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中考数学第一轮复习资料

重新整理(超经典)+中考数学总复习资料-数与式

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目 录

第一部分 数与代数

第一章 第1讲 第2讲 第3讲

数与式 实数83 代数式 84 整式与分式85

第1课时 整式85 第2课时 因式分解86 第3课时 分式87 第4讲 二次根式89

第二章 方程与不等式 第1讲 方程与方程组90

第1课时 一元一次方程与二元一次方程组90 第2课时 分式方程91

第3课时 一元二次方程93 第2讲 不等式与不等式组94

第三章 函数

第1讲 函数与平面直角坐标系97 第2讲 一次函数99 第3讲 反比例函数101 第4讲 二次函数103

第二部分 空间与图形

第四章 三角形与四边形 第1讲 相交线和平行线106 第2讲 三角形108 第1课时 三角形108

第2课时 等腰三角形与直角三角形110 第3讲 四边形与多边形112 第1课时 多边形与平行四边形112 第2课时 特殊的平行四边形114

第3课时 梯形116

第五章 圆

第1讲 圆的基本性质118

第2讲 与圆有关的位置关系120 第3讲 与圆有关的计算122

第六章 图形与变换

第1讲 图形的轴对称、平移与旋转124 第2讲 视图与投影126 第3讲 尺规作图127 第4讲 图形的相似130 第5讲 解直角三角形132

第三部分 统计与概率

第七章 统计与概率 第1讲 统计135 第2讲 概率137

第一部分 数与代数

第一章 数与式 第1讲 实数

考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类

正有理数

有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如7,32等；

π（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分） 1、相反数

实数与它的相反数时一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a= -b，反之亦成立。 2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分） 1、平方根

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“?a”。 2、算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a（a?0） a?0

a2?a? ； 注意a的双重非负性： -a（a<0） a?0 3、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：3?a??3a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 （3—6分） 1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做?a?10n的形式，其中1?a?10，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 （3分） 1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， a?b?0?a?b, a?b?0?a?b, a?b?0?a?b

aaa（3）求商比较法：设a、b是两正实数，?1?a?b;?1?a?b;?1?a?b;

bbb（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则a?b?a?b。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则a2?b2?a?b。 考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大） 1、加法交换律 a?b?b?a

2、加法结合律 (a?b)?c?a?(b?c)

3、乘法交换律 ab?ba

4、乘法结合律 (ab)c?a(bc) 5、乘法对加法的分配律 a(b?c)?ab?ac 6、实数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

A级 基础题

1．在－1,0,1,2这四个数中，既不是正数也不是负数的是( ) A．－1 B．0 C．1 D．2

1

2．－2的绝对值等于( ) A．2 B．－2 C.2 D．±2

11

3．－4的倒数的相反数是( ) A．－4 B．4 C．－4 D.4

11

4．－3的倒数是( ) A．3 B．－3 C.3 D．－3

11

5．无理数－3的相反数是( ) A．－3 B.3 C. D．－ 33

6．下列各式，运算结果为负数的是( )

A．－(－2)－(－3) B．(－2)×(－3) C．(－2)2 D．(－3)－3 7．某天最低气温是－5 ℃，最高气温比最低气温高8 ℃，则这天的最高气温是________℃.

8．如果x－y＜0，那么x与y的大小关系是x____y(填“＜”或“＞”)．

9．(山东泰安)已知一粒米的质量是0.000 021千克，这个数字用科学记数法表示为( ) A．21×10－4千克 B．2.1×10－6千克 C．2.1×10－5千克 D．2.1×10－4千克

?2

10．(河北)计算：|－5|－(2－3)0＋6×????＋(－1). 32??11

图X1－1－1

B级 中等题

11．实数a，b在数轴上的位置如图X1－1－1所示，下列式子错误的是( ) A．a|b| C．－a<－b D．b－a>0

12．北京时间2011年3月11日，日本近海发生9.0级强烈地震．本次地震导致地球当天自转快了0.000 001 6秒．这里的0.000 001 6秒请你用科学记数法表示________________________秒．

13．将1，2，3，6按下列方式排列．若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，

则(5,4)与(14,5)表示的两数之积是________．

14．计算：|－3

?1?－202?3|－2cos30°－2＋(3－π). 15．计算：－2＋?＋|－3|. ?3?－2cos60°

-1

C级 拔尖题

16．如图X1－1－2，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD＝6，点A对应的数为－1，则点B所对应的数为__________．

图X1－1－2

17．观察下列等式：

1111?11?1?第1个等式：a1＝＝2×?； 第2个等式：a＝＝×??； 1?2??1×33×52??3??35?1111?11?11?第3个等式：a3＝＝2×?； 第4个等式：a＝＝×??； ?4??5×77×92??57??79?…

