2013届高考数学考点单元复习教案6.doc

平面向量

考纲导1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律．

3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件．

4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．

7．掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．知识网概念向量的模单位向量零向量向量的加法平面向量的坐标运算向量向量的减法运算实数与向量的乘积线段的定比分点向量的数量积平移公式相等的向量余弦定理解三角形正弦定理任意三角形的面积公式高考导

向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．主要考查：

1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．

2．向量的坐标运算及应用．

3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．

4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．

第1课时 向量的概念与几何运算

基础过1．向量的有关概念⑴ 既有 又有 的量叫向量．

的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．

⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．

⑶ 且 的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法

⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和

律．

⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．3．实数与向量的积

⑴ 实数?与向量a的积是一个向量，记作?a．它的长度与方向规定如下：① |

?a |＝ ．

② 当?＞0时，?a的方向与a的方向 ； 当?＜0时，?a的方向与a的方向 ； 当?＝0时，?a ．⑵ ?(μa)＝ ．

(?＋μ)a＝ ．

?(a＋b)＝ ．⑶ 共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．

4．⑴ 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1、?2，使得 ．

⑵ 设e1、e2是一组基底，a＝x1e1?y1e2，b＝x2e1?y2e2，则a与b共线的充要条件是 ．

典型例例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设AB?a，

AC?b，求BE．

31解：BE＝AE－AB＝1(AB＋AC)－AB＝－a＋444b变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量CD等于（ ）

BAA．－BC＋12B．－BC－

1BA2A D B

C

BAC．BC－12BAD．BC＋12解:A

例2. 已知向量a?2e1?3e2，b?2e1?3e2，c?2e1?9e2，其中e1、e2不共线，求实数?、?，使c??a??b．

解:c＝λa＋μb?2e1－9e2＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2且－3λ＋3μ＝－9?λ＝2，且μ＝－1

?2λ＋2μ＝2，

变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：PA?PB?PC?PD?4PO证明

PA＋PC＝2PO，PB＋PD＝2PO?PA＋PB＋PC＋PD＝4PO例3. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若AB?ba，AD?b，试用a、

表示BC和MN．

11AB?CN?a?b；BC?NC?NB?b?a解：连NC，则NC?AD?bMN?MC?CN?1442变式训练3：如图所示，OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻边的平行四边形，又BM＝13BC，CN＝13CD，试用a、b表示OM

，ON，MN．B D M N C O A

522解:OM＝1a＋b，ON＝a＋b，6633MN1＝1a－26b例4. 设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，1(a＋b)三向量的终点在一条直线上？321(a?b)] (?∈R)化简整理得：(??1)a?(t??)b?0解：设a?tb??[a?13333?2???1?0???3??2∵a与b不共线，∴?????t???0?t?1???2?31a,tb,(a?b)三向量的向量的终点在一直线上．故t?1时，23变式训练4：已知OA?a,OB?b,OC?c,OD?d,OE?e，设t?R，如果

3a?c,2b?d,e?t(a?b)，那么t为何值时，C,D,E三点在一条直线上？

解：由题设知，CD?d?c?2b?3a,CE?e?c?(t?3)a?tb，C,D,E三点在

一条

直线上的充要条件是存在实数k，使得CE?kCD，即(t?3)a?tb??3ka?2kb，整理得(t?3?3k)a?(2k?t)b.

①若a,b共线，则t可为任意实数；

?t?3?3k?06②若a,b不共线，则有?，解之得，t?.

5?t?2k?0综上，a,b共线时，则t可为任意实数；a,b不共线时，t?.

65小结归1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．

2．注意O与O的区别．零向量与任一向量平行．

3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证AB∥CD，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证AB∥AC即可．

4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．

第2课时 平面向量的坐标运算

基础过1．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj．我们把(x、y)叫做向量a的直角坐标，记作 ．并且|a|＝ ．2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：

若a＝(x1、y1)，b＝(x2、y2)，λ∈R，则：

a＋b＝ a－b＝ λa＝ 已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则AB＝ ．

4．两个向量a＝(x1、y1)和b＝(x2、y2)共线的充要条件是 ．

典型例例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且AC＝13AB，求点C的坐标．

解AC＝13AB＝(－1，

23)，OC＝OA?AC＝(1,

1311)，即3C(1,

11)3OB?(?7,2)，变式训练1.若OA?(2,8)，则AB= .

