【数学】江苏省南通市如东县2017-2018学年高一下学期月考试题(wo

江苏省南通市如东县2017-2018学年高一下学期月考

数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.在?ABC中，a?6,b?63,B?2π，则边c? ▲ ．3 311122.已知等差数列：,,,,6323的第n项为20，则n的值为 ▲ ． 120

3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn?2n?a，则实数a的值为 ▲ ．-1 4.在?ABC中，已知(a?b?c)(b?c?a)?3bc，则角A的大小为 ▲ ．

π 35．已知?ABC的三个内角A,B,C成等差数列，且AB?1,BC?4，则边BC上的中线AD 的长为 ▲ ．3 6. 已知等差数列{an}满足a1+a3?a5?a7?a9?10，a82?a22?36，则a11的值为 ▲ ．11 7. 在?ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若满足acosA?ccosC,则?ABC的形状为 ▲ 三角形. 等腰三角形或直角 8. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且

S619159则a3的值为 ▲ ． ??，a4?a2??，

S38489.某市近8年的生产总值第一年为2000亿元，从第二年起以10%的速度增长，那么这个城市近8年的生产总值一共是 ▲ 亿元.（参考数据：1.18?2.144,1.19?2.358）22880 10.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1?1，且满足an?Sn?1?3(n?N*,n?2)，则数列{an} ?1的通项an? ▲ ．?n?2n?1 n?211.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得?BCD?75o，?BDC?45o，CD?502米，并在点C测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB= ▲ 米.

o100 3

12.如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n（n?3）边形“扩展”而来的多边形的边数为an，则

an? ▲ ．an?2n?n(n?1)?n2?n

13.在?ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，设AD为BC上的高且AD?BC，则

bc?的最大值为 ▲ ． cb5

n?1114.已知数列?an?的前n和为Sn，且an?2??()3则实数P的取值范围是 ▲ ．

，若对任意n?N*，都有P(Sn?2n)?2?1，

3?P?3 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）

3在△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA?3cosA?0，c?a

7（1）求sinC的值；

（2）若a=7，求△ABC的面积.

解：（1）由sinA?3cosA?0，得tanA?3，又 0?A?π，得A?333333?又c?a，根据正弦定理得：sinC?sinA??.

7721473（2）由a?7，则c?a?3，

7π， 3π由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA得：72?b2?32?2b?3?cos，

3解得：b?8或b??5（舍去），

113?63. 所以△ABC的面积S?bcsinA??8?3?22216. （本小题满分14分）

在递增的等比数列?an?中，已知a1?a6?66,a2a5?128. （1）求等比数列?an?的前n和Sn；

?1?（2）若数列?bn?满足：bn?log2an，求数列??的前n和Tn.

?bnbn?2?a解：（1）设等比数列?n?的公比q

?a?64?a1?a1q5?66?a1?2?1?由题意得：?，解得：?， 或?1（舍去）4q?2q?aq?aq?128???11??22(1?2n)所以：Sn??2n?1?2.

1?2（2）由（1）an?2n，所以bn?log2an?n， 所以

11111311??(?)，所以：Tn??. ?bnbn?2n(n?2)2nn?242n?22n?417. （本小题满分14分）

b, c分别为三个内角A, B, C的对边，3bsinC?ccosB?c． 已知?ABC中，a,（1）求角B；

（2）若点M为BC的中点，且AM?AC，求sin?BAC的值． 解：（1）由正弦定理得3sinBsinC?cosBsinC?sinC， ?ABC中，sinC?0，所以3sinB?cosB?1，

π1ππ5ππππ所以sin(B?)?，又??B??，B??，所以B?.

62666663a2a1（2）在?ABM中，由余弦定理得：b??c2?2c?? ①

4221在?ABC中，由余弦定理得：b2?a2?c2?2c?a? ②

2273a， 由① ②得c?a，代入②得b?2221在?ABC中，由正弦定理得sinA?. 718. （本小题满分16分）

根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外）,在公海上的安全距离为20mile(即距离不得小于20 mile)，否则违反了国际海洋安全规定.如图，在某公海区域由两条相交成60O的直航线xx/,yy/，交点是O，现有两国的军舰甲，乙分别在Ox,Oy上的A,B处，起初OA?30mile,OB?10mile，后来军舰甲沿xx/的方向，乙军舰沿y/y的方向，同时以40mile/h的速度航行.

（1）起初两军舰的距离为多少？

（2）试判断这两艘军舰是否会违法国际海洋安全规定？并说明理由. 解：（1）连结AB，在?ABO中，

由余弦定理得AB=100+900-2?10?30?cos60o?107， 所以：起初两军舰的距离为107mile.

（2）设t小时后，甲、乙两军舰分别运动到C,D，连结CD， 当0?t?3时，CD?(30?40t)2?(10?40t)2?2(30?40t)(10?40t)cos60o 4?1048t2?24t?7，

当t?3时，同理可求得CD?1048t2?24t?7， 4所以经过t小时后，甲、乙两军舰距离CD?1048t2?24t?7（t?0）， 1因为CD?1048t2?24t?7?1048(t?)2?4，

4因为t?0，所以当t?1时，甲、乙两军舰距离最小为20mile， 4又20?20，所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定. 19. （本小题满分16分）

已知等差数列?an?的前n项和为Sn,公差d?0,且S3?S5?50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列?an?的通项公式； (2)设??bn??是首项为1,公比为3的等比数列, ?an?①求数列?bn?的前n项和Tn；

②若不等式Tn??Sn?0对一切n?N*恒成立，求实数?的最大值.

3?24?5?3a?d?5a?d?50?a1?311解： (1)依题意得 ?，解得, 22??d?2??(a?3d)2?a(a?12d)11?1?an?a1?(n?1)d?3?2(n?1)?2n?1，即an?2n?1.

(2) ①

bn?3n?1,bn?an?3n?1?(2n?1)?3n?1, anTn?3?5?3?7?32???(2n?1)?3n?1 ， 3Tn?3?3?5?32?7?33???(2n?1)?3n?1?(2n?1)?3n,

?2Tn?3?2?3?2?32???2?3n?1?(2n?1)3n

3(1?3n?1)?3?2??(2n?1)3n 1?3??2n?3n ∴Tn?n?3.

②由（1）易求得Sn?n(n?2)，

所以不等式Tn??Sn?0对一切n?N*恒成立，

n3n即转化为??对一切n?N*恒成立，

n?23n令f(n)?,则(f(n))min??，

n?23n?13n3n(2n?3)???0， 由f(n?1)?f(n)?n?3n?2(n?3)(n?2)所以f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?所以实数?的最大值为1. 20. （本小题满分16分） 设Sn是数列?an?的前n和．

（1）若?an?是以a为首项，q为公比的等比数列，且Sm,Sn,Sl成等差数列，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．

（2）若Sn?n2，且对于任意给定的正整数m，都存在正整数l，使得数列am,am?l,am?kl为等比数列，求正整数k的取值集合．

，则??(f(n))min?f(1)?1，

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