请解答下列问题：

(1)按以上规律列出第5个等式：

a5＝______________＝______________； (2)用含有n的代数式表示第n个等式：

an＝______________＝______________(n为正整数)； (3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．

选做题

(1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；

(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

19．(江苏苏州)若3×9m×27m＝311，则m的值为____________．

第2课时 因式分解

考点三、因式分解 （11分） 1、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法

（1）提公因式法：ab?ac?a(b?c)

（2）运用公式法：a2?b2?(a?b)(a?b) a2?2ab?b2?(a?b)2 a2?2ab?b2?(a?b)2

（3）分组分解法：ac?ad?bc?bd?a(c?d)?b(c?d)?(a?b)(c?d) （4）十字相乘法：a2?(p?q)a?pq?(a?p)(a?q) 3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

A级 基础题 1．(四川凉山州)下列多项式能分解因式的是( )

A．x2＋y2 B．－x2－y2 C．－x2＋2xy－y2 D．x2－xy＋y2 2．(年山东济宁)下列式子变形是因式分解的是( )

A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)

C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3) 3．(内蒙古呼和浩特)下列各因式分解正确的是( )

A．－x2＋(－2)2＝(x－2)(x＋2) B．x2＋2x－1＝(x－1) C．4x2－4x＋1＝(2x－1)2 D．x2－4x＝x(x＋2)(x－2)

4．(湖南邵阳)因式分解：a2－b2＝______ 5．(辽宁沈阳)分解因式：m2－6m＋9＝______.

6．(广西桂林)分解因式：4x2－2x＝________.7．(浙江丽水)分解因式：2x2－8＝ ________.

8．(贵州六盘水)分解因式：2x2＋4x＋2＝________.

9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)[如图X1－3－2(1)]，把余下的部分拼成一个矩形[如图X1－3－2(2)]，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )

图X1－3－2

A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2 10．若m2－n2＝6且m－n＝3，则m＋n＝________.

B级 中等题

11．对于任意自然数n，(n＋11)2－n2是否能被11整除，为什么？

12．(山东临沂)分解因式：a－6ab＋9ab2＝____________.

13．(四川内江)分解因式：ab3－4ab＝______________.

14．(山东潍坊)分解因式：x3－4x2－12x＝______________.

15．(江苏无锡)分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( )

A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2

x2－2xy＋y2

16．(山东德州)已知：x＝3＋1，y＝3－1，求的值．

x2－y2

C级 拔尖题

17．(江苏苏州)若a＝2，a＋b＝3，则a2＋ab＝________.

?ab2?b2?3a?1??＝________. 18．(湖北随州)设a2＋2a－1＝0，b4－2b2－1＝0，且1－ab2≠0，则?a??5

选做题

19．分解因式：x2－y2－3x－3y＝______________.

20．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．

21．(贵州黔东南州)分解因式x3－4x＝______________________.

第3课时 分式

考点一、分式 （8~10分） 1、分式的概念

AA一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就

BB叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质

（1）分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则

acacacadadanan;????; （2）（1），??。()?n(n为整数);

bdbdbdbcbcbbaba?bacad?bc; （4） ??（3） ??

cccbdbd

A级 基础题

1

1．(浙江湖州)要使分式x有意义，x的取值范围满足( )

A．x＝0 B．x≠0 C．x＞0 D．x＜0

x

2．(四川德阳)使代数式有意义的x的取值范围是( )

2x－111

A．x≥0 B．x≠2 C．x≥0且x≠2 D．一切实数

3．在括号内填入适当的代数式，是下列等式成立：

a3－ab2a? ?2? ?

(1)ab＝2xa2b2 b (2)＝

?a－b?2a－b

x2－956x3yz4

4．约分：48x5y2z＝____________； 2＝____________.

x－2x－3

a－b1x2－2x－3a

5．已知＝，则b＝__________. 6．当x＝______时，分式的值为零．

a＋b5x－3

x2－1x2－2x＋1

7．(福建漳州)化简：÷2. x＋1x－x

x21

8．(浙江衢州)先化简＋，再选取一个你喜欢的数代入求值．

x－11－x

x－2x

9．先化简，再求值：2－，其中x＝2.

x－4x＋2

m2mm??10．(山东泰安)化简：?÷??m2－4＝____________________. m?2m?2??

B级 中等题

x－1

11．若分式有意义，则x应满足的条件是( )

?x－1??x－2?

A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对

x＋22??3x?4?12．先化简，再求值：?2. ?÷2?x?1x?1?x－2x＋1

13．(湖南常德)先化简，再求值.

