空间直线和平面总结 - 知识结构图+例题

空间直线和平面

［知识串讲］

空间直线和平面： （一）知识结构

（二）平行与垂直关系的论证

1、线线、线面、面面平行关系的转化： 面面平行性质 ?//?????a,??????a?b?//b a a//b? ? b a??,b? ???? ?a//? a??,b?? A b ? a a?b?A a//?,b//? ???????公理4 (a//b,b//c a//c) 线线∥ 线面平行判定 线面平行性质 线面∥ ??//?面面平行判定1 面面平行性质 面面∥ 面面平行性质1 ?//???//????a??? ?????b?a//??a//b?//??a????? ??//? ?a//?

2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

??a?b?O? ?l?a,l?b?a,b???l?? ?????? a???a?? 面面⊥ 三垂线定理、逆定理 线线⊥ PA??,AO为PO在?内射影a??则a?OA?a?POa?PO?a?AOl??线面垂直判定1 线面垂直定义 线面⊥ ???面面垂直判定 面面垂直性质，推论2 ??a??? ?l?a ??????b??a?? a??,a?b??????????? ????a?? ?a?? 面面垂直定义 ????l，且二面角??l???成直二面角????? ?

3. 平行与垂直关系的转化：

a//b?a??a???a ???b?? a??????//? 线线∥ 线面垂直判定2 线面垂直性质2 a???b???线面⊥ 面面平行判定2 面面平行性质3 面面∥ ??a//b ?//??a???a???

4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论：

（三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （??0?时，b∥?或b??）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°

2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”

即：（1）找出或作出有关的角；

（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。 4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。

常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。

【典型例题】

例. 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（ ）

A.32B.102C.35D.25

分析：如图，取AB中点E，CC1中点F 连结B1E、B1F、EF 则B1E//AM，B1F//NC ∴∠EB1F为AM与CN所成的角

又棱长为1

?B1E?556，B1F?，EF?222

B1E2?B1F2?EF22?cos?EB1F??2BE?BF5 11

∴选D

例3. 已知直线l?平面?，直线m?平面?，有下面四个命题：

①??/??l?m ③l//m???? A. ①与②

B. ③与④

②????l//m④l?m??//?

C. ②与④

D. ①与③

其中正确的两个命题是（ ）

对于① 分析：

l???l???????l?m?//??m????①正确

l????对于②a????/l//m，如图m????

∴②错

对于③

l???m??????????l//m?m????③正确

l????对于④l?m??/?//?，如图m???? ∴①③正确，选D

∴④错

例4. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//面EDB。（2）PB⊥平面EFD。 证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO ∵底面ABCD是正方形 ∴点O是AC中点 又E为PC中点 ∴EO//PA

又EO?面EDB，且PA?面EDB ∴PA//面EDB （2）∵PD⊥底面ABCD ∴BC⊥PD

又BC?DC且PD?DC?D ∴BC⊥面PDC

∴BC⊥DE

又E为等直角三角形中点 ?DE?PC且PC?BC?C ∴DE⊥面PBC

∴DE⊥PB 又已知EF?PB且EF?DE?E ∴PB⊥面DEF

例5. 正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1。

证明：设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C 则AE?面B1BCC1，A1E1?面B1BCC1及EB1//E1C

AE?面B1BCC1?EB?BC1???1?E1C?BC1?AB1?BC1?EB1//E1C???A1C?BC1?AE?面BBCC1111?

注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。

例6. 下列正方体中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l⊥面MNP。

（1） D1 P C1 M A1 B1 N l D C A B （2） D1 C1 A1 B1 l N （3） D1 C1 A1 P 1 B N l D C M A B

M D C P A B

分析：①l在侧面的射影显然与MP、MN垂直 ?MP?l，MN?l?l?面MNP

②显然l分别与MN在底面上射影垂直及与MP垂直 ?l?面MNP

③如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G，显然EMFNGP为平面图形，而D1B与该平面垂直

∴l⊥面MNP

例7. 如图，斜三棱柱ABC?A'B'C'中，AC'?A'B，AA'?AC?8，AB?10， ∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。 （1）求证：面AA'C'C?面ABC； （2）求侧面AA'B'B的面积。

分析：要证明面AA'C'C?面ABC，只要证明BC?面AA'C'C，又BC?AC，只要

证明BC?AC'，故只要证明AC'?平面A'BC。

证明：（1）∵AA'C'C为菱形 ?AC'?A'C 又AC'?A'B?AC'?面A'BC?AC'?BC

又∠ACB=90°，即AC⊥BC ?BC?面AA'C'C 又BC?面ABC （2）作A'D?AC于D

?面AA'C'C?面ABC，AC为交线 ?A'D?面ABC

?面ABC?面AA'C'C

A'AC∠?60° ?∠A'AD为侧棱AA 与底面成的角，即

过D作DE?AB于E，连结A'E，则A'E?AB 又AD?8cos60??4，A'D?8sin60??43 ∴D为AC中点 在Rt?ABC中

?DEAD?BCAB?DE?4?612?105

?A'E?A'D2?DE2?(43)2?(1228)?2155

?S平行四边形A'ABB'?AB?A'E

?10?821?16215

例8. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角，使A到A’的位置（如图）。求： （1）C到A’D的距离； （2）D到平面A’BC的距离；

