第六章回顾与思考

第六章 证明(一)小结与复习

教学目标： 1.了解定义、命题、公理、定理的含义，会 区分命题的条件和结论，判别命题的真假； 2.掌握平行线的判别、性质公理和定理； 3.掌握三角形的内角及外角的有关定理和推 论，能进行正确的推理论证。 教学重点： 初步掌握用综合法证明的格式，掌握本章的定 理及推论。 教学难点： 运用综合分析法进行计算和证明。

教学过程： 一、本章内容结构图

定义

公理 真命题

句子命题

定理假命题

判定 证 明 (一) 平行线 性质 内角和定理 三角形 外角和内角 的关系

二、例题精讲例1 已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角， E为边AC上一点，延长BC到D,连接DE。 求证：∠1>∠2。证明：∵ ∠1是△ABC的一 个外角(已知), ∴ ∠1>∠3(三角形的一个 外角大于任何一个和它不相 邻的内角)。 ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义), ∴∠3>∠2(三角形的一个外 角大于任何一个和它不相邻 的内角)。 ∴ ∠1>∠2(不等式的性质)。

D2

3 5

C

E A1

B

F

A

例2 已知：国旗上的正五角星形如图所示。 求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。

B

2 H1 F E

C

D

分析：设法利用外角把这五个角“凑”到一个三 角形中，运用三角形内角和定理来求解。 解：∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和)。 又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和)。 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理), ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质)。

例3已知：如图，AB∥ED,求证：

∠ABC+∠CDE=∠BCD。A

BN

证明1:过点C作MN∥AB。 C M ∵AB∥ED(已知), ∴MN∥ED(平行的性质)。 E ∴∠NCD=∠CDE(两直线平行，内错角相等), ∠NCB=∠ABC(两直线平行，内错角相等)。 ∵∠BCD=∠NCD+∠NCB(如图), ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD(等量代换)。

D

A C

B

例3已知：如图，AB∥ED,求证： ∠ABC+∠CDE=∠BCD。

E F

D

证明2:延长BC交ED于点F。 ∵AB∥ED( 已知), ∴∠ABC =∠CFD(两直线平行，内错角相 等)。 ∵∠BCD=∠CDE +∠CFD(三角形的一个外 角等于和它不相邻的两个内角的和), ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD(等量代换)。

A

B C

例3 已知：如图，AB∥ED,求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD。E F

D

证明3:连接BD。 ∵AB∥ED( 已知), ∴∠ABD+∠BDE=180°(两直线平行，同旁内角互补), 即∠ABC+∠CBD+∠CDB+∠CDE=180°。 ∵∠BCD+∠CBD +∠CDB=180°(三角形内角和等于180°), ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD(等量代换)。

当点C在AB的右侧时，会有什么样的结论？ 当点C

在两平行线外呢？A B C E D0

A E

BD C

360∠ABC+∠BCD+∠CDE=

∠ABC=∠C+∠D

(一)填空题 1.如图，直线c与直线a、b相交，且a//b, 140 若∠1=40°,则∠2=____.02

三、巩固练习

c 1 a

b

A1

B

40 2.如图所示，AB∥CD,∠1=50º ,∠B=140º , 50 A C D 则∠C=____,∠D=____. 0 0 25 ,∠B=70º 3.如图所示，∠A=60º 105 ,∠1=∠2, 3 E D 4 DE∥BC,则∠3=______,∠4=______. 1 2 C B 4.把下列命题“对顶角相等”改写成：如果,那 么 0 0 0 40 如果俩个角是对顶角，那么80 这俩个角相等 . 50 5.如图所示，△ABC中，∠B=∠C,E是AC上一 点，ED⊥BC,DF⊥AB,垂足分别为D、F,若A E F B D C

0

0

(二)选择题6.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( ). A.∠B+∠A=∠C B.∠A:∠B:∠C=2:3:5 C.∠A=2∠B=3∠C D.一个外角等于和它相邻的一个内角7.已知下列命题： ①相等的角是对顶角； ②互补的角就是平角； ③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角； ④平行于同一条直线的两直线平行； ⑤邻补角的平分线互相垂直. 其中，正确命题的个数为( ). A.0 B.1个 C.2个 D.3个

H 2

A

C

8.如图，AB∥CD,直线HE⊥MN交MN于E,∠1=130º M , 则∠2等于( ). A.50º B.40º C.30º B D.60º

E D

1

N

9.如图，如果AB∥CD,则角α、β、γ之 间的关系式为( ). A.α+β+γ=360º B.α-β+γ=180º E C.α+β+γ=180º D.α+β-γ=180ºC

A α β γ D

B

A1

B

(三)解答题

C

D

10.看图填空： 如图，∠B+∠D=180º (已知) ∴ ∥ ( ) ∴∠1= ( ) ∵∠1=65º (已知) ∴∠C=65º ( )

11.如图，BC⊥ED,垂足为O, ∠A=27º , ∠D=20º ,求∠ACB与∠B的度数.

B E O

A

C

D

12.如图，已知△ABC. (1)画△ABC的外角∠BCD,再画∠BCD的平 分线CE. (2)若∠A=∠B,请完成下面的证明： 已知：△ABC中，∠A=∠B,CE是外角 ∠BCD的平分线. 求证：CE∥AB.

A

B

C

D E

再见!

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