用“--”表示。 这样“三变”决定一个爻。

这一过程重复六次，得到6个爻，6 爻确定一个卦。就完成了筮的操作。 这时可由出的卦，利用《周易》中的卦辞预测所占卜的行为的吉凶悔吝等。

每卦有六个爻辞，爻辞通过摇卦的方法获得，并且规定只能摇一次，定初卦为主，不再进行第二、第三次摇卦。顺序从下而上依次为序。 2.3.2“周易筮法”和一次同余式的关系

《周易》的成卦法和一个同余式有关。同余式理论属于 “数论” 的范畴，它是关于数的可除性的一种符号语言。

同余定理：（孙子定理）若m为一自然数，若（a－b）为m之倍数，则称 a、b 对于 m 同余，记作 a ≡ b（modm），意即：a－b≡mk（k为一整数）。

《周易》成卦法的机巧在于将49根蓍草三变二十一演，得到下列4种可能的策数之一：

4×9=36， 4×8=32， 4×7=21， 4×6=24。

这一定是《周易》作者通过精密的数学运算和反复试验才得到如此机巧之构思。这种机巧，从数学上看正是数论同余式理论的思想。

《周易》占筮就是不断重复以下两种运算： 运算1： 运算2：

1212

11

22

我们可以认为《周易》的成卦法是同余式的基础，孙子定理发展了这一理论。 2.4河图洛书的数学神秘

《周易》中有“天垂象”“河出图，洛出书，圣人则之”等说法。 2.4.1河图的来历

关于“河出图”相传是伏羲氏得天下，黄河龙马驮了一张图作为礼物献给他。 天数（白）：1、3、5、7、 9 地数（黑）：2、4、6、8、10 天地数之和为55。

河 图 数 字 图 河图

东西南北都是奇偶（阴阳）数相配，构成天地生成之数。天地数之和为55，八卦中称此数为大衍之数。河图的外层数字6、7、8、9与八卦筮法的6、7、8、9也正好吻合。在6、7、8、9 四个数中阳爻9与7；阴爻8与6，阴阳爻相配：9+6、8+6和都是15，15是一个神秘数字。

2.4.2洛书的来历

相传大禹治水时，洛水中跃出一头神龟，驮着一张图献给大禹，这张图叫 “洛书”，有数九个，大禹因之以成九畴，为天下大法。“河图”是用青色书写的，“洛书”是用红色书写的。

白点代表阳：1、3、5、7、9黑点代表阴：2、4、6、8。洛书可以翻译成数字九宫格。

“河图” “洛书” 后来人研究，由于要用十进制取代二进制计数是很大变革，必须借 “神” 意来推广使用，所以产生了“河出图” “洛出书” 这些美丽的传说。 洛 书 数 字 九 宫 格

九宫数字图又叫纵横图，西方人叫它幻方。开始时纯粹是一种游戏，看不出有多大实用价值，在历史上它还夹杂着迷信的色彩。 2.4.3洛书与幻方

幻方定义：一个n阶幻方是由n的平方个不同的整数排列成的方阵，使得沿着任何行、列和主、副对角线的n个数有同样的和。统一的数字称为“幻方常数”。

“洛书” 译成今天的符号文字便是一个“幻方”，它有三行三列，故称“三阶幻方”。这个小小幻方中蕴藏着无尽的数字奥秘。

R?R?N,N?N?r?rR?1?r(mod4),R?r(mod4).将洛书幻方中 1、3 列和1、3 行对调：

1、 3列 对调

2

行逆序幂等：

2

列逆序幂等：

2

主对角幂等：

2

副对角幂等：

2

主对角另一逆序幂等：

2 副对角另一逆序幂等：

1、3行 对调

618?7532?2942?8162?3572?4922672?1592?8342?2762?5912?4832654?1322?8792?4562?2312?9782654?7982?2132?4562?8972?3122693?714?258?396?417?85222222852?1742?6392?2582?4712?9362古今中外研究《周易》者不计其数，不少人把河图、洛书看作神奇的魔方，由于河图、洛书既抽象、又具体，数学变化层出不穷，所以不少人象着了迷似的探讨其中的奥密，以求赶上时代前进的步伐。

数学作为自然科学的皇后，它是科学技术发展的基础，也是人类征服自然的有力武器。在《周易》这个丰富多彩的科学宝库中，数学便是一颗璀璨的明珠，几千年来一直闪闪发光。《周易》中的八卦、河图、洛书尤如一部无字天书，指引着人们去探寻数学之美。 参考文献：

《周易》姬昌（商） 《易图明辨》胡渭（清） 《孙子算经》作者不详

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