?1x2?2x?1?x－1

，其中x＝2. ???÷2x＋1x?1x?1??14．(四川资阳)先化简，再求值：

C级 拔尖题

ab＋ab－1

15．先化简再求值：2＋2，其中b－2＋36a2＋b2－12ab＝0.

b－1b－2b＋1

选做题

1

16．已知x－3x－1＝0，求x＋x2的值．

2

2

a－2?2a?1?÷?a?1?，其中a是方程x2－x＝6的根． 2?a－1?a?1?

第4讲 二次根式

考点一、二次根式 （初中数学基础，分值很大） 1、二次根式

式子a(a?0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“

”；被开方数a必须是

非负数。

2、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

4、二次根式的性质

（1）(a)2?a(a?0)

a(a?0) （2）a2?a?

?a(a?0)

（3）ab?a?b(a?0,b?0) （4）

aa?(a?0,b?0) bb

5、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

A级 基础题

1．下列二次根式是最简二次根式的是( )

1

A.2 B.4 C.3 D.8

2．下列计算正确的是( )

A.20＝2 10 B.2·3＝6 C.4－2＝2 D.?－3?2＝－3

3．若a＜1，化简?a－1?2－1＝( )

A．a－2 B．2－a C．a D．－a 4．(广西玉林)计算：3 2－2＝( ) A．3 B.2 C．2 2 D．4 2

5．如图X1－3－3，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为( )

图X1－3－3

D．1＋3

1

6．(湖南衡阳)计算：12＋3＝__________.7．(辽宁营口)计算18－2

2＝________.

8．已知一个正数的平方根是3x－2和5x＋6，则这个数是__________．

9．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，其中能被如图X1－3－4所示的墨迹覆盖的数是__________．

图X1－3－4

10．(四川内江)计算：3tan30°－(π－2 011)0＋8－|1－2|.

B级 中等题

11．(安徽)设a＝19－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是( ) A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5

12．(山东烟台)如果?2a－1?2＝1－2a，则( )

1111

A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2

13．(浙江)已知m＝1＋2，n＝1－2，则代数式m2＋n2－3mn的值为( ) A．9 B．±3 C．3 D．5

14．(福建福州)若20n是整数，则正整数n的最小值为________．

15．(贵州贵阳)如图X1－3－5，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )

图X1－3－5

A．2.5 B．2 2 C.3 D.5 0－2

A．－2－3 B．－1－3 C．－2＋3

?3??－|3－18|＋83×(－0.125)3. 16．(四川凉山州)计算：(sin30°)＋?5?2??

C级 拔尖题

17．(湖北荆州)若x－2y＋9与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为( ) A．3 B．9 C．12 D．27

18．(山东日照)已知x，y为实数，且满足1＋x－(y－1)1－y＝0，那么x2 011－y2 011＝______.

选做题 19．(四川凉山州)已知y＝2x－5＋5－2x－3，则2xy的值为( )

1515

A．－15 B．15 C．－2 D.2

第二章 方程与不等式

第1讲 方程与方程组

第1课时 一元一次方程与二元一次方程组 考点一、一元一次方程的概念 （6分） 1、方程

含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax?b?（0x为未知数，a?0） 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。

考点二、二元一次方程组 （8~10分） 1、二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 3、二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 4二元一次方程组的解

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方正组的解法 （1）代入法（2）加减法 6、三元一次方程

把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 7、三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组

A级 基础题

1．(山东枣庄)“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2 080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A．x(1＋30%)×80%＝2 080 B．x×30%×80%＝2 080 C．2 080×30%×80%＝x D．x×30%＝2 080×80%

2．(广西桂林)二元一次方程组?A. ??x?y?3.的解是( )

2x?4??x?3,?x?1,?x?5,?x?2,

B.? C. ? D.? y?0y?2y??2y?1????

3．(湖南衡阳)为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和

乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得( )

A. ??x?y?50,?x?y?50,?x?y?50,?x?y?50, B.? C.? D.?

6(x?y)?3206x?10y?3206x?y?32010x?6y?320????4．(贵州铜仁)铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，

要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是( )

A．5(x＋21－1)＝6(x－1) B．5(x＋21)＝6(x－1) C．5(x＋21－1)＝6x D．5(x＋21)＝6x

5．已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，则m的值是________．

6．方程组?

7．(湖南湘潭)湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20 000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5 000

?x?y?2,的解是__________．

?2x?y?1元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为__________________．

8．(年江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家．有关数据显示，中国人均淡水资

1

源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的5，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13 800 m3.问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：m3)?

B级 中等题

1

9．(贵州黔西南)已知－2xm－1y3与2xnym＋n是同类项，那么(n－m)2 012＝______.

10．(山东菏泽)已知?

