2010年高考数学第一轮复习第五章统计与概率教案

第五章 统计与概率 扶风县法门高中姚连省 简单随机抽样 一、知识网络 系统抽样 随机抽样 用样本的频率分分层抽样 布估计总体的分 布 频率分布表 频率分布直方图 总体估计 统计 折线图与茎叶图 用样本的数字特征估 数字特征 计总体的数字特征 散点图 变量的相关性 线性回归方程统 计随机事件及其概率 与平均数、众 数、中位数、事件与概 概方差、标准 率 差 随机事件的性质 基本事件 概率 古典概型 古典概型的定义及特征 古典概型的计算公式 随机数的含义 几何概型 几何概型的定义及特征 几何概型的计算公式 二、考纲导读 1、随机抽样：⑴、理解随机抽样的必要性和重要性。⑵、会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。

2、用样本估计总体：⑴、了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画出频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。⑵、理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差（不要求记忆公式）。⑶、能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。⑷、会用样本的频率分布估计总体的分布，会用样本的基本数字特征估计

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总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。⑸、会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。

3、变量的相关性：⑴、会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系。⑵、了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）。

4、事件与概率：⑴、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。⑵、了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式。

5、古典概型：⑴、理解古典概型及其概率计算公式。⑵、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

6、随机数与几何概型：⑴、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。⑵、了解几何概型的意义。 三、高考导航 1、“统计”这一章，是初中数学中的“统计初步”的深化和拓展。要求主要会用随机抽样，分层抽样的方法从总体中抽取样本，并用样本频率分布估计总体分布。本章高考题以基本题（中、低档题）为主，每年只出一道填空题，常以实际问题为背景，综合考查学生应用基础知识解决实际问题的能力。高考的热点是总体分布的估计和抽样方法．知识的交汇点是排列、组合、概率与统计的解答题。

2、概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫。学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律。纵观近几年高考，概率的内容在选择、填空解答题中都很有可能出现。 3、（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。

第一课时 随机抽样

一、复习目标：1、理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样从总体中抽取样本；2、 了解分层抽样和系统抽样方法。理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤．会用三种抽样方法从总体中抽取样本。

二、重难点：随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法理解和应用。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、谈新考纲要求及高考命题考查情况，促使积极参与。

1、新考纲要求：⑴、理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样从总体中抽取样本；⑵、了解分层抽样和系统抽样方法。．会用三种抽样方法从总体中抽取样本

2、高考命题考查情况简析及预测：统计是在初中数学统计初步的深化和扩展，本课的主要内容是随机抽样的方法在总体中抽取样本。预测2010年高考对本课的考查是：（1）、以基本题（中、低档题为主），多以填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习基础的知识、应用基础知识、解决实际问题的能力；（2）、热点是随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法。 （二）、知识梳理整合，方法定位（学生完成复资P50填空题，教师针对问题讲评）

1、简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。

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（1）抽签法

制签：先将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌； 抽签：抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n次； 成样：对应号签就得到一个容量为n的样本。

抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法。 （2）随机数表法

编号：对总体进行编号，保证位数一致；

数数：当随机地选定开始读数的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。在读数过程中，得到一串数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。 成样：对应号签就得到一个容量为n的样本。

结论：① 用简单随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为

1n；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；② 基

NN于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性；③ 简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；

它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样。

2、系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。 系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号。采用随机的方式将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段。为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k.当

N是整数时，nk?NN；当不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数N′能被n整除，这时nnN?k?；（3）确定起始的个体编号。在第1段用简单随机抽样确定起始的个体边号l；（4）抽

n取样本。按照先确定的规则（常将l加上间隔k）抽取样本：l,l?k,l?2k,???,l?(n?1)k。 3、分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。 结论：（1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的。用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于

n；（2）分层抽N样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，在实践的应用更为广泛。 类别 简单随机抽样 共同点 抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的 各自特点 从总体中逐个抽取 相互联系 适用范围 总体中的个数比较少 总体中的个数比较多 系统抽样 将总体均匀分成几个在起始部分抽部分，按照事先确定样时采用简单的规则在各部分抽取 随机抽样 3

分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单抽样或者相同抽样 总体由差异明显的几部分组成 （三）、基础巩固训练 1、某市为了分析全市9 800名初中毕业生的数学考试成绩，共抽取50本试卷，每本都是30份，则样本容量是????????????????????????（ ） （A）30 （B）50 （C）1 500 （D）9 800 【提示】抽取50本，每本30份，这说明什么？【答案】C。 【点评】样本容量是样本个体的数量。注意：（A）、（B）错在未理解样本容量的意义，（D）是总体中个体的数量。

2、某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个，120个，180个，150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②；则完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是 （ ）。解：B

A．分层抽样，系统抽样 B．分层抽样，简单随机抽样法C．系统抽样，分层抽样 D．简单随机抽样法，分层抽样法

3、某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取多少人（ ）。A．7，5，8 B．9，5，6 C．6，5，9 D．8，5，7

解：B ?样本容量与总体个数的比为20：100＝1：5 ?各年龄段抽取的人数依次为：

1149??9,25??5,20?9?5?6(人)

554、（2009陕西卷）某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）。

（A）9 （B）18 （C）27 (D) 36

答案B.解析:由比例可得该单位老年职工共有90人，用分层抽样的比例应抽取18人。

5、(2009年广东卷文)某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号?，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人。

图 2 【答案】37, 20

【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37。40岁以下年龄段的职工数为

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200?0.5?100,则应抽取的人数为

40?100?20人。 2001，则总体中的个数数位286、(2009湖南卷理)一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为

为 。 【答案】：40

【解析】由条件易知B层中抽取的样本数是2，设B层总体数是n，则又由B层中甲、乙都被

1C22抽到的概率是2=，可得n?8，所以总体中的个数是4?8?8?40。

Cn287、（2009天津卷理）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。 【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。

解析：C专业的学生有1200?380?420?400，由分层抽样原理，应抽取120?400?40名。 12008、（08年天津卷11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人。 答案：10 （四）、小结：理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤，会用三种抽样方法从总体中抽取样本是本课的关键。（1）对简单随机抽样公平性的理解，即每一次抽取时每个个体被抽到的可能性相等。（2）随机数表产生的随机性．计算器和许多计算机数学软件都能很方便地生成随机数表。（3）系统抽样中当总体个数Ｎ不能被样本容量整除时，应注意如何从总体中剔除一些个体。（4）用系统抽样法在第一段抽样时，采用的是简单随机抽样，因此第一段内每个个体被抽到的可能性相同，而总体中个体编号也是随机的，所以保证了整个系统抽样的公平性。（5）分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．每一层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样．分层抽样中，每个个体被抽到的可能性也是相同的。（6）分层抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，在各层抽样时，根据具体情况可采用不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着广泛的应用。 （五）、作业布置：课本P12中3、4、5

课外练习：复资P50中1、2、3、4 随堂训练中2、3、4、5、6

五、教学反思：

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第二课时 随机抽样 ——热点考点题型探析

一、复习目标：1、理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样从总体中抽取样本；2、 了解分层抽样和系统抽样方法。理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤．会用三种抽样方法从总体中抽取样本。

二、重难点：随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法理解和应用。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、热点考点题型探析 考点：随机抽样

题型1：抽样方法的选取

[例1 ]、某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )。

A.分层抽样法，系统抽样法 B.分层抽样法，简单随机抽样法 C.系统抽样法，分层抽样法 D.简单随机抽样法，分层抽样法 【解题思路】采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定。