解: (?3,?2)提示：AB?OB?OA?(?9,?6)

???2例2. 已知向量a＝(cos?，sin)，b＝(cos，sin)，|a－b|＝222255，

求cos(α－β)的值．解:|a－b|＝22???25255255????2?2cos(?2cos(????)???＝)?22?2cos5555523cos???＝52?7cos(α－β)＝?25变式训练2.已知a－2b＝(－3，1)，2a＋b＝(－1，2)，求a＋b．解 a＝(－1，1)，b＝(1，0)，∴a＋b＝(0，1)

e1＝a＋2b，e2＝2a－b，例3. 已知向量a＝(1, 2)，且e1∥e2，b＝(x, 1)，求x．

解:e1＝(1＋2x，4)，e2＝(2－x，3)，e1∥e2?3(1＋2x)＝4(2－x)?x＝12变式训练3.设a＝(ksinθ, 1)，b＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，a∥b，求证：k≥

3．

证明: k＝

2?cos?sin? ∴k－

3＝

2?2cos(??sin??3)≥0 ∴k≥

3例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，AB＝(6，0)，点M是线段

D C AB的中点，线段CM与BD交于点P．

P (1) 若AD＝(3，5)，求点C的坐标；

A M B (2) 当|AB|＝|AD|时，求点P的轨迹．

解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，

AC?AD?DB?(3,5)?(6,0)?(9,5)?(x0?1,y0?5)

得x0＝10 y0＝6 即点C(10，6) (2) ∵

AB?AD ∴点D的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36 (y≠1)

∵M为AB的中点 ∴P分BD的比为1 2设P(x，y)，由B(7，1) 则D(3x－14，3y－2)

∴点P的轨迹方程为(x?5)2?(y?1)2?4(y?1)

变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|＝2，求OC的坐标． 解 已知A (0，1)，B (－3，4) 设C (0，5)， D (－3，9)

则四边形OBDC为菱形 ∴∠AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD ∵

OD?3102310OC?2 10310,) 55∴OC?OD?(?

小结归

1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化． 2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．

第3课时 平面向量的数量积

基础过1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a和b，过O点作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量a与b的 ．当θ＝0°时，a与b ；当θ＝180°时，a与b ；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作 ．

2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量 叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即

b＝ a· ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若a＝(x1, y1)，

．

b＝(x2, y2)，则a·b＝ 3．向量的数量积的几何意义：

|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影 (θ是向量a与b的夹角)．

b的几何意义是，数量a·b等a·于 ．

4．向量数量积的性质：设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与

b的夹角．

⑴ e·a＝a·e＝ ⑵ a⊥b?

b＝ ；b＝ ．⑶ 当a与b同向时，a·当a与b反向时，a·

⑷ cosθ＝ ．

b|≤ ⑸ |a·5．向量数量积的运算律：

b＝ ； ⑴ a·b＝ ＝a·(λb) ⑵ (λa)·c＝ ⑶ (a＋b)· 典型例例1. 已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求：(2a＋3b)·(3a－2b)．

解:(2a＋3b)(3a－2b)＝－4

变式训练1.已知|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝5，求|2a－3b|的值． 解:65

????． 例2. 已知向量a＝(sin?，1)，b＝(1，cos?)，－?22(1) 若a⊥b，求?； (2) 求|a＋b|的最大值． 解：(1)若a?b，则sin??cos??0

??,)，所以??? 即tan???1 而??(??224(2)

a?b?3?2(sin??cos?)?a?b3?22sin(???4)

当???时，4的最大值为2?1

变式训练2：已知a?(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，其中0??????． (1)求证：a?b 与a?b互相垂直； (2)若ka???b与a?k??b的长度相等，求???的值(k为非零的常数)．

证明：(a?b)?(a?b)?a2?b2?(cos2??sin2?)?(cos2??sin2?)?0 ?a?b 与a?b互相垂直 （2）ka?b?(kcos??cos?,ksin??sin?),

???a?kb?(cos??kcos?,sin??ksin?),

ka?b?k?1?2kcos(???),a?kb?k2?1?2kcos(???),

2???而k2?1?2kcos(???)?k2?1?2kcos(???)

cos(???)?0，?????2

例3. 已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－

2OA)＝0，判断△ABC是哪类三角形．

解:设BC的中点为D，则(OB?OC)(OB?OC?2OA)＝0?2BC·AD＝0?BC⊥AD?△ABC是等腰三角形.

变式训练3：若A(1,2),B(2,3),C(?2,5)，则△ABC的形状是 .