?x?2,?mx?ny?8,是二元一次方程组的解?则2m－n的算术平方根为y?1nx?my?1,??( ) A．± 2 B.2 C．2 D．4

11．(湖北咸宁)某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1 020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需____________元．

12．(内蒙古呼和浩特)解方程组：

?4(x?y?1)?3(1?y)?2,? ?xy??2.??23

C级 拔尖题

13．如图X2－1－1，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)． (1)求b的值．

(2)不解关于x，y的方程组??y?x?1,请你直接写出它的解．

?y?mx?n,(3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．

图X2－1－1

14．(江西南昌)小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．

妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”； 爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；

小明说：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)． 选做题

15．(上海)解方程组：?

16．若关于x，y的二元一次方程组??x?y?5k,的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，

x?y?9k??x?y?2, 22x?2xy?3y?0.?则k的值为( )

3344A．－4 B.4 C.3 D．－3

第2课时 分式方程

考点一、分式方程 （8分） 1、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法 换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

A级 基础题

7

1．(广西北海)分式方程＝1的解是( ) A．－1 B．1 C．8 D．15

x－8

21

2．(浙江丽水)把分式方程＝x 化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )

x＋4

A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)

10060

3．(湖北随州)分式方程＝的解是( )

20＋v20－v

A．v＝－20 B．v＝5 C．v＝－5 D．v＝20

31

4．(四川成都)分式方程2x＝的解为( )

x－1

A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 5．(四川内江)甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用的时间相同．已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是( )

3040304030403040A.x＝ B.＝x C.x＝ D.＝x x－15x－15x＋15x＋15

x2－1

6．方程 ＝0的解是________．

x＋1

7．(江苏连云港)今年6月1日起，国家实施了《中央财政补贴条例》，支持高效节能电器的推广使用．某款定速空调在条列实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 __________元．

21

8．(山东德州)解方程：2＋＝1.

x－1x＋1

9．(江苏泰州)当x为何值时，分式

10．(北京)据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．

B级 中等题

11

11．(山东莱芜)对于非零实数a，b，规定a⊕b＝b－a.若2⊕(2x－1)＝1，则x的 值为( ) 5531A.6 B.4 C.2 D．－6

x＋m2

12．(四川巴中)若关于x的方程＋＝2有增根，则m的值是________．

x－22－x

13．(山东菏泽改编)我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12 000元购进的科普书与用8 000元购进的文学书的本数相等．

C级 拔尖题

15．(江苏无锡)某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

3－x1

的值比分式的值大3? 2－xx－2

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%； 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．

(1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么(注：投资

投资收益

收益率＝×100%)?

实际投资额

(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？

选做题

14．(山东日照)某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元．请问该学校九年级学生有多少人？

15．(湖北黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800 件投入市场，服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2 倍，A，B 两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A，B两车间每天分别能加工多少件．

第3课时 一元二次方程

考点一、一元二次方程 （6分） 1、一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式

ax2?bx?c?0(a?0)，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法 （10分） 1、直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x?a)2?b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x?a是b的平方根，当

b?0时，x?a??b，x??a?b，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a2?2ab?b2?(a?b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2?2bx?b2?(x?b)2。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式：

?b?b2?4ac2x?(b?4ac?0)

2a4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点三、一元二次方程根的判别式 （3分） 根的判别式

b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，

的判别式，通常用“?”来表示，即??b2?4ac

考点四、一元二次方程根与系数的关系 （3分）

bc如果方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2，那么x1?x2??，x1x2?。也就是

aa说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

A级 基础题

1．(江苏泰州)一元二次方程x2＝2x的根是( )

A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2

2．方程x2－4＝0的根是( )

A．x＝2 B．x＝－2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝4

3．(安徽)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )

A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2

4．(贵州安顺)已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( )

A．1 B．－1 C．0 D．无法确定

5．(湖北武汉)若x1，x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是( )

A．－2 B．2 C．3 D．1

6．(湖南常德)若一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是( )

1

A．m≤－1 B．m≤1 C．m≤4 D．m≤2

7．(江西南昌)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是( )

11

A．1 B．－1 C.4 D．－4

8．(上海)如果关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实根，那么c的取值范围是__________．

9．(山东滨州)某商品原售价为289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的分率为x, 可列方程为_______________________________________________。

10．解方程： (x－3)2＋4x(x－3)＝0.

B级 中等题

11．(内蒙古呼和浩特)已知：x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两个根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b的值分别是( )

33

A．a＝－3，b＝1 B．a＝3，b＝1 C．a＝－2，b＝－1 D．a＝－2，b＝1 12．(山东潍坊)关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是( )

A．k为任何实数，方程都没有实数根

B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

2

13．(山东德州)若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则x1＋x22＝__________.

14．(2011年江苏苏州)已知a，b是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则代数式(a－b)(a＋b－2)＋ab的值等于________．

15．(山西)山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，请回答：

(1)每千克核桃应降价多少元？

(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

16．(湖南湘潭)如图X2－1－2，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.