[解析]当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样。

依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查中，总体中个体较少且无明显差异，应采用简单随机抽样法.故选B。 【反思归纳】深刻理解三种抽样方法的特点及适用范围。 题型2：实施抽样过程中的计算问题 [例2 ]、一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，?，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，?，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6，则在第7组中抽取的号码是___________。 【解题思路】研究“事先制定的规则”，按照规则抽取样本。

[解析] “事先制定的规则”是“如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同”

∵m=6，k=7，m+k=13，∴在第7小组中抽取的号码的个位数是3，又第7小组的十位数是6，∴在第7小组中抽取的号码是63。

【反思归纳】要研究清楚各种抽样方法在实施过程中的步骤、规则。

[例3 ]某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为____________。 [解析]分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取。 ∵120∶16∶24=15∶2∶3，又共抽出20人，

1523∴各层抽取人数分别为20×20=15人，20×20=2人，20×20=3人。 答案：15人、2人、3人。

【反思归纳】计算公式：某部分抽样人数

?样本容量?该部分人数总体个体数

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(二)、强化巩固导练

1、为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）。

A.1000名运动员是总体 B.每个运动员是个体 C.抽取的100名运动员是样本 D.样本容量是100 [解析]D

2、某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是 ( )。 (A)简单随机抽样法 (B)抽签法 (C)随机数表法 (D)分层抽样法 【解析】D[个体差异明显、按比例抽样]。

3、从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示： 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多______人。

【解析】60[由上表得

(23?21)?15000?2?30?60.500]。

4、从m个编号抽取n个号码入样,考虑用系统抽样的方法抽样,则抽样距为( )

mmm[]?1[]A.n B.n C.n D. n

m【解析】C.[先剔除若干个体，再分组，使n为整数]。

5、某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，?，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，?，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）。

A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样 [解析]答案D。

6、 用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，?，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是___________. [解析]6

设第1组抽取的号码为b，则第组抽取的号码为8(n?1)?b

?8(16?1)?b?126?b?6，故第1组抽取的号码为6

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（三）、小结反思：理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤，会用三种抽样方法从总体中抽取样本是本课的关键。（1）对简单随机抽样公平性的理解，即每一次抽取时每个个体被抽到的可能性相等。（2）随机数表产生的随机性．计算器和许多计算机数学软件都能很方便地生成随机数表。（3）系统抽样中当总体个数Ｎ不能被样本容量整除时，应注意如何从总体中剔除一些个体。（4）用系统抽样法在第一段抽样时，采用的是简单随机抽样，因此第一段内每个个体被抽到的可能性相同，而总体中个体编号也是随机的，所以保证了整个系统抽样的公平性。（5）分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．每一层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样．分层抽样中，每个个体被抽到的可能性也是相同的。（6）分层抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，在各层抽样时，根据具体情况可采用不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着广泛的应用。 （四）、作业布置：限时训练20中12、13、14

课外练习：限时训练20中2、3、4、5、6、7、9、10、11

补充题：1、当前，我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．已知

甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）。 A．40 B．30 C．20 D．36 【解析】B

2、某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）。 A．30 B．25 C．20 D．15 [解析] C 3、（2009天津卷文）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂。 （Ⅰ）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；

（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。【答案】(1) 2，3，2(2)

11 21【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。 五、教学反思：

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第三课时 统计图表与数据的数字特征

一、复习目标：了解分布的意义，会用频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的数字特征，体会用样本估计总体的思想；会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。

二、重难点：重点是如何用样本频率分布去估计总体分布。难点是对频率分布直方图的理解和应用。会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、谈新考纲要求及高考命题考查情况，促使积极参与。

1、新考纲要求：了解分布的意义，会用频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的数字特征，体会用样本估计总体的思想；会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。 2、高考命题考查情况简析及预测：（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 （二）、知识梳理整合，方法定位（学生完成复资P52填空题，教师针对问题讲评） 1、用样本的数字特征估计总体的数字特征

（1）众数、中位数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

1n（2）平均数与方差：如果这n个数据是x1,x2,.........,xn，那么x??xi叫做这n个数据平均

ni?11n数。如果这n个数据是x1,x2,.........,xn，那么S??(xi?x)2叫做这n个数据方差；同时

ni?12s?1n(xi?x)2叫做这n个数据的标准差。 ?ni?12、频率分布直方图、折线图与茎叶图

样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率。所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示。 折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。

总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。

注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×

频率=频率。 组距频率分布直方图画法：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；

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（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。

3、重点难点探析：⑴、列频率分布表步骤：①计算极差；②决定组距和组数(数据在50—100个，分组一般在5—12组)；④决定分点；④列频率分布表.茎叶图便于表示两位有效数字的数据。⑵、 频率分布直方图的特点：①纵轴表示

频率；②矩形的面积表示率，各矩形的面积和组距为1。做到读懂图，会画图．掌握作图的步骤.频率分布图的优点是它反映了数据的变化趋势．总体分布反映是总体在各个范围内取值的比例情况，而这种分布一般是不知道的，所以用样本的分布估计总体分布，因而样本数据的代表性就很重要。⑶、平均数：平均数描述数据的平均水平，定量地反映数据集中趋势处的水平，用样本平均数估计总体平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似值。⑷、从数字特征上描述一组数据的情况：平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差、标准差反映了样本数据与其平均数的离散程度一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据的单位相同。 （三）、基础巩固训练

1、 将一个容量为50的样本数据分组，各组的频数为：[12.5，15.5)，3，[15．5，18．5)．8． [18.5，21.5)，9，[21.5，24.5)，l 1，[24.5，27.5)，10，[27.5，30.5)，6，[30.5，33.5)，3．从中估计小于30的数据大约占___________。答案：0.18 2、一个容量为20的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：（10，20），2；（20，30），3；（30，40），4；（40，50），5；（50，60），4；（60，70），2. 则样本在区间(一∞，50)上的频率为____________。答案：0.7 3、（2009浙江卷文）某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频．数．为 。

【命题意图】此题考查了频率分布直方图，通过设问既考查了设图能力，也考查了运用图表解决实际问题的水平和能力。

【解析】对于在区间?4,5?的频率/组距的数值为0.3，而总数为100，因此频数为30

4、 在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干

. 组，?a,b?是其中一组，抽查出的个体数在该组内的频率为m，该组直方图的高为h，则a?b的值等于____________。答案：

m。 h5、 有10名工人某天牛产间一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为 a，中位数为b，众数为c，则a，b，c从小到大排列为___________。 答案：c?b?a。 6、（2009福建卷文）一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表

组别

(0,10] (20,20] (20,30) (30,40) (40,50] (50,60] (60,70]

12

13

24

15

16

13

7

频数

则样本数据落在(10,40)上的频率为（ ）。

A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64

10

解析 由题意可知频数在?10,40?的有：13+24+15=52，由频率=频数?总数可得0.52.故选C。 7、（08年上海卷9）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 。 答案：10.5和10.5。 8、（2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且 小于104克的产品的个数是( )。

频率/组距 A.90 B.75 C. 60 D.45

0.150 【解析】:产品净重小于100克的概率

0.125 为(0.050+0.100)×2=0.300,

0.100 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,

0.075 36n?120?0.300设样本容量为n,则,所以, 0.050 n净重大于或等于98克并且小于

104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于96 98 100 102 104 106 克第8题图 104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A.

