2019年中考数学复习图形的初步认识与三角形第18讲相似三角形练习

第18讲 相似三角形

重难点 相似三角形的性质与判定

(2018·包头)如图，在?ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，5

3AE＝2EB，连接DF.若S△AEF＝1，则S△ADF的值为．

2

【思路点拨】 要求S△ADF，由已知条件EF∥BC，3AE＝2BE，可得到AF与AC的数量关系，进而转换到S△ADF与S△ADC

的数量关系，而由平行四边形的性质知，S△ADC ＝ S△ABC，由EF∥BC，3AE＝2BE，S△AEF＝1，结合相似三角形的性质，得S△ABC，则S△ADF即可求出．

方法指导求三角形面积常用方法

?直接法???

?等积法

???????等比法?

????

1

S△＝ah2

S1＝S2

（等底同高）

（同底等高）

S1a（同高 ＝

S2b不同底）

（不同高不同底）

如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，AF⊥BE于点F，连接DF.

(1)求证：DE＝ BE·EF； (2)求∠EFD的度数．

AEEF22

【思路点拨】 (1)要证DE＝EF·BE，而由已知条件知DE＝AE，∴AE＝EF·BE，即＝，观察发现，这四

BEAE条边恰好在△ABE和△FAE中，故只需证明△ABE∽△FAE，由相似三角形的性质即可使问题得证；(2)要求∠EFD的AEEF

度数，而已知条件中并未告诉已知角，故要在正方形中构造已知角并将∠EFD进行转换．由(1)知＝，而∠DEFBEAE＝∠BED，故连接BD，可证△DEF∽△BED，由相似三角形的性质即可求出∠EFD的度数．

2

【自主解答】 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝90°. ∵AF⊥BE，∴∠AFE＝90°.∴∠BAE＝∠AFE. 又∠AEF＝∠AEB，∴△AEF∽△BEA. ∴

AEEF2

＝，即AE＝BE·EF. BEEA

∵E为AD的中点，∴AE＝DE.

2

∴DE＝BE·EF.

(2)连接BD，则∠EDB＝45°. DEBE

由(1)得，＝. EFDE又∠DEF＝∠BED， ∴△DEF∽△BED.

∴∠EFD＝∠EDB＝45°. 方法指导

1．判定三角形相似的思路

?有一对另一对等角

?等角，找两夹边对应成比例?有两边?夹角相等

?

第三边也对应成比例?对应成?

比例，找??有一对直角 ?

直角三一对锐角相等

?角形，找斜边、直角边对应成比例?等腰三?顶角相等

?

?一对底角相等?角形，找?

??底和腰对应成比例

??

????????

有平行线——用平行线的性质，找等角

2．证明等积时，先由比例的基本性质，化等积式为比例式，然后把比例式，左侧(或分子)，右侧(或分母)放

入两个三角形中，证明两个三角形相似即可，如不能放入两个三角形中，可找到相等边代换或寻找中间比．

3．求某个三角的边长或角度时，可借助条件，确定未知三角形(即包含所求边又有某个已知条件)与已知三角形相似，利用相似三角形的性质求解．

考点1 比例线段

ab

1．(2018·白银)已知＝(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是(B)

23

A.＝B．2a＝3bC.＝D．3a＝2b

abc

2．(2018·成都)已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为12.

654

考点2 黄金分割

ACBC

3．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做

ABAC黄金比，其比值是(A)

a2b3b3a2

A.

5－13－55＋13＋5

B.C.D. 2222

考点3 平行线分线段成比例 4．(2018·哈尔滨)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交GD于点F，则下列结论一定正确的是(D)

A.＝B.＝C.＝D.＝

ABAGDFDGFGEGAECFAEADCFADACBDBEDF

5．(2018·嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.AB1EF

已知＝，则＝2．

AC3DE

考点4 相似三角形的性质

6．(2018·重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C)

A．3 cmB．4 cmC．4.5 cmD．5 cm

7．(2017·连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D)

A.＝B.C.

BC1∠A的度数1

＝

DF2∠D的度数2

△ABC的面积1△ABC的周长1

＝D.＝

△DEF的面积2△DEF的周长2

8．(2018·荆门)如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE相交于点G.则S△EFG∶S△ABG＝(C)

A．1∶3 B．3∶1C．1∶9 D．9∶1

9．(2018·重庆B卷)制作一块3 m×2 m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是(C)

A．360元 B．720元 C．1 080元 D．2 160元

10．(2018·资阳)如图，△ABC的面积为12，点D，E分别是AB，AC的中点，则四边形BCED的面积为9．

考点5 相似三角形的判定

11．(2018·永州)如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为(B)

A．2 B．4 C．6 D．8

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC∶AC是(B)

A．3∶2 B．2∶3 C．3∶13 D．2∶13

13．(2018·邵阳)如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：答案不唯一，如△EFC∽△AFD，△EAB∽△AFD，△EFC∽△EAB．

14．(2018·北京)如图，在矩形ABCD中，点E是AB边的中点，连接DE交对角线AC于点F.若AB＝4，AD＝3，则10

CF的长为．

3

15．(2018·巴中)如图，⊙O的两弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝4∶3．

16．(2018·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，OE⊥AB于点E.

(1)求证：△BDE∽△CAD；

(2)若AB＝13，BC＝10.求线段DE的长．

解：(1)证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C.

又∵AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∵DE⊥AB，

∴∠BED＝∠CDA＝90°. ∴△BDE∽△CAD.

(2)∵BC＝10，∴BD＝5.

根据勾股定理，得AD＝AB－BD＝12. ∵△BDE∽△CAD， ∴

BDDE5DE＝，∴＝. CAAD1312

2260∴DE＝. 13

考点6 相似三角形的实际应用

17．(2018·义乌)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD.垂足分别为B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(C)

A．0.2 mB．0.3 mC．0.4 mD．0.5 m

18．(2018·陕西)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．

已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.

解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°.

∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE. ADDE∴＝. ABBC

∴

AB＋8.51.5

＝. AB1

∴AB＝17，即河宽为17 m.

19．(2018·泸州)如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G.若AE＝3ED，DF＝CF，则

AG

的值是(C) GF

A.B.C.D.

20．(2018·扬州)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于

2

点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB＝CP·CM.其中正确的是(A)

A．①②③ B．① C．①② D．②③

45346756

21．(2018·盐城)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点．若要使1530

△APQ是等腰三角形，且△BPQ是直角三角形，则AQ＝或．

47

22．(2018·咸宁)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

理解：(1)

如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D.使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；(保留画图痕迹，找出3个即可)

图1

图2 图3

(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

运用： (3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG.若△EFG的面积为23，求FH的长．

解：(1)如图所示．

(2)证明：∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝40°.∴∠A＋∠ADB＝140°. ∵∠ADC＝140°，∴∠BDC＋∠ADB＝140°. ∴∠A＝∠BDC. ∴△ABD∽△DBC.

∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”． (3)∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”， ∴△EFH∽△HFG.

∴FEFH＝. FHFG

2

∴FH＝FE·FG.

过点E作EQ⊥FG，垂足为Q. ∵∠EFH＝∠HFG＝30°， ∴∠EFQ＝60°. 则EQ＝FE·sin60°＝3

FE. 2

113

∵FG·EQ＝23，∴FG×FE＝23. 222∴FG·FE＝8. 2

∴FH＝FE·FG＝8. ∴FH＝22.

23．(2018·泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”

用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步A的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即2 000点D在直线AC上)？请你计算KC的长为步．

3

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