X2－1－2

C级 拔尖题

17．(湖北襄阳)如果关于x的一元二次方程kx2－2k＋1x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )

111111

A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．－2≤k＜2 D．－2≤k＜2且k≠0

选做题

18．(江苏南通)设α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝________.

19．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长是________．

第2讲 不等式与不等式组

考点一、不等式的概念 （3分） 1、不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 3、用数轴表示不等式的方法

考点二、不等式基本性质 （3~5分）

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 考试题型：

考点三、一元一次不等式 （6~8分） 1、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1 考点四、一元一次不等式组 （8分） 1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 2、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 A级 基础题

1．不等式3x－6≥0的解集为( )

A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2

2．(湖南长沙)一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图X2－2－1，则下列符合条件的不等式组为( )

图X2－2－1 图X 2－2

A.??x?2,?x?2,?x?2,?x?2, B.? C.? D.? x??1x??1x??1x??1????3．函数y＝kx＋b的图象如图X2－2－2，则当y＜0时，x的取值范围是( ) A．x＜－2 B．x＞－2 C．x＜－1 D．x＞－1

4．直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐标系中的图象如图X2－2－3，则关于x的不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集为( )

A．x＞1 B．x＜1 C．x＞－2 D．x＜－2

5．若关于x的不等式组?

6．(江苏扬州)在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．

?x?1?4,?7．不等式组?2的整数解是__________

??1?2x?4?3x?2?x?2,8．8．(江苏苏州)解不等式组：?

8?x?1?3(x?1).??x＞2,的解集是x＞2，则m的取值范围是________． x＞m?

9．某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人．如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得1盒．

(1)设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒(用含x的代数式表示)? (2)该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？

B级 中等题

11．(湖北荆门)已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )

12．(湖北恩施)某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高( )

A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%

13．(湖北黄石)若关于x的不等式组??2x?3x?3,有实数解，则实数a的取值范围是

3x?a?5?____________．

14．为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出，有甲、乙两种票，已知甲、乙两种票的单价比为4∶3，单价和为42元．

(1)甲乙两种票的单价分别是多少元？

(2)学校计划拿出不超过750元的资金，让七年级一班的36名学生首先观看，且规定购买甲种票必须多于15张，有哪几种购买方案？

C级 拔尖题

?xx?1??0??2315．试确定实数a的取值范围，使不等式组?恰有两个整数解．

5a?44?x??(x?1)?a?33?

16．(四川德阳)今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48 000 m2和B种板材24 000 m2的任务．

(1)如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60 m2或B种板材40 m2.请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？

(2)某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示： 板房 A种板材/m2 B种板材/m2 安置人数/人

108 甲型 156 乙型 问这400间板房最多能安置多少灾民？

选做题

17．若关于x，y的二元一次方程组?______．

61 51 12 10 ?3x?y?1?a,的解满足x＋y＜2，则实数a的取值范围为

x?3y?3?18．(2011年福建泉州)某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所

示：

类别 冰箱 彩电 2 320 1 900 进价(元/台) 2 420 1 980 售价(元/台) (1)按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴．农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？

(2)为满足农民需求，商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数

5

量不少于彩电数量的6.若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是多少？

第三章 函数

第1讲 函数与平面直角坐标系 考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a?b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

考点二、不同位置的点的坐标的特征 （3分） 1、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限?x?0,y?0 点P(x,y)在第二象限?x?0,y?0 点P(x,y)在第三象限?x?0,y?0 点P(x,y)在第四象限?x?0,y?0

2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上?y?0，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上?x?0，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上?x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x与y互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P与点p’关于y轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P与点p’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于x2?y2 A级 基础题

1．(山东荷泽)点(－2,1)在平面直角坐标系中所在的象限是( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．(四川成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(－3,5)关于y轴的对称点的坐标为( )

A．(－3，－5) B．(3,5) C．(3，－5) D．(5，－3)

3．已知y轴上的点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为( )

A．(3,0) B．(0,3) C．(0,3)或(0，－3) D．(3,0)或(－3,0)

4．(浙江绍兴)在如图X3－1－1所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的?ABCD，点A的坐标是(0,2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是( )

图X3－1－1 图X3－1－2

A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位 D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位

5．(山东枣庄)在平面直角坐标系中，点P(－2，x2＋1)所在的象限是( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．(湖北孝感)如图X3－1－2，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是(－2,3)，先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是( )

A．(－3,2) B．(2，－3) C．(1，－2) D．(3，－1)

7.(贵州毕节)如图X3－1－3，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是( ) A．(2,4) B．(－1，－2) C．(－2，－4) D．(－2，－1)

