（第19课时）圆的方程(2)

课 题：7.6圆的方程（二）

教学目的：

1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；

2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径； 3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；

4．渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新、勇于探索 王新敞教学重点：圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0的形式特征 王新敞教学难点：对圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0的认识 直线与圆的位

王新敞置关系（尤其是圆的切线） 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

遵循从特殊到一般的原则，在学习圆的标准方程的基础上，再过渡到学圆的一般也就不难，它们可以通过形式上的互相转化而解决 直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线） 由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F，对它的理解带来一定的困难，因而本节的难点是对圆的一般方程的认识、掌握和运用 突破难点的关键是抓住一般方程的特点，把握住求圆的方程的两个基本要素：圆心坐标和半径 本节为第二课时讲解圆的一般方程 教学过程：

一、复习引入：

1．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞2．求曲线方程的一般步骤为：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程) 王新敞（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)?0; （4）化方程f(x,y)?0为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)

3．建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程 王新敞王新敞王新敞

4. 圆的标准方程 ：(x?a)2?(y?b)2?r2圆心为C(a,b)，半径为r，

若圆心在坐标原点上，这时a?b?0，则圆的方程就是x2?y2?r2

王新敞5．圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径 王新敞y圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r＞0，圆的方程就

OrC(a,b)Mx给定了 这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条

王新敞件 确定a,b,r，可以根据条件，利用待定系数法来解决 王新敞王新敞二、讲解新课：

圆的一般方程： 将圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2的展开式为：

x2?y2?2ax?2by?(a2?b2?r2)?0 王新敞取D??2a,E??2b,F?a2?b2?r2得

x2?y2?Dx?Ey?F?0 ①

再将上方程配方，得

D2E2D2?E2?4F (x?)?(y?)? ②

224不难看出，此方程与圆的标准方程的关系

（1）当D?E?4F?0时，表示以（-为半径的圆；

22（2）当D?E?4F?0时，方程只有实数解x??22DE1D2?E2?4F，-）为圆心,

222DE，y??，即22只表示一个点（-2DE，-）; 222（3）当D?E?4F?0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 王新敞综上所述，方程x?y?Dx?Ey?F?0表示的曲线不一定是圆 22王新敞

只有当D?E?4F?0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如

22x2?y2?Dx?Ey?F?0的表示圆的方程称为圆的一般方程

王新敞圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而 一般方程突出了方程形式上的特点：

（1）x和y2的系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项 2王新敞但要注意：以上两点是二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的必要条件，但不是充分条 王新敞看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数D,E,F就可以了 王新敞三、讲解范例：

例1求过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 王新敞王新敞解：设所求的圆的方程为：x2?y2?Dx?Ey?F?0

∵O(0,0),M(1,1),N(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，

?F?0?即?D?E?F?2?0 ?4D?2E?F?20?0?解此方程组，可得：D??8,E?6,F?0 王新敞∴所求圆的方程为：x?y?8x?6y?0 22王新敞r?1DFD2?E2?4F?5；??4,???3 222王新敞得圆心坐标为（4，-3）.

或将x2?y2?8x?6y?0左边配方化为圆的标准方程，

(x?4)2?(y?3)2?25,从而求出圆的半径r?5，圆心坐标为(4,-3) 王新敞例2 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为

1的点的2轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线

分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出 王新敞王新敞解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，也就是点

M(x,y)属于集合P?{M|OM1?} AM2王新敞y即

x?y22(x?3)2?y2?1x?y1, ?222(x?3)?y422M整理得：x2?y2?2x?3?0

所求曲线方程即为：x2?y2?2x?3?0 OA(3,0)x王新敞将其左边配方，得(x?1)?y?4 22王新敞∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示

王新敞例3求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x?y?4x?3?0和

22x2?y2?4y?3?0的交点的圆的方程 王新敞解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为

x2?y2?4x?3??(x2?y2?4y?3)?0(???1)

则其圆心坐标为(22?,) 1??1??王新敞∵所求圆的圆心在直线x?y?4?0上， ∴

22?1??4?0,??? 1??1??3王新敞∴所求圆的方程为x?y?6x?2y?3?0 22王新敞

说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程

王新敞例4 如图，已知定点A(2，0)，点Q是圆x2?y2?1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程 王新敞解：由三角形的内角平分线性质，得

QMMA?OQOA?1QM1?. ，∴

2MA2设M、Q的坐标分别为(x,y)、(x0,y0)，则

1?x??20?2?x?13??1?x?x?1???022 ?? ?13??y?yy0??00??y?22??11??2?22∵Q在圆x?y?1上，∴x0＝１， ?y022yQOM1A(2,0)x∴(x?1)?(32232y)?1 2王新敞∴动点M的轨迹方程为(x?)?y?说明：注意三角形内角平分线性质的应用. 四、课堂练习：课堂练习p79 1.下列方程各表示什么图形？ （1）x?y?0;

解：此方程表示一个点O（0，0） 23224. 9王新敞22王新敞（2）x?y?2x?4y?6?0; 解：可化为: (x?1)?(y?2)?11

∴此方程表示以点（1，-2）为圆心，11为半径的圆 2222王新敞（3）x?y?2ax?b?0

222

解：可化为：(x?a)2?y2?a2?b2，

∴此方程表示以(-a,0)为圆心，a2?b2为半径的圆 王新敞2.求下列各圆的半径和圆的坐标：

(1) x2?y2?6x?0 答案：即(x?3)2?y2?9，圆心为（3，0），半径为3 王新敞(2) x2?y2?2bx?0 答案：即x2?(y?b)2?b2，圆心为（0，-b），半径为｜b| 王新敞（3）x2?y2?2ax?23ay?3a2?0

答案：即(x?a)2?(y?3a)2?a2，圆心为(a, 3a),半径为｜a｜ 王新敞五、小结 ：

1．对方程x2?y2?Dx?Ey?F?0的讨论(什么时候可以表示圆)

王新敞2．方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示一个圆的充要条件 王新敞3．与标准方程的互化

4．用待定系数法求圆的方程 5．圆与圆的位置关系 六、课后作业：

王新敞王新敞王新敞补充：若实数x、y满足等式 (x?2)?y?3，那么

22y的最大值为( ) xA.

133 Ｂ. Ｃ. Ｄ.3 232王新敞解：∵实数x,y满足(x?2)?y?3， ∵(x,y)是圆(x?2)?y?3上的点，记为P， ∵

2222y是直线OP的斜率，记为k x王新敞22∴OP:y?kx,代入圆方程，消去y，得(1?k)x?4x?1?0 王新敞直线OP与圆有公共点的充要条件是??(?4)?4(1?k)≥0, ∴?3?k?3，所以，选Ｄ

22王新敞

七、板书设计（略）

王新敞八、课后记： 王新敞

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