解: 直角三角形.提示：AB?(1,1),AC?(?3,3),AB?AC?0,AB?AC 例4. 已知向量m＝(cosθ, sinθ)和n＝(|m?n|＝8252－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且

??)的值. ，求cos(?282解:m?n＝(cosθ－sinθ＋(cosθ＋sinθ)2＝128 257)?化简：cos(??? 425, cosθ＋sinθ)由已知(cosθ－sinθ＋

2)2＋

又

cos2(???)?281?cos(??2?)4?16 25?∵θ∈(π, 2π) ∴cos(2?8)<0

??1?cos(??2?1?cos(??)1644∴cos(?)＝－ ??522825?)4?1625??变式训练4.平面向量a?(3,?1),b?(,13)，若存在不同时为0的实数k22和t，使x?a?(t2?3)b,y??ka?tb,且x?y，试求函数关系式k?f(t). 解：由a?(3,?1),b?(,13)得a?b?0,|a|?2,|b|?1 2222[a?(t2?3)b]?(?ka?tb)?0,?ka?ta?b?k(t2?3)a?b?t(t2?3)b?0

11?4k?t3?3t?0,k?(t3?3t),f(t)?(t3?3t)

44 小结归

1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法． 2．注意a·b与ab的区别．a·b＝0≠＞a＝0，或b＝0．

3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．

第4课时 线段的定比分点和平移

基础过1． 设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ使P1P＝λPP2，λ叫做 ．

2．设P1（x1、y1），P2（x2、y2），点P（x、y）分P1P2的比是λ时，定比分点坐标公式为：

，中点坐标公式： 。

3． 平移公式：将点P（x、y）按向量a＝（h、k）平移得到点P'（x'，y'），则 ． 典型例

例1. 已知点A(－1, －4)，B(5, 2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2的坐标及A、B分P1P2所成的比. 解 ⑴ P1(x－2) P2(3, 0) (2) －1, －2 2变式训练1.设|AB|＝5，点p在直线AB上，且|PA|＝1，则p分AB所成的比为 ． 解:

11或?46

?例2. 将函数y＝2sin（2x＋56）＋3的图象C进行平移后得到图象

?C'，使C上面的一点P（?、2）移至点P'（、1），求图像C'对应的64函数解析式．

?解: C'：y＝2sin(2x＋23)＋2

变式训练2：若直线2x－y＋c＝0按向量a＝(1, －1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则c的值为 （ ） A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8 解: A

例3. 设a＝(sinx－1, cosx－1)，b?(22,)，f (x)＝a?b，且函数22y＝f (x)

的图象是由y＝sinx的图象按向量c平移而得，求c.

?2k?,?解:c＝(－?42) (k∈z)

变式训练3：将y＝sin2x的图象向右按a作最小的平移，使得平移后的图象在[kπ＋?, kπ＋π] (k∈Z)上递减，则a＝ ． 2解:(?，0) 4例4. 已知△ABC的顶点A(0、0)，B(4、8)，C(6、－4)，点M内分AB所成的比为3，N是AC边上的一点，且△AMN的面积等于△ABC的面积的一半，求N点的坐标．

?AMN解:由SS?ABC?|AM|?|AN|1＝|AB|?|AC|2

|2? 得||ANAC|3AN?2 NC ∴ N(4，－8) 3变式训练4.已知△ABC的三个顶点为A（1，2），B（4，1），C（3，

4）．

(1)求AB边上的中线CM的长及重心G的坐标；

(2)在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把△ABC的面积分成4︰5两部分（三角形面积：四边形面积），求点P的坐标 解:

1．在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比?．

2．平移公式反映了平移前的点P(x、y)和平移后的点P'(x'、y')，及向量a＝(h，k)三者之间的关系．它的本质是PP'＝a．平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆．

CM?26287G(,)334p(3,) 3小结归

平面向量章节测试题

一、选择题

1. 若A（2，-1），B（-1，3），则AB的坐标是 ( )

A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对

2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )

A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. (5,?4) D.（5k,

kk-4k）

3. △ABC中,BC=a, AC=b,则AB等于 ( )

A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a

4.化简2(a－b)－1(2a+4b)+2(2a+13b)的结果是 ( )

5A.1a?1b 55－1b 5315 B.0 C. 1a+1b D. 1a

5555.已知|p|=22,|q|=3, p与q的夹角为?,则以a=5p+2q,b=p－3q为邻边

4的平行四边形的一条对角线长为 ( )

A.15 B.15 C. 16 D.14 6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥AB,则k的值为 ( )

A.?9 B.9 C.?19 D.19

101010107. 已知△ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足PA?PB?PC?AB，则点P与△ABC的关系是 ( )

A. P在△ABC的内部 B. P在△ABC的外部 C. P是AB边上的一个三等分点 D. P是AC边上的一个三等分点

8.已知△ABC的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC边上一点,且△ABM的面积是△ABC面积的1,则线段AM的长度是

4( )

A.5 B.