【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据。

9、某次考试A，B，C，D，E这5名学生的平均分为62分，若学生A 除外，其余学生的平均得分为60分，那么学生A 的得分是__________。

10、把容量是64的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是5，7，11，13，第5组到第7组的频率是0.125，那么第8组的频数是__________，频率是__________。

11、某班通过一次射击测试，在甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加校射击比赛．这两位同学在相同条件下各射靶5次，所测得的成绩分别如下（单位：环）：

甲 9.6 9.5 9.3 9.4 9.7 乙 9.3 9.8 9.6 9.3 9.5

根据测试成绩，你认为应该由__________代表班级参赛。

【9、【分析】设A得分为x分，其余4名学生得分的和为60×4＝240分，则240＋x＝62×5，x＝70.【答案】70分．

10、【提示】64×0.125＝8，故64－5－7－11－13－8×3＝4，

4＝0.062 5．【答案】4，0.062 5． 64【点评】注意应用各组频数之和等于样本容量、频率之和为1这两个性质． 11、【提示】比较平均数与方差．【答案】甲．】 （四）、小结：1、注意以下几个概念的区别与联系：频数、频率、概率。2、频率分布条形图是用高度来表示概率的，而概率分布直方图是用面积来表示概率的。3、统计内容的实践性较强，其重点是如何用样本频率分布去估计总体分布，难点是对频率分布直方图的理解和应用。方差是反映稳定性程度的一个重要特征，在日常生活中常有体现，如两同学的总成绩都一样，但是一个人有偏科现象，而另一个人没有，一般认为没有偏科现象（即方差小）的同学成绩要稳定一些。⑴、列频率分布表步骤：①计算极差；②决定组距和组数(数据在50—100个，分组一般在5—12组)；④决定分点；④列频率分布表.茎叶图便于表示两位有效数字的数据。⑵、 频率

11

分布直方图的特点：①纵轴表示

频率；②矩形的面积表示率，各矩形的面积和为1。做到读懂组距图，会画图．掌握作图的步骤.频率分布图的优点是它反映了数据的变化趋势．总体分布反映是总体在各个范围内取值的比例情况，而这种分布一般是不知道的，所以用样本的分布估计总体分布，因而样本数据的代表性就很重要。⑶、平均数：平均数描述数据的平均水平，定量地反映数据集中趋势处的水平，用样本平均数估计总体平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似值。⑷、从数字特征上描述一组数据的情况：平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差、标准差反映了样本数据与其平均数的离散程度一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据的单位相同。 （五）、作业布置：课本P24中5、P30中1、P40中2、3

课外练习：复资P52中1、2、3、4 随堂训练中1、3、5、6

五、教学反思：

12

第四课时 统计图表与数据的数字特征

——热点考点题型探析

一、复习目标：了解分布的意义，会用频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的数字特征，体会用样本估计总体的思想；会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。

二、重难点：重点是如何用样本频率分布去估计总体分布。难点是对频率分布直方图的理解和应用。会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、热点考点题型探析 考点1：频率分布直方图

题型：绘制频率分布直方图、由图获得信息解决问题 [例1]、（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。

（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人； （II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2。 表1：

生产能力分组

人数

?100,110?

4

?110,120?

8

?120,130?

x

?130,140?

5

?140,150?

3

表2：

生产能力分组

人数

?110,120?

6

?120,130?

y

?130,140?

36

?140,150?

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（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）。

13

1，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相10111??互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为p? . 10101005（Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名。故 4?8?x?5?2，

解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为

得x?5，6?y?36?18?75，得y?15。 频率分布直方图如下

从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 .

???48553?105??115??125??135??145?123， （ii） xA?2525252525???6153618?115??125??135??145?133.8， xB?75757575?2575?123??133.8?131.1。A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均 x?100100数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133.8和131.1 。

频率【反思归纳】 频率分布直方图的特点：①纵轴表示组距；②矩形的面积表示率，各矩形的面

积和为1。做到读懂图，会画图．掌握作图的步骤.频率分布图的优点是它反映了数据的变化趋势．总体分布反映是总体在各个范围内取值的比例情况，而这种分布一般是不知道的，所以用样本的分布估计总体分布，因而样本数据的代表性就很重要。 考点2：茎叶图

题型：绘制茎叶图、由图获得信息解决问题

[例2]、（2009安徽卷）（本小题满分12分）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：

品种A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414， 415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454 品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397

397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430

14

（Ⅰ）完成所附的茎叶图；（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？（Ⅲ）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。

【思路】由统计知识可求出A、B两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图，用茎叶图处理数据，看其分布就比较明了。 【解析】（1）茎叶图如图所示

A B

9 7 35 8 7 36 3 5 37 1 4 8 38 3 5 6 9 2 39 1 2 4 4 5 7 7 5 0 40 0 1 1 3 6 7 5 4 2 41 0 2 5 6 7 3 3 1 42 2 4 0 0 43 0 5 5 3 44 4 1 45

（2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据。

（3）通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克，品种B的平均亩产量为397.8千克.由此可知,品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高.但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中D平均产量附近。

【反思归纳】⑴、茎叶图的两大突出优点。⑵、一般绘制茎叶图的方法。(见复资P52题型二) 考点3：用样本的基本数字特征估计总体的分布

题型1：用样本数据的平均数、中位数、众数估计总体的分布

[例3]、据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下表： 职务 人数 工资 董事长 1 5500 副董事长 董事 1 5000 2 3500 总经理 1 3000 经理 5 2500 管理员 3 2000 职员 20 1500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数。

（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000，董事长的工资从5500元提升到30000元那么新的平均数、中位数、众数又是多少？（精确到元）。

（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的水平，结合此题谈谈你的看法。 分析：（1）、（2）可根据给定的数据求各统计量。(3)因少数人工资与多数人工资偏差太大，代表员工工资水平的不是平均数而是中位数或众数。 解：（1）、平均数

5500?5000?3500?2?3000?2500?5?2000?3?1500?2033?2091(元） x?中位数为1500元，众数是1500元。

15

（2）、平均数

30000?20000?3500?2?3000?2500?5?2000?3?1500?20 33?3288(元）x?中位数为1500元，众数是1500元。 （3）、在此问题上，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为该公司少数人的工资额与大多数人的工资额差距太大，故平均数不能反映该公司员工的工资水平。 题型2：用样本数据的平均数、方差估计总体的分布

[例4]、甲乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为（单位：mm）

甲： 10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1 乙： 10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10

分别计算上面两个样本的平均数与方差．如果图纸上的设计尺寸为10mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适

1解：x甲?1（10.2+10.1+10.9+?+10.1）=10 x乙?(10.3?10.4?9.6???10)?10

101011222[（10.2-10)+(10.1-10)+?S乙?[(10.3?10)2?(10.4?10)2 10102+(10.1-10)]=0.228???(10?10)2]?0.062S甲?22 所以乙比甲稳定，用乙较合适。 ?x甲?x乙?10，S甲?S乙【反思归纳】从数字特征上描述一组数据的情况：平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方

差、标准差反映了样本数据与其平均数的离散程度一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据的单位相同。 （二）、强化巩固训练 1、观察下面的频率分布表

分组 频数 频率 [3.95，4.35） 2 [4.35，4.75） 4 [4.75，5.15） 14 [5.15，5.55） 25 [5.55，5.95） 45 [5.95，6.35） 46 [6.35，6.75） 39 [6.75，7.15） 20 [7.15，7.55） 4 [7.55，7.95） 1 合计 200 (1) 完成上面的频率分布表； (2) 根据上表，画出频率分布直方图； (3) 根据表和图估计数

据落在[4.75，7.15）范围内的概率约是多少？数据小于7.00的概率约是多少？

解：(1) (略) (2)频率直方图(略) (3)根据上面的表和图可以估计，数据落在[4.75，7.15)内的概率约为0.945，数据小于7.00的概率约为0.9375。

2、对甲乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下： 甲：60 80 70 90 70 乙：80 60 70 80 75