X3－1－3

8．(浙江衢州)小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图X3－1－4)．若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3，且v1

图X3－1－4

9．(山东潍坊)甲、乙两位同学用围棋子做游戏，如图X3－1－5，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是( )

[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6,3)]

5

A．黑(3,7)；白(5,3) B．黑(4,7)；白(6,2)

C．黑(2,7)；白(5,3) D．黑(3,7)；白(2,6) 10．(山东德州)点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标为__________．

B级 中等题

图X3－1－

11．(四川内江)已知点A(1,5)，B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为____________．

13．(四川达州)将边长分别为1,2,3,4，…，19,20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图X3－1－6中的方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为__________．

图X3－1－6 图X3－1－7

14．(江苏南京)在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换．如图X3－1－7，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是(－1，－1)，(－3，－1)，把△ABC经过连续九次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是__________．

15．(吉林)在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C.

(1)若点A的坐标为(1,2)，请你在给出的图X3－1－8，坐标系中画出△ABC.设AB与y轴S△ADO

的交点为D，则＝__________；

S△ABC

(2)若点A的坐标为(a，b)(ab≠0)，则△ABC的形状为____________．

图X3－1－8

C级 拔尖题

16．(贵州贵阳)【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)为端点的线段中点坐标为??x1?x2y1?y2,22???. ?【运用】(1)如图X3－1－9，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，求点M的坐标；

(2)在直角坐标系中，有A(－1,2)，B(3,1)，C(1,4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

图X3－1－9

选做题

17．(江苏苏州)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是( )

图X3－1－10

3＋33＋13＋33＋1A.18 B.18 C.6 D.6

第2讲 一次函数

函数及其相关概念 （3~8分）

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

考点一、正比例函数和一次函数 （3~10分）

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果y?kx?b（k，b是常数，k?0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数y?kx?b中的b为0时，y?kx（k为常数，k?0）。这时，y叫做x的正比例函数。 2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数y?kx?b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y?kx的图像是经过原点（0，0）的直线。

k的符号

b的符号

函数图像

y

0 x

图像特征

b>0

图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。

k>0

b<0

y

0 x

图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。

b>0

y

0 x

图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小

K<0

b<0

y

0 x

图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。

注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数y?kx有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质

一般地，一次函数y?kx?b有下列性质： （1）当k>0时，y随x的增大而增大 （2）当k<0时，y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y?kx（k?0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y?kx?b（k?0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

A级 基础题

1．(江西)已知一次函数y＝－x＋b的图象经过第一、二、四象限，则b的值可能是( )

A．－2 B．－1 C．0 D．2

2．(重庆)直线y＝x－1的图象经过的象限是( )

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

3．(广西桂林)直线y＝kx－1一定经过点( )

A．(1,0) B．(1，k) C．(0，k) D．(0，－1)

4．(湖南怀化)在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为

( )

A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x－2

5．(黑龙江牡丹江)在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y＝kx＋b交x轴于点A(－2,0)，交y轴于点B.若△AOB的面积为8，则k的值为( ) A．1 B．2 C.－2或4 D．4或－4

6．(湖南张家界)关于的一次函数y＝kx＋k2＋1的图象可能是( )

7．(山东济南)一次函数y＝(k－2)x＋b的图象如图X3－2－1所示，则k的取值范围是( ) A．k＞2 B．k＜2 C．k＞3 D．k＜3

图X3－2－2

图X3－2－1

8．(湖南怀化)一次函数y＝－2x＋3中，y的值随x值增大而__________(填“增大”或“减小”)．

9．(浙江义乌)一次函数y＝2x－1的图象经过点(a,3)，则a＝________.

10．(江苏淮安)国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元．种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增加收入．考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y(单位：元)与种粮面积x(单位：亩)之间的函数关系如图X3－2－2所示：

(1)今年老王种粮可获得补贴多少元？

(2)根据图象，求y与x之间的函数关系式．

B级 中等题

11．(山西)如图X3－2－3，一次函数y＝(m－1)x－3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A，B，则m的取值范围是( )A．m＞1 B．m＜1 C．m＜0 D．m＞0

图X3－2－4

图X3－2－3

图X3－2－5

12．(广西玉林)一次函数y＝mx＋|m－1|的图象过点(0,2)且y随x的增大而增大，则m＝( )

A．－1 B．3 C．1 D．－1或3

x

13．如图X3－2－4，直线y1＝2与y2＝－x＋3相交于点A，若y1＜y2，那么( ) A．x＞3 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1

14．(湖南衡阳)如图经3－2－5，一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A(1，－2)，则kb＝________

C级 拔尖题

15．(广西北海)如图X3－2－6，点A的坐标为(－1,0)，点B在直线y＝2x－4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是__________．图X3－2－6