（3）A’D与平面A’BC所成角的正弦值。

解：（1）∵二面角A’－DE－B是直二面角

又A’E⊥ED，CE⊥ED ∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED

作EF⊥A’D于F，连结CF，则CF⊥A’D ∴CF即为C点到直线A’D的距离

在Rt△A’ED中，EF·A’D=A’E·ED

?EF?4?312?55

?FC?EF2?EC2?(122434)?42?55

?DE//BC，BC?面A'BC，DE?/面A'BC ∴DE//面A’BC （2） ∴E到面A’BC的距离即为D点到平面A’BC的距离 过E作EM⊥A’C于M ∵ED⊥面A’EC 又BC//ED ∴BC⊥面A’EC ∴BC⊥EM ∴EM⊥面A’BC

∴EM为E点到平面A'BC的距离即为D点到面A'BC的距离且EM=22 或者用体积法： 由VD?A'BC11即S?A'BC?h?S?BCD?A'E?VA'?BCD 33

1BC?CE?A'ES?BCD?A'E2?h???221S?A'BCBC?A'C2

（3）设A'D与平面A'BC所成角为?

2）知D点到面A'BC的距离为h?22及A'D?5 又由（

?sin??h22?A'D5

例9. 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB?90°，AC?1，CB?2，侧棱

AA1?1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M。

（1）求证：CD?平面BDM；

（2）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。

（1）证明：连结CA1，则CA1? 又D为A1B中点 易知AC?面BB1C1C

2?BC

?CD?BD①

?CB1是CD在底面BB1C1C上射影 故只要BM?CB1 设BM?CB1?E

在Rt?CBB1和Rt?BB1M中

BB1CB21???BB11MB122

又∠CBB1?∠BB1M?90° ?Rt?CBB1~Rt?BB1M

1?∠B1BM ?∠BCB 又∠B1BM?∠CBM?90°

1?∠CBM?90° ?∠BCB?∠CEB?90° ?BM?CB1?BM?CD②

由①②知CD?面BDM （2）解：?AB1?3?1?2 ?B1D?BD?BB1?1

2 即△B1DB为正三角形，取BD中点F，则B1F?BD

//1?NFCD2 又取BC中点N，连结NF 又CD?BD ?∠NFB1为所求二面角的平面角

?NF?BD

26又B1N?()?12?，CD?BC2?BD2?22

2212?12?12

?NF?13，B1F?22

136()2?()2?()2FN?FB?NB322cos∠NFB1??2??2?FN?FB3132??22 在△DCB1中由余弦定理

21

?所求二面角为??arccos33

【模拟试题】

一. 选择题

1. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（ ） A. 成异面直线

B. 相交

C. 平行

D. 平行或相交

2. 已知直线a，b，平面?，?，?，有下列四个命题 ①a//?，a//???//?； ③a??，a????//?； 其中正确的命题有（ ） A. ①②③

B. ①②④

C. ②③④

D. 以上都不对

②?//?，??/???//?；

④a??，b??，a//b??//?

3. 边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，角B－AD－C的大小为（ ） A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

BC?1a2，这时二面

4. 设a，b是两条异面直线，P是a，b外的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 过P有一条直线和a，b都平行 B. 过P有一条直线和a，b都相交 C. 过P有一条直线和a，b都垂直 D. 过P有一个平面与a，b都平行

5. 若a，b是异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD=AC，BD=BC，则直线a，b所成的角为（ ） A. 90° 二. 填空题

6. 设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则

（1）A点到CD1的距离为_____________ （2）A点到BD1的距离为_____________ （3）A点到面BDD1B1的距离为_____________ （4）A点到面A1BD的距离为_____________ （5）AA1与面BB1D1D的距离为_____________

7. 如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC中点，现沿AE、AF、 EF把它折成一个四面体，使B、D、C三点重合于G，则VA?GEF=_____________。

8. 把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角， 则点A到BC的距离为_________________。

B. 60°

C. 45°

D. 30°

D C A B D1 C1 A1 B1 9. 如图PA⊥⊙O面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC，其中正确命题的序号是_____________。

10. 平面??平面?，其交线为l，A??，B??，AB与?所成角为30°，则AB与α所成角的取值范围是_____________。 三. 解答题

11. 四面体ABCS中，SB、SC、SA两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点。求： （1）BC与面SAB所成的角；

（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。

13. 在矩形ABCD中，已知

AB?1AD2，E是AD的中点，沿BE将△ABE折到△A'BE的位置，使

A'C?A'D。

（1）求证：平面A'BE?平面BCDE。 （2）求A'C和面BCD所成角的大小。

14. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1， （I）求VS?ABCD；

（II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。

【试题答案】 一. 1. C

2. C

3. C

AD?12。

4. C（当P点和直线a确定的平面?与b平行时，则过P点的直线与a不相交，∴B错，当P点在a或b上时，D不成立） 5. A

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