16

问：甲乙谁的各科平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？

2222解：x甲?74 x乙?73 S甲。所以甲的平均成绩较?104 S乙?56 因为x甲?x乙，S甲?S乙好,乙的各门发展较平衡。 （三）、小结反思：1、注意以下几个概念的区别与联系：频数、频率、概率。2、频率分布条形图是用高度来表示概率的，而概率分布直方图是用面积来表示概率的。3、统计内容的实践性较强，其重点是如何用样本频率分布去估计总体分布，难点是对频率分布直方图的理解和应用。方差是反映稳定性程度的一个重要特征，在日常生活中常有体现，如两同学的总成绩都一样，但是一个人有偏科现象，而另一个人没有，一般认为没有偏科现象（即方差小）的同学成绩要稳定一些。⑴、列频率分布表步骤：①计算极差；②决定组距和组数(数据在50—100个，分组一般在5—12组)；④决定分点；④列频率分布表.茎叶图便于表示两位有效数字的数据。⑵、 频率分布直方图的特点：①纵轴表示

频率；②矩形的面积表示率，各矩形的面积和为1。做到读组距懂图，会画图．掌握作图的步骤.频率分布图的优点是它反映了数据的变化趋势．总体分布反映是总体在各个范围内取值的比例情况，而这种分布一般是不知道的，所以用样本的分布估计总体分布，因而样本数据的代表性就很重要。⑶、平均数：平均数描述数据的平均水平，定量地反映数据集中趋势处的水平，用样本平均数估计总体平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似值。⑷、从数字特征上描述一组数据的情况：平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差、标准差反映了样本数据与其平均数的离散程度一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据的单位相同。 （四）、作业布置：限时训练21中12、14

课外练习：限时训练21中1、3、4、6、7、9、10、11、13

五、教学反思：

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第五课时 相关性与最小乘估计

一、复习目标：1、会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系。2、了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）。

二、重难点及学法指导：1、相关关系的理解：（1）相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系则是两个非随机变量之间的关系，虽然两者均是指两个变量之间的关系，但不能把相关关系等同于函数关系。（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。2．两个变量的线性相关：（1）对已知双曲线方程，则渐近线方程确定。具有相关关系的两个变量进行统计的方法叫回归分析。回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。（2）将n个数据点(xi,yi)(i?1,2,......n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。散点图形像地反映了各数据的密切程度。3、两个变量的相关关系分析：可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、谈新考纲要求及高考命题考查情况，促使积极参与。

1、新考纲要求：⑴、会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系。⑵、了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）。 2、高考命题考查情况简析及预测：（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。 （二）、知识梳理整合，方法定位（学生完成复资P54填空题，教师针对问题讲评） 1、线性回归：

(1) 相关关系或回归关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。注：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。 (2)回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。 (3)散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形。

⑷回归直线方程：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分

??a?bx。其中布在某一条直线的附近，就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型：yb??(xi?1nni?x)(yi?y)?i?xyii?1nni?nxy?nx2，a?y?bx。我们称这个方程为y对x的回归直线；相应

?(xi?1?x)2?xi?12i的直线叫回归直线，对两个变量所进行的上述统计叫做线性回归分析。

2、研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。对于相关关系我们可以从下三个方面加以认识：（1）相关关系与函数关系不同。函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。例如正方形

2面积S与边长x之间的关系S?x就是函数关系。即对于边长x的每一个确定的值，都有面积

S的惟一确定的值与之对应。相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等等都是相关关系。（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。例如有人发现，对

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于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系。然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大身高也会高些。（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化。例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性。而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计。 （三）、基础巩固训练

1、下列关系中，是相关关系的为（ ）。

①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系。 A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 答案A

2、为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发现变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s,变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法中正确的是 （ ）。

A.直线l1,l2有交点（s,t) B.直线l1,l2相交，但是交点未必是(s,t) C.直线l1,l2由于斜率相等，所以必定平行 D.直线l1,l2必定重合 答案 A

3、下列有关线性回归的说法，不正确的是 （ ）。

A.相关关系的两个变量不一定是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.任一组数据都有回归直线方程 答案 D

4、下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线

y?bx?a及回归系数b,可以估计和预测变量的取值和变化趋势。其中正确的命题是

（ ）。

A.①② B.①③ 答案D

?? C.②③ D.①②③

5、已知线性回归方程为答案 11.69

yy?0.50x?0.18,则x?25时，的估计值为 。

?^y6、某工厂某产品产量x（千件）与单位成本y（元）满足回归直线方程?77.36?1.82x，则

以下说法中正确的是（ ）。 答案： A

A．产量每增加1000件，单位成本下降1.82元 B．产量每减少1000件，单位成本上升1.82元 C．产量每增加1000件，单位成本上升1.82元 D．产量每减少1000件，单位成本下降1.82元

^y7、工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为?60?90x，下列判断正确

的是（ ）。 答案：C

A．劳动生产率为1000元时，工资为150元 B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元 C．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元 D．劳动生产率为1000元时，工资为90元。

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8、三点（3，10），（7，20），（11，24）线性的回归方程是 （ ）。 A.y??5.75?1.75x C.y??1.75x?5.75

??

B.y?1.75x?5.75 D.y??1.75x?5.75

??答案B

9、某人对一地区人均工资x(千元）与该地区人均消费y(千元）进行统计调查，y与x有相关关系，得到回归直线方程y?0.66x?1.562.若该地区的人均消费水平为7.675千元，估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ）。

A.66% B.72% C.67% D.83% 答案D 10、某化工厂为预测产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系,现取8对观测值,计算,得?x=52, ?y=228, ?x=478, ?xy=1 849,则其线性回归方程为（ ）。

2i?1

i

i?1

i

i?1i8

8

8?8i?1iiA.y?2.62x?11.47 C．y?2.62?11.47x

??

B.y?2.62x?11.47

?? D.y??2.62x?11.47

答案A （四）、小结反思：研究两个变量间的相关关系是学习本课的目的。对于相关关系我们可以从下三个方面加以认识：（1）相关关系与函数关系不同。函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。例如正方形面积S与边长x之间的关系S?x2就是函数关系。即对于边长x的每一个确定的值，都有面积S的惟一确定的值与之对应。相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等等都是相关关系。（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。例如有人发现，对于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系。然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大身高也会高些。（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化。例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性。而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计。 （五）、作业布置：课本P70A组中8 B组中3、4、5

课外练习：复资1、2、3 随堂训练中2、3、4、5、6

五、教学反思：

20

第六课时 相关性与最小乘估计

——热点考点题型探析

一、复习目标：1、会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系。2、了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）。

二、重难点及学法指导：1、相关关系的理解：（1）相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系则是两个非随机变量之间的关系，虽然两者均是指两个变量之间的关系，但不能把相关关系等同于函数关系。（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。2．两个变量的线性相关：（1）对已知双曲线方程，则渐近线方程确定。具有相关关系的两个变量进行统计的方法叫回归分析。回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。（2）将n个数据点(xi,yi)(i?1,2,......n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。散点图形像地反映了各数据的密切程度。3、两个变量的相关关系分析：可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、热点考点题型探析

考点1：两个变量间的相关关系

题型：两个变量间的相关关系的判断

【例1】有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系.其中，具有相关关系的是 。 答案 ①③④

【反思归纳】相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系则是两个非随机变量之间的关系，虽然两者均是指两个变量之间的关系，但不能把相关关系等同于函数关系。函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 考点2：散点图及其应用

题型：绘制散点图和由散点图判断两个变量间的线性相关关系

【例2】以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：

房屋面积x（m) 销售价格y(万元） 2115 24.8 110 21.6 80 18.4 135 29.2 105 22 （1）画出数据对应的散点图；

（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线。 解：（1）数据对应的散点图如图所示：

（2）x=109,y=23.2,?x=60 975, ?xy=12 952,

2i?1i55i?1iib=

?i?15i?15xiyi?5xy≈0.196 2 a=y-bx≈1.814 2

xi2?5x2?