16．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．

(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？

(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？ 17．(山东济宁)“五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160 000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表： 类别 彩电(元/台) 冰箱(元/台) 洗衣机(元/台) 2 000 1 600 1 000 进价 2 200 1 800 1 100 售价 (1)若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商家可以购买彩电和洗衣机各多少台？

(2)若在现有资金160 000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？请求出最大利润(利润＝售价－进价)．

选做题

18．某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：

类别 冰箱 彩电 2 320 1 900 进价(元/台) 2 420 1 980 售价(元/台) (1)按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴．农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？

(2)为满足农民需求，商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数

5

量不少于彩电数量的6.若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是多少？ 第3讲 反比例函数

1、反比例函数的概念:(考点、反比例函数 3~10分）

k?1（k是常数，k?0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y?kx的形x式。自变量x的取值范围是x?0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

一般地，函数y?2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x?0，函数y?0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质

反比例函数 k的符号

y?K > 0

k(k?0) xK < 0

图像

Y y O O x

x

性质

①x的取值范围是x?0， y的取值范围是y?0；

②当k>0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 ①x的取值范围是x?0，

y的取值范围是y?0；

②当k<0时，函数图像的两个分支分别

在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y?k中，只有一个待定系数，因此只需要一对对x应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义

k(k?0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMONx的面积S=PM?PN=y?x?xy。

如下图，过反比例函数y??y?k,?xy?k,S?k。 xA级 基础题

1．(甘肃兰州)如图X3－3－1，某反比例函数的图象过点(－2,1)，则此反比例函数表达式为( )

221

图X3－3－1 A．y＝x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝－

12x 1

2．(山东枣庄)对反比例函数y＝x，下列结论中不正确的是( ) A．图象经过点(－1，－1) B．图象在第一、三象限

C．当x>1时，0

k

3．(江苏南京)若反比例函数y＝x与一次函数y＝x＋2的图象没有交点，则k的值可能是( )

A．－2 B．－1 C．1 D．2

k

4．(山西)已知直线y＝ax(a≠0)与双曲线y＝x(k≠0)的一个交点坐标为(2,6)，则它们的另一个交点坐标是( )

A．(－2,6) B．(－6，－2) C．(－2，－6) D．(6,2)

m－1

5．(江苏淮安)已知反比例函数的图象y＝x如图X3－3－2所示，则实数m的取值范围是( ) A．m>1 B．m>0 C．m<1 D．m<0

图X3－3－2

k

6．(江苏无锡)若双曲线y＝x与直线y＝2x＋1一个交点的横坐标为－1，则k的值为( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2

7．(四川南充)矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为( )

m

8．(四川达州)一次函数y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝x(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图X3－3－3所示，若y1>y2，则x的取值范围是( )

图X3－3－3 A．－21 B．x<－2或01 D．－

2

k

9．(四川泸州)已知反比例函数y＝x的图象经过点(1，－2)，则k＝________.

10．(贵州黔西南州)已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(－2,3)，则m的值为__________．

6

11．(内蒙古呼和浩特)如图X3－3－4，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝x(x>0)的图象交于A(m,6)，B(n,3)两点．

(1)求一次函数的解析式；

6

(2)根据图象直接写出，当kx＋b－x>0时，x的取值范围．

图X3－3－4

B级 中等题

－3

12.(山东青岛)点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都在反比例函数y＝x的图象上，若x1

C．y3

k113．(贵州贵阳)如图X3－3－5，反比例函数y1＝x和正比例函数y2＝k2x的图象交于A(－1，

k1－3)，B(1,3)两点，若x＞k2x，则x的取值范围是( )

A．－1＜x＜0 B．－1＜x＜1

C．x＜－1或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞1

图X3－3－5

图X3－3－6 图X3－3－7

k214．(江苏连云港)如图X3－3－6，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝x交于A，B两点，其横坐标k2分别为1和5，则不等式k1x＜x＋b的解集是____________．

k

15．(湖北黄冈)如图X3－3－7，点A在双曲线y＝x上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k＝________.

16．(四川巴中)如图X3－3－8在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x＋1的图象与y轴

k2

交于点A，与x轴交于点B，与反比例y2＝x的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐标为2.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出y1＞y2时，x取值范围．

图X3－3－8

C级 拔尖题

17．(2012年广西玉林)如图X3－3－9，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x

k

轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y＝x的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E.

(1)填空：双曲线的另一支在第________象限，k的取值范围是________； (2)若点C的坐标为(2,2)，当点E在什么位置时？阴影部分面积S最小？

OD1

(3)若OC＝2，S△OAC＝2，求双曲线的解析式． 图X3－3－9

18．(安徽)甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；…，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．

(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？

(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为

优惠金额

p(p＝)，写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；

购买商品的总金额

(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x(200≤x＜400)元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．

选做题

m

19．(浙江嘉兴)如图X3－3－10，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝x的图象相交于点A(2,3)和点B，与x轴相交于点C(8,0)．

(1)求这两个函数的解析式； (2)当x取何值时，y1>y2.