85 C.5 D.29.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 ( )

A.32 B.9 C.18?92 D.32?2

10.若|a|=1,|b|=2,(a-b)⊥a,则a与b的夹角为 ( )

85 2

A.300 B.450 C.600 D.750

11.把一个函数的图象按向量a=(?,-2)平移后，得到的图象对应的函数

3解析式为y=sin(x+?)-2,则原函数的解析式为 ( )

6A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx

12.在△ABC中，AB=c, BC= a, CA=b,则下列推导中错误的是 ( ) A.若a·b<0,则△ABC为钝角三角形 B. 若a·b=0,则△ABC为直角三角形 C. 若a·b=b·c,则△ABC为等腰三角形 D. 若c·( a+b+c)=0,则△ABC为等腰三角形 二、填空题

13.在△ABC中，已知AB?AC?4,且AB?AC?8,则这个三角形的形状是 .

14.一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，则船实际航行的速度的大小和方向是 .

15. 若向量a?(3,?2),b?(?2,1),c?(7,?4),现用a、b表示c,则c= . 16.给出下列命题:①若a2+b2=0,则a=b=0; ②已知A(x1,y1),B(x2,y2),则1AB?(x1?x2,y1?y2);

222③已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|

④已知?1?0,?2?0,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线;

⑤若a与b共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 . 三、解答题

17.如图,ABCD是一个梯形,AB//CD,AB?2CD, M、N分别是DC,AB的中点,已知AB?a,AD?b,试用a、b表示DC,BC和MN.

D M C B

A

N

18.设两个非零向量e1、e2不共线.如果

AB=e1+e2,BC?2e1+8e2,CD=3(e1-e2)

⑴求证:A、B、D共线;

⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.

19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量AD的坐标.

20.已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长;⑵在AB上取一点P,使过P且平行与BC的直线PQ把

?ABC的面积分成4:5两部分,求P点的坐标.

21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.

22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f (1-x)=f (1+x)成立，设向量a=(sinx,2), b=(2sinx,1),

2c=(cos2x,1),d=(1,2)。

（1）分别求a·b和c·d的取值范围； （2）当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集.

平面向量章节测试题参考答案

一、BCDBA；DDADB；BD

二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a－2b ; 16.①③④

三、17.∵|AB|=2|CD|∴AB?2DC∴DC?1AB?1a,BC?b－a ,

2212MN=a

14－b

18.⑴∵BD?BC?CD?5e1+5e2=5AB , ∴AB//BD又有公共点B,∴A、B、D共线

⑵设存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k=?1 19.⑴由AB?AC?0可知AB?AC即AB⊥AC

⑵设D（x,y）,∴AD?(x?2,y?4),BC?(5,5),BD?(x?1,y?2) ∵AD?BC ∴5(x-2)+5(y-4)=0 ∵BD//BC ∴5(x+1)－5(y+2)=0 ∴

?x?????y???7252 ∴D(7,5)AD?(3,?3)

222220.⑴?M(5,3)?CM221526?(?,?),|CM|?222

⑵设P（x,y）

?(x?1,y?2)?S?APQSBPQC4S?APQ4|AP|22???,???AP?AB 5S?ABC9|AB|3324(3,?1)?P(3,) 3321. 当b与a+λb(λ∈R)垂直时，b·(a+λb)=0,∴λ= -a2b

b | a+λb |=b?2b2?2?ab?a2=b2(??ab2ab22)?a?()b2b2

当λ= -a2b时，| a+λb |取得最小值.

∴当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.

22. (1）a·b=2sin2x+1?1 c·d=2cos2x+1?1 （2）∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于x=1对称 当二次项系数m>0时, f(x)在（1，??）内单调递增， 由f(a·b)>f(c·d)? a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1 又∵x∈[0,π] ∴x∈(?,3?)

44当二次项系数m<0时,f(x)在（1，??）内单调递减， 由f(a·b)>f(c·d)? a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1 又∵x∈[0,π] ∴x∈[0,?)4(3?,?]、 444故当m>0时不等式的解集为(?,3?);当m<0时不等式的解集为

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