21

∴所求回归直线方程为y?0.1962x?1.8142。

【反思归纳】在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，此图称为变量之间的散点图。利用散点图的分布特点，可判断两个变量之间是否具有相关关系。若点分布在某条直线周围，则两个变量是线性相关的；若点在某曲线（非直线）附近波动，则此相关是非线性相关的；若所有点在散点图中没有显示任何关系，则变量之间是不相关的。 考点3：线性回归方程 题型：求线性回归方程

【例3】某公司利润y与销售总额x(单位：千万元）之间有如下对应数据： x y 10 1 15 1.3 17 1.8 20 2 25 2.6 28 2.7 32 3.3 ?（1）画出散点图；（2）求线性回归线方程；（3）估计销售总额为24千万元时的利润。 解 （1）散点图如图所示：

（2)x=(10+15+17+20+25+28+32)=21, y=(1+1.3+1.8+2+2.6+2.7+3.3)=2.1,

?x=10+15+17+20+25+28+32=3 447,

2i?1i717172222222

?xy=10×1+15×1.3+17×1.8+20×2+25×2.6+28×2.7+32×3.3=346.3,

i?1ii7b=

?i?17i?17xiyi?7xy=

xi2?7x2346.3?7?21?2.13447?7?212≈0.104, a=y-bx=2.1-0.104×21=-0.084,

??∴y?0.104x?0.084

(3)把x=24(千万元）代入方程得，y?2.412（千万元）。∴估计销售总额为24千万元时，利润为2.412千万元。 【反思归纳】求回归直线方程，关键在于正确求出系数a,b,由于计算量大，所以计算时要仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生失误，特别注意，只有在散点图大体呈线性时，求出的回归直线方程才有意义。利用回归方程可以估计总体，回归直线方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制，依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据，有广泛的应用。 （二）、强化巩固训练

1、期中考试结束后，记录了5名同学的数学和物理成绩，如下表：

? 22

学生 学科 数学 物理 A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62 （1）数学成绩和物理成绩具有相关关系吗？ （2）请你画出两科成绩的散点图，结合散点图，认识（1）的结论的特点。 解 （1）数学成绩和物理成绩具有相关关系。

（2）以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下：

由散点图可以看出，物理成绩和数学成绩对应的点不分散，大致分布在一条直线附近。 2、某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元）之间有如下对应数据:

x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 （1）画出散点图； （2）求线性回归方程；（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？

解 （1）根据表中所列数据可得散点图如下：

（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算： i xi yi xiyi 因此，x=

1 2 30 60 522 4 40 160 523 5 60 300 54 6 50 300 5 8 70 560 25250=5,y= =50, ?x=145, ?y=13 500, ?xy=1 380。 55i?1ii?1ii?1ii于是可得：b=

?xy?5x?yi?1ii5?x?5x2i?1i5=

21380?5?5?50=6.5; a=y-bx=50-6.5×5=17.5

145?5?5?5 23

因此，所求回归直线方程为：y?6.5x?17.5。

（3）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，y=6.5×10+17.5=82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元。 （三）、小结反思：1、相关关系的理解：（1）相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系则是两个非随机变量之间的关系，虽然两者均是指两个变量之间的关系，但不能把相关关系等同于函数关系。（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。2、两个变量的线性相关：（1）对已知双曲线方程，则渐近线方程确定。具有相关关系的两个变量进行统计的方法叫回归分析。回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。（2）将n个数据点(xi,yi)(i?1,2,......n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。散点图形像地反映了各数据的密切程度。3、两个变量的相关关系分析：可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程。 （四）、作业布置：限时训练22中12、14

课外练习：限时训练22中2、3、4、7、8、10、11、13

五、教学反思：

24

??第七课时 用样本估计总体及线性相关关系

——热点考点题型及解法探析

一、复习目标 1、通过本课，强化有关概念及方法的理解、掌握和应用。2、探析热点考点题型及解法，训练学生灵活、综合运用能力及分析解决问题的能力。 二、重难点：概念及方法的理解运用。 三、教法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程

（一）热点考点题型及解法探析 题型1：数字特征

例1．为估计一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：

0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0

(1)通过对样本的计算，估计该县1999年消耗了多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）； (2)2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店，每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同）；

3

(3)在(2)的条件下，若生产一套学生桌椅需木材0.07m，求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅。计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g，

33

所用木材的密度为0.5×10kg/m；

(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来。 解析：(1)x?1(0.6?3.7?2.2?1.5?2.8?1.7?1.2?2.1?3.2?1.0)?2.0 10所以,该县1999年消耗一次性筷子为2×600×350=420000（盒）。

2

(2)设平均每年增长的百分率为X，则2（1+X）=2.42, 解得X1=0.1=10%，X2=－2.1（不合题意，舍去）。所以,平均每年增长的百分率为10%。 (3)可以生产学生桌椅套数为

0.005?2.42?100?600?350?7260（套）。

0.5?103?0.07(4)先抽取若干个县（或市、州）作样本，再分别从这些县（或市、州）中抽取若干家饭店作样本，统计一次性筷子的用量．

点评：本题是一道统计综合题，涉及的知识点很多，需要灵活运用各种知识分析解决问题．对于第(1)小题，可先求得样本平均数，再利用样本估计总体的思想来求得问题的解．对于第(2)小题，实际是一个增长率问题的应用题，可通过设未知数列方程的方法来解．对于第(3)小题，用到了物理公式m＝ρv， 体现了各学科知识之间的联系，让学生触类旁通，在解决实际问题时能综合运用多种知识灵活地解决问题．第(4)小题只要能够运用随机抽样方法，能体会到用样本估计总体的统计思想就可解决，在文字表述上要注意简洁、明了、正确。 题型2：数字特征的应用 例2．（2008年全国高考天津文科卷(15)）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积

2

产量如下（单位：t / hm） 品第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 种 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中产量比较稳定的小麦品种是 甲 。 1 1 解析：xˉˉ甲 = 5( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0，x乙 = 5( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7

25

2= 1 ( 9.82 + ? + 10.22) – 102 = 0.02，s 2= 1 ( 9.42 + ? + 9.82) – + 9.8) = 10.0；s甲 5甲 510 = 0.244 > 0.02 。点评：方差与平均数在反映样本的特征上一定要区分开。

题型3：频率分布直方图与条形图

例3．为检测,某种产品的质量,抽取了一个容量为30的样本,检测结果为一级品5件,而极品8件,三级品13件,次品14件。（1）列出样本频率分布表；（2）画出表示样本频率分布的条形图；（3）根据上述结果,估计辞呈商品为二极品或三极品的概率约是多少？ 解析：(1)样本的频率分布表为 产品 频数 频率 一级晶 二级晶 三级晶 次品 5 8 13 4 0．17 0．27 0．43 0．13 2

(2)样本频率分布的条形图为：

(3)此种产品为二极品或三极品的概率约为0.27+0.43=0.7。点评：条形图中纵坐标一般是频数或频率。

例4．某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的40名学生的身高，其结果如下（单位：cm）［140，145］ 1；［145，150］ 2；［150，155］ 5；［155，160］ 9；［160，165］ 13；［165，170］ 6；［170，175］ 3；［175，180］ 1； （1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据落在［150，170］范围内的概率。 解析：（1）根据题意可列出频率分布表： 分 值 频 数 频 率 ［140，145］ ［145，150］ ［150，155］ ［155，160］ ［160，165］ ［165，170］ ［170，175］ ［175，180］ 合 计