图X3－3－10

20．(四川攀枝花)据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量(单位；毫克)与燃烧时间(单位；分钟)之间的关系如图X3－3－11所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：

(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？

图X3－3－11

第4讲 二次函数

考点一、二次函数的概念和图像 （3~8分）

1、二次函数的概念

一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x 的二次函数。

2y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x??b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

2考点二、二次函数的解析式 （10~16分）

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0) （2）顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0)

22（3）当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0有实根x1和x2存在22时，根据二次三项式的分解因式ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax?bx?c可转化为两

22根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。 考点三、二次函数的最值 （10分）

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x??b时，2ay最值4ac?b2?。

4ab是否在自变量取值范围x1?x?x2内，若在2a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?4ac?b2b此范围内，则当x=?时，y最值?；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围内

4a2a2的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，

y最小?ax12?bx1?c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax12?bx1?c，

2当x?x2时，y最小?ax2?bx2?c。

考点四、二次函数的性质 （6~14分）

1、二次函数的性质

函数

a>0

y

0 x

二次函数

y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)

a<0

y

0 x

2图像

（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

?b2a，顶点坐标是（

?b2a，（2）对称轴是x=

?b2a，顶点坐标是（

?b2a，

4ac?b24a性质

）；

4ac?b24a）；

b时，y随x的增大2ab而减小；在对称轴的右侧，即当x>?时，y随x的增

2a（3）在对称轴的左侧，即当x?时，y随x

2a（3）在对称轴的左侧，即当x

b时，y有最大值，2ay最小值4ac?b2?4a

y最大值4ac?b2?4a

22、二次函数y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义： a表示开口方向：a>0时,抛物线开口向上 a<0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为x=?b 2a（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的??b?4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当?>0时，图像与x轴有两个交点； 当?=0时，图像与x轴有一个交点； 当?<0时，图像与x轴没有交点。

2补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2） 则AB间的距离，即线段AB的长度为

?x1?x2?2??y1?y2?2 A 2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点， 对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间） 左加右减、上加下减

0 x

A级 基础题

1．(上海)抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是( )

A．(2，－3) B．(－2,3) C．(2,3) D．(－2，－3)

2．(山东泰安)将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )

A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3

3．(重庆)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图X3－4－1所示，则下列结论中，正确的是( )

A．a＞0 B B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c＞0

图X3－4－1

图X3-4－2

4．(山东泰安)二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图X3－4－2，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 5．(山东济南)如图X3－4－3，二次函数的图象经过(－2，－1)，(1,1)两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是( )

A．y的最大值小于0 B．当x＝0时，y的值大于1 C．当x＝－1时，y的值大于1 D．当x＝－3时，y的值小于0

图X3－4－3

图X3－4－4

6．(山东日照)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图X3－4－4所示，给出下列结论：①b2－4ac>0；②2a＋b<0；③4a－2b＋c＝0；④a∶b∶c＝－1∶2∶3.其中正确的是( )

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

12

7．(广西玉林)已知拋物线y＝－3x＋2，当1≤x≤5时，y的最大值是( )

257

A．2 B. C. D. 333

8．(山东滨州)抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是( )

A．3 B．2 C．1 D．0

9．(江苏淮安)抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标是__________．

10．(山东枣庄)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图X3－4－5所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是

____________． 图X3－4－5

13

11．(江苏盐城)已知二次函数y＝－2x2－x＋2. (1)在如图X3－4－6的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；

(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．

图X3－4－6

B级 中等题

12．(山东枣庄)抛物线y＝ax2＋bx－3经过点(2,4)，则代数式8a＋4b＋1的值为( )

A．3 B．9 C．15 D．－15

13．(湖北襄阳)已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )

A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3

14．(甘肃兰州)如图X3－4－7所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a－b<0；(4)a＋b＋c<0.你认为其中错误的有( ) ．．A．2个 B．3个 C．4个 D．1个

图X3－4－7

图X3－4－8

a

15．(安徽芜湖)二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图X3－4－8所示，则反比例函数y＝x与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中的大致图象是( )

2

A

D

B C

16．某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．

(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是__________元；这种篮球每月的销售量是__________个；(用含x的代数式表示)

(2)8 000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并求出此时篮球的售价应定为多少元．

C级 拔尖题

17．(山东济南)如图X3－4－10，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A(－3,0)，B(－1,0)，与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D.

(1)求抛物线的解析式； (2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；

(3)如图X3－4－11，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

图X3－4－10

图X3－4－11