1 2 5 9 13 6 3 1 40 26

0.025 0.050 0.125 0.225 0.325 0.15 0.075 0.025 1.00 （2）频率分布直方图如下：

（3）数据落在［150，170］范围内的概率约为0.825。 题型4：茎叶图

例5．观看下面两名选手全垒打数据的茎叶图，对他们的表现进行比较。

1961年扬基队外垒手马利斯打破了鲁斯的一个赛季打出60个全垒打的记录。下面是扬基队的历年比赛中的鲁斯和马利斯每年击出的全垒打的比较图：

鲁斯 马利斯

0 8 1 3 4 6 5 2 2 3 6 8 5 4 3 3 9 9 7 6 6 1 1 4 9 4 4 5 0 6 1 解析：鲁斯的成绩相对集中，稳定在46左右；马利斯成绩相对发散，成绩稳定在26左右。 题型5：线性回归方程

例6．由施肥量x与水稻产量y试验数据的关系，画出散点图，并指明相关性。

解析：散点图 。通过图象可知是正相关。 例7.复资P55中3 （二）．思维总结（课堂小结）

1．当总体中个体取不同值很少时，我们党用样本的频率分布标记频率分布梯形图取估计总体体分布,总体分布排除了抽样造成的错误，精确反映了总体取值的概率分布规律。对于所取不同数值较多或可以在实数区间范围内取值的总体，需用频率分布直方图来表示相应的频率分布。当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小时，频率分布直方图无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线．由于总体分布通常不易知道，往往是用样本的频率分布估计总体分布。样本容量越大，估计就越精确。 2．相关关系

研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。对于相关关系我们可以从下三个方面加以认识： （1）相关关系与函数关系不同。函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。例如正方形面积

2S与边长x之间的关系S?x就是函数关系。即对于边长x的每一个确定的值，都有面积S的惟

一确定的值与之对应。相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间

27

的关系。例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等等都是相关关系。

（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。例如有人发现，对于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系。然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大身高也会高些。

（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化。例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性。而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计。

相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况。因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还可使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度。 （三）、作业布置：

1．为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽取了其中20颗做试验，得到这20颗手榴弹的杀伤半径，并列表如下：

(1)在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？

(2)求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数，并估计这批手榴弹的平均杀伤半径．解析： (1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体；个体是每一颗手榴弹的杀伤半径；样本是所抽取的20颗手榴弹的杀伤半径；样本容量是20。

(2)在20个数据中，10出现了6次，次数最多，所以众数是10（米）。

20个数据从小到大排列，第10个和第11个数据是最中间的两个数，分别为9（米）和10（米），所以中位数是样本平均数x?1（9+10）=9.5（米）。 21(7?1?8?5?9?4?10?6?11?3?12?1)?9.4（米） 20所以，估计这批手榴弹的平均杀伤半径约为9.4米。

点评：(1)根据总体、个体、样本、样本容量的概念答题．要注意：总体、个体和样本所说的考察对象是一种数量指标，不能说成考察的对象是手榴弹，而应说是手榴弹的杀伤半径。(2)读懂表格的意义，利用概念求众数、中位数，用样本平均数估计这批手榴弹的平均杀伤半径．另外在这里要会简便计算有多个重复数据的样本的平均数。 2．（2009江苏7）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （A）9.4, 0.484 （B）9.4, 0.016 （C）9.5, 0.04 （D）9.5, 0.016 答案：D； 解析：7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.5。

则平均数为：x?方差为：s?29.4?9.4?9.6?9.4?9.5?9.46?9.5，即x?9.5。

51[(9.4?9.5)2?(9.4?9.5)2?????(9.5?9.5)2]?0.016即 s2?0.016，选D。 53．（2008重庆理，6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5

28

岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是（ ） (A)20 (B)30 (C)40 （D）50 答案：C；

解析：根据运算的算式：体重在〔56.5,64.5〕学生的累积频率为2×0.03＋2×0.05＋2×0.05＋2×0.07=0.4，则体重在〔56.5,64.5〕学生的人数为0.4×100=40。点评：熟悉频率、频数、组距间的关系式。

（四）课外练习：1．某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表：

分数段 人数 分数段 人数 分数段 人数 ［0，80） 2 ［100，110） 8 ［130，140） 4 ［80，90） 5 12 ［140，150） 2 ［90，100） 6 6 ［110，120 ） ［120，130） 那么分数在［100，110）中的频率和分数不满110分的累积频率分别是______________、_______（精确到0.01）.

解析：由频率计算方法知：总人数=45.分数在［100，110）中的频率为不满110分的累积频率为

8 =0.178≈0.18.分数452?5?6?821=≈0.47. 答案：0.18 0.47

45452．把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.答案：16

点评：已知前七组的累积频率为0.79，而要研究后三组的问题，因此应先求出后三组的频率之和为1－0.79=0.21，进而求出后三组的共有频数，或者先求前七组共有频数后，再计算后三组的共有频数。由已知知前七组的累积频数为0.79×100=79，故后三组共有的频数为21，依题意a1?(1?q3)2

=21，a1（1+q+q）=21.∴a1=1，q=4。∴后三组频数最高的一组的频数为16。此题剖

1?q析只按第二种思路给出了解答，你能按第一种思路来解吗？ 五、教学反思：

29

随机事件及其概率与古典概型

数学教研组姚连省

一．课标要求：

1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；

2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；

3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 二．命题走向

本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性。

预测10年高考：

（1）对于理科生来讲，对随机事件的考查，结合选修中排列、组合的知识进行考查，多以选择题、填空题形式出现；

（2）对概率考查的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主。

第八课时 随机事件及其概率

一、教学目标：1、了解随机事件，了解两个互斥事件的概率加法公式。

2、会用基本公式计算相关的概率问题.

3、培养学生理解、识别、选择、运用、分析及解决问题的能力。 二、重难点：重点：了解随机事件，了解两个互斥事件的概率加法公式。

难点：会用基本公式计算相关的概率问题。

三、教学方法：讲练结合、探究归纳。 四、教学过程： （一）、谈最新考纲要求及新课标高考考查情况，促使学生积极参与。 学生阅读复资P56教师点评，增强目标和参与意识 （二）、知 识 梳 理（学生完成复资P56 填空题，教师准对问题讲评）

1.事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 m2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率n总是接近某

个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．

特别提醒：只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的个数才是正确

m的，才能用等可能事件的概率计算公式P(A)=n来进行计算 3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0?P(A)?1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．P(A?B)?P(A)?P(B)

30

一般地：如果事件斥 A1,A2,?,An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2,?,An彼此互

特别提醒：若事件A与B不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算P(A?B)的值时绝对不可以使用P(A?B)?P(A)?P(B)这个公式 6．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．P(A?A)?1?P(A)?1?P(A) 7．互斥事件的概率的求法:如果事件

A1,A2,?,An彼此互斥，那么

P(A1?A2???An)＝P(A1)?P(A2)???P(An) 特别提醒：

1. 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：（1）．互斥事件研究的是两个事件之间的关系;（2）．所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;（3）．两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.

*从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.

2． 对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作A，从集合的角度来看，事件A所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪A=U，A∩A=?.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.

3.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的. （三）辨析训练.

(1) “有序”与“无序”混同.

问题1: 从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。

错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有10×9×8×7个可能的结果。

13C?C37设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有种结果（先从3件次品中取1件，再13C3?C71P(A)??.10?9?8?748 从7件正品中取3件），

点拨：计算所有可能结果个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包

含结果个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。

4113AA?A?A10437正解：（1）都用排列方法：所有可能的结果共有个，事件A包含个结果（4件1A4中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有种方式，对于每一方式，从3

31

113A?A?A437件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有种取法）113A4?A3?A71?P(A)??42 A104C（2）都用组合方法：一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有10个可能

13C3?C7的结果。事件A含有种结果。

13C3?C71?P(A)??.42 C10（2）“互斥”与“对立”混同

问题2: 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）

A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球

C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球 错误答案（D） 点拨： 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同。要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。正解（A），（B）不互斥，当然也不对立，（C）互斥而不对立，（D）不但互斥而且对立所以正确答案应为（C）。 （四）、基础巩固训练

1.从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率（ ）

251

A．不全相等 B．均不相等 C．都相等且为1002 D．都相等且为 答案：C

40

422.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为5，乙及格概率为5，2丙及格概率为3，则三人中至少有一人及格的概率为（ ）

1241659 A．25 B．25 C． 75 D．75 答案：B

3．某机关的2008年新春联欢会原定10个节目已排成节目单，开演前又增加了两个反映军民联手抗击雪灾的节目，将这两个节目随机地排入原节目单，则这两个新节目恰好排在一起的概率

211A21?是_______________答案：11?126

4．从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这

32

3个球编号之和为奇数的概率是________. 2 任取3个球有

310C种结果，编号之和为奇数的结果有

2155CC

1

+

3C5=60（种），故所求概率为

601?3C102.

5．将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（I）共有多少种不同的结果？（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是多少？

解: （I） 共有6?6?36种结果 （II） 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有：（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），

121?363 （6,3），（6,6）共12种． （III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝

6．在一次语文测试中，有一道我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》

与它们的作者的连线题，已知连对一个得2分，连错一个不得分.（Ⅰ）求该同学得0分的概率；（Ⅱ）求该同学至多得4分的概率.

P?解：（I）设该同学得0分的概率；

99?4A424

119C4C2C42923P?4?4?4A4A4A4=24+1+1=24

（Ⅱ）解法一：该同学至多得4分的概率.

34

P?1?P?1? 解法二：该同学至多得4分的概率.

123?2424

（五）、小结：学生自我小结并回答教师设问：1、本课的重点是什么？2、随机事件的判断方法是什么？3、如何求随机事件的概率？4、对立事件与互斥事件的联系与区别是什么？如何求它们的概率？学生回答后，教师点评。共同归纳小结，进一步深化理解。 （六）作业布置：（1）、课本P34

A组中4、5 （2）、复资P57中3、6

课外练习：复资P58中2、4 限时训练23中1、5、8、10、12 五、教学反思

33

第九课时 随机事件及其概率 ——热 点 考 点 题 型 探 析

一、教学目标：1、通过本课，强化有关概念及方法的理解、掌握和应用。

2、探析热点考点题型及解法，训练学生灵活、综合运用能力及分析解决问题的

能力。

二、重难点：概念及方法的理解运用。 三、教法：讲练结合、探析归纳。 四、教学过程 （一）、热点考点题型及解法探析 考点一：随机事件的概率 题型1.椭机事件的判断。

[例1]（1）给出下列四个命题：

①“当x?R时，sinx?cosx?1”是必然事件；②“当x?R时，sinx?cosx?1”是不可能事件；③“当x?R时，sinx?cosx?2”是随机事件；④“当x?R时，sinx?cosx?2”是必然事件；其中正确的命题个数是：

0 B 1 C 2 D 3 （2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。”

(3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。” （4）某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，经过如下表： 投篮次数n 进球次数m 8 6 0.75 10 8 0.8 15 12 0.8 20 17 0.85 30 25 0.83 40 32 0.8 50 38 0.76 m进球频率n 问：随着这位运动员投篮次数的无穷增加，他的进球的概率会是多少？ [解题思路]：正确理解概率的相关概念．解析：（1）B；（2）否；（3）是；（4）0.8.

[例2]已知非空集合A、B满足A?B，给出以下四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ②若x?A，则x∈B是不可能事件③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 ④若x?B，则x?A是必然事件。其中正确的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 答案：C [解题思路]：本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用. 解析：①③④正确，②错误.

【反思归纳】正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的．此类题目多见于选择判断题，比较简单，但要求对相关的的概念要掌握牢固，否则易出现混淆。 题型2。求随机事件的概率

[例3]旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条。（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；（2）求恰有2条线路没有被选择的概率。

[解题思路]：分别找出总事件和所求事件的个数，即可求出随机事件的概率。

? 34

3A43p1?3?48 解析：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：

22C4?C32?A29p2??4316 （2）恰有两条线路没有被选择的概率为：

mm,n的值求正确。

【反思归纳】在确定应用公式P（A）=n后，关键是要把

考点二: 互斥事件、对立事件的概率

题型:互斥事件 、对立事件的概率计算考查

[例4]18个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是＿＿＿；

[解题思路]：正确理解互斥事件 、对立事件的概念。

解析一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A组和都分在B组。2个强队都分在A组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率

C624C8为；2个强队都分在B组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，

24C64C6C63P???4447。 CCC888其概率为；因此2个强队分在同一个组的概率为

解析二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中

13C2C64C8各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”，这一事件，其概率为，13C2C643P?1??1??477。 C8因此2个强队分在同一个组的概率为：

[例5]甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． [解题思路]：利用概率乘法公式和互斥事件，对立事件的基础知识 解析：（1）甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为C21×0.6×0.4=0.48. 乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为C21×0.6×0.4=0.48. 故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为 p=0.48×0.48=0.230 4.

（2）方法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为0.44=0.025 6. 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为 P=1-0.0256=0.974 4.

方法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为C41×0.6×0.43=0.153 6.

甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为C42×0.62×0.42=0.345 6. 甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为C43×0.63×0.4=0.345 6. 甲、乙两班4名参赛同学成绩都及格的概率为0.64=0.129 6.

35

故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为 p=0.153 6+0.345 6+0.345 6+0.129 6=0.974 4.

【反思归纳】运用互斥事件的概率加法公式解题时， 首先要分清事件是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏。 （二）、强化提高导练。 1．从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：

分组 频数 ，??100110，??110120，??120130，??130140，??140150，??90100 1 2 3 10 1 则这堆苹果中，质量小于120克的苹果数约占苹果总数的＿＿＿％． 答案：30

2、将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（Ⅰ）两数之和为8的概率；（Ⅱ）两数之和是3的倍数的概率；

解:（1） 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件；记“两数之和为8”

55为事件A，则事件A中含有5个基本事件，所以P（A）=36；答：两数之和为6的概率为36。1（2）记“两数之和是3的倍数”为事件B，则事件B中含有12个基本事件，所以P（B）=3； 1答：两数之和是3的倍数的概率为3。

133．一台机床有3的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是10,加工B2时,停机的概率是5, 则这台机床停机的概率为( )

A.

11771 B. C. D. 30301010

132211 答案A. 解析：机床停机的概率就是A，B两种零件都不能加工的概率，即×＋×=.

31035304．有朋友自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4． (1)求他乘火车或飞机来的概率；(2)求他不乘轮船来的概率；（3)如果他来的概率为0.4，请问他有可能是乘何种交通工具来的？ 解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A,B,C,D，则P(A)=0.3，P(B)=0.2，P(C)=0.1，P(D)=0.4，且事件A,B,C,D之间是互斥的．

(1)他乘火车或飞机来的概率为P1=P(A∪D)=P(A)＋P(D)=0.3＋0.4=0.7.

_

(2)他乘轮船来的概率是P(B)=0.2，所以他不乘轮船来的概率为P(B)=1－P(B)=1－0.2=0.8． （3)由于0.4=P(D)=P(A)＋P(C)，所以他可能是乘飞机来，也可能是乘火车或汽车来的．

36

5．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.

第一排 第二排 第三排 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 明文字符 密码字符 A 11 E 21 M 1 B 12 F 22 N 2 C 13 G 23 P 3 D 14 H 24 Q 4 （Ⅰ）求密码中有两个不同数字的概率。（Ⅱ）求密码中有三个不同数字的概率。 解：（Ⅰ）由密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，

231P?3?.48 （Ⅱ）.由密码中只有三个数字，注意表格的第一排总2列中的数字作为密码.

含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.

12(22A3?2C32?1)19p1??.4332

6． 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求

下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品。

解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62=36种不同取法。（1）取到的2只都是次品情况

41?369；为22=4种，因而所求概率为（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为

4?22?44P???36369 ；（3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为（三）、小结：学生回答教师设问：1、本课主要研究了那些题型？各题型都有那些解法？2、本课都运用了那些概念、性质、公式？你说说高考对本课考查重点热点是什么？教师点评，共同归纳小结，进一步深化理解。 （四）、作业: (1)、课本P34 A组中2、6 B组中2、3

课外练习：复资P59中1、2 限时训练23中3、4、6、7、13、14 五、教学反思：

37

P?1?18?99。

第十课时 古典概型的概念及概率计算

一、复习目标：1、理解古典概型的概念，掌握其概率计算公式；

2、培养和提高学生识别、选择、运用、计算、思辨、分析解决问题的能力。

二、重难点：1.重点：理解古典概型的概念， 2.难点：掌握古典概型的概率公式； 三、教法：讲练结合、探析归纳。 四、教学过程： （一）、谈最新考纲要求及新课标高考考查情况，促使学生积极参与。 学生阅读复资P57J教师点评，增强目标及参与意识。

（二）、知识梳理及方法定位：1. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本事件特别提醒：基本事件有如下两个特点： ○1任何两个基本事件都是互斥的； ○2任何事件都可以表示成基本事件的和。 2．所有基本事件的全体，叫做样本空间，用Ω表示，例如“抛一枚硬币”为一次实验，则Ω={正面，反面}。

3.等可能性事件(古典概型)：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能

1性都相等，那么每个基本事件的概率都是n，这种事件叫等可能性事件 特别提醒：古典概型的两个共同特点： ○1有限性，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间Ω中的元素个数是有限的； ○2等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。 4．古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率

P(A)?mn （三）问题辨析

(1) “非等可能”与“等可能”混同

问题1: 掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率。

错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，??，12}，有利于事件A的结果只有3，故

P(A)?111。

分析：公式

仅当所述的试验结果是等可能性时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这样情况（1，1）才出，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其它的情况可类推。 正确答案 掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），?，（1，6），（2，1），（2，2），?，（2，6），?，（6，1），（6，2），?，（6，6），结果总数为6×6=36。 在这些结果中，事件A的含有两种结果（1，2），（2，1）。

?P(A)?21?3618。

P(A)?有利于事件A的基本事件数基本事件的总数

（2）“可辩认”与“不可辨认”混同

问题2: 将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中去（每个盒子容纳球的个数不限），求事件A=“某指定的n个盒子中恰好各有一球的概率”。

错解：将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中，所有可能的结果数为Nn，而事件A含有

38

?P(A)?n!种结果。

n!.NN

分析：这种解法不全面，如果球是编号的（即可辨认的），则答案是对的；若球是不可辩认的，则答案完全错了。因为球是不可辩认的，故只考虑盒子中球的个数，不考虑放的是哪几个球。我们在此用符号“□”表示一个盒子，“○”表示球，先将盒子按号码排列起来 1 2 3 4 5?N

这样的N个盒子由N+1个“|”构成，然后把n个球任意放入N个 盒子中，比如：|○|○○|?|○○○|，在这样的放法中，符号“|”和“○”共占有：N+1+n个位置，在这N+1+n个位置中，开始和末了的位置上必须是“|”，其余的N+n-1个位置上“|”和“O”可以任意次序排列。则N-1个“1”和n个“○”在中间的N+n-1个位置上的可以区别的所有

nC可能结果数是N?n?1，将n个不可辨认的球放入指定的n个盒子，使每盒恰有一球的放法只有

P(A)?1nCN?n?1?1种，故事件A含1个结果，从而

n!(N?1)!.(N?n?1)! P(A)?n!;Nn（2）当球是不可辨认的，则

正解：分两种情况：（1）当球是可辩认的，则

n!(N?1)!P(A)?(N?n?1)!。

（四）、热点考点题型探析：考点：古典概型；题型：等可能事件的概率计算

[例1] 某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问： (1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？ (2)三次内打开的概率是多少？

(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？

[解题思路]：我们知道最多开5次门，且其中有且仅有一次可以打开门，故每一次可以打开门

1的概率是相同的都是5．

5A5解析： 5把钥匙，逐把试开有种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果

是等可能的。

A4454(1)第三次打开房门的结果有A4种，故第三次打开房门锁的概率P(A)=A5=

43A4354A(2)三次内打开房门的结果有3A4种，因此所求概率P(A)= 5=5

1532A?A32(3) 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有种，从而三次内打开的结果

39

532A5?A3A295325325A?AAA?AAA5325325有种，从而三次内打开的结果有种，所求概率P(A)= =10.

[例2] 有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次。求下列事件的概率。

（1）两次抽到的都是正品； （2）抽到的恰有一件为次品；

（3）第1次抽到正品，第2次抽到次品。

[解题思路]：请注意题（3）的两种解法，一种是将试验（抽取2件产品）看作是组合（无序的），一种是将试验看作为排列（有序的），值得注意的是两种解法的样本空间不同，事件C不属于样本空间Ω，（C?Ω）因此不能用card(Ω)进行计算。 解析：记Ω={从10件产品中任抽2件}则n=card(Ω)=C10，（1）记A={从10件产品中抽2件，

2C828P(A)??2245 C108都是正品}，则m=card(A)=C ∴

211C2（2）记B={从10件产品中抽2件，一件为正品，一件为次品}，则m=card(B)=C8 11C2C8P(B)?28?45 C10∴

（3）初看本题与题（2）是相同的，其实不然，题（2）包含于两种可能，“第一次正品、第二次次品”或“第一次次品，第二次正品”，而目前求的是其中之一“第一次正品，第二次次品”的概率。

（法一）由于事件B中包含“第一次正品，第2次次品”和“第一次次品第2次正品”两种等

111C2C84P?22?45。 C10可能的情况，∴所求事件的概率

（法二）记Ω’={从10件产品中，任取一件，（放入甲袋中），再从剩下9件产品中任取一件，（放入乙袋中）}

记C={第一次取出的是正品，第二次取出的是次品}={甲袋中为正品，乙袋中为次品} ∴card(Ω’)=A10，card(C)=C8C2

11C8C4P(C)?22?45 A10∴

211【反思归纳】样本空间的选取会影响到解答的过程。因此解等可能概型时，建议遵循以下步骤①判断该问题是等可能概型②确定样本空间（即试验的方法，试验的结果将影响样本空间）；③

P(A)?用排列组合问题的解法确定card(Ω) 与card(A)，则

card(A)card(?)

（五）、巩固强化题导练 1．（改编题）一个口袋里装有2只白球，3只黑球，从中摸出2个球；

40

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