高教线性代数第六章 线性空间课后习题答案

第六章 线性空间

1.设M?N,证明：M?N?M,M?N?N。

证 任取??M,由M?N,得??N,所以??M?N,即证M?N?M。又因

M?N?M,故M?N?M。再证第二式，任取??M或??N,但M?N,因此无论

哪 一种情形，都有??N,此即。但N?M?N,所以M?N?N。

2.证明M?(N?L)?(M?N)?(M?L)，M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。

证 ?x?M?(N?L),则x?M且x?N?L.在后一情形，于是x?M?N或x?M?L.所以x?(M?N)?(M?L)，由此得M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。反之，若

x?(M?N)?(M?L)，则x?M?N或x?M?L. 在前一情形，x?M,x?N,因此

x?N?L.故得x?M?(N?L),在后一情形，因而x?M,x?L,x?N?L，得

x?M?(N?L),故(M?N)?(M?L)?M?(N?L),

于是M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。

（N?L），则x?M，x?N?L。 若x?M?因而x?（M?N）?（M?L）在前一情形Xx?M?N， 且X?M?L，。

在后一情形，x?N,x?L,因而x?M?N,且X?M?L，即X?（M?N）（?M?L）所以 （M?N）（?M?L）?M?（N?L）故 M?（N?L）=（M?N）（?M?L）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1） 次数等于n（n?1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2） 设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量

乘法；

3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

（a1，b1）（?a?b?（a1?a2，b1?b2?a1a2）

（kk?1）2k。（a1，b1）=（ka1，kb1+a12

6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： k?a?0； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：

k?a?a；

8） 全体正实数r，加法与数量乘法定义为：

a?b?ab，k?a?ak；

解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如 （x?5）?（?x?2）?3。

2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵} 因为

f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x） 所以

f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）

由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。

3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有

?=A+B?=-A-B=-? ，A+B仍是反对称矩阵。 （A+B）（A+B）??K?A ，所以kA是反对称矩阵。 （KA）?（K?）A??（）KA故反对称矩阵的全体构成线性空间。

4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，a-b）。对于数乘：

2nn1(1?1)2a)?(a,b),2l(l?1)2l(l?1)k(k?1)k.(l.(a,b)?k.(la,lb?a)?(kla,k[lb?a2]?(la)2)222l(l?1)2k(k?1)kl(kl?1)2k(k?1)?(kla,k[lb?a]?(la)2)?(kla,a?(la)2)2222kl(kl?1)2?(kla,a?klb)?(kl).(a,b),2

(k?l)(k?l?1)2(k?l).(a,b)?[(k?l)a,a?(k?l)b]2k(k?1)2l(l?1)2k.(a,b)?l.(a,b)?(ka,kb?a)?(la,lb?a22k(k?1)2k(k?1)2?(ka?la,kb?a?a?kla2)22(k?1)(k?l?1)2?[(k?l)a,a?(k?l)b].21。（a，b）（。?1a，1。b?即(k?l)?(a,b)?k?(a,b)?l?(a,b)。

k?[(a1,b1)?(a2,b2)]?k?(a1?a2,b1?b2?a1a2)

＝[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2?k(k?1)(a1?a2)2)]， 2k?(a1,b1)?k?(a2,b2)

k(k?1)2k(k?1)2a1)?(ka2,kb2?a2) 22k(k?1)2k(k?1)22＝(ka1?ka2,kb?a?kb?a?ka1a2) 112222k(k?1)2k(k?1)2＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?a1??a2?k2a1a2?ka1a2)

22k(k?1)222＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?(a1?a2))，

2＝(ka1,kb1?即k?(a1,b1)?(a2,b2)?k?(a1,b1)?k?(a2,b2)，所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为1???0??.。

7）否，因为(k?l)????,k???l???????2?,所以(k?l)???(k??)?(l??)， 所给集合不满足线性空间的定义。

8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足

i)a?b?ab?ba?b?a;ii)(a?b)?c?(ab)?c?abc?a?(bc)?a?(b?c);iii)1是零元：a?1?a?1?a;1111iv)a的负元是:a??a??1,且?a?1;aaaav)1?a?a1?a;vi)(k?(l?a))?k?(al)?(al)k?alk?akl?(kl)?a;vii)(k?l)?a?ak?l?ak?al?(ka)?(la);viii)k?(a?b)?k?(ab)?(ab)k?akbk?(k?a)?(k?b).

所以，所给集合R构成线性空间。

?4 在线性空间中，证明：1）k0?0 2）k(???)?k??k?。

证 1）k0?k(??(??))?k??k(??)?k??k(?1)??(k?(?k))??0??0。

2）因为k(???)?k??k(?????)?k?,所以k(???)?k??k?。

5 证明：在实函数空间中，1，cos2t,cos2t式线性相关的。

22证 因为cos2t?2cost?1，所以1，cost,cos2t式线性相关的。

6 如果f1(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互

素，那么他们线性无关。

证 若有不全为零的数k1,k2,k3使k1f1(x)?k2f2(x)?k3f3(x)?0，

不妨设k1?0,则f1(x)??kk2f2(x)?3f3(x)，这说明f2(x),f3(x)的公因式也是f1(x)k1k1的因式，即f1(x),f2(x),f3(x)有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以

f1(x),f2(x),f3(x)线性无关。

7 在P4中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标。设

1）?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1),?3?(1,?1,1?1),?4?(1,?1,?1,1),??(1,2,1,1)；

2）?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1),?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1),??(0,0,0,1)。

?a?b?c?d?1?a?b?c?d?2?解 1）设有线性关系??a?1?b?2?c?3?d?4，则?，

?a?b?c?d?1??a?b?c?d?1可得?在基?1,?2,?3,?4下的坐标为a?5111,b?,c??,d??。 4444?a?2b?c?0?a?b?c?d?0?2）设有线性关系??a?1?b?2?c?3?d?4，则?，

3b?d?0???a?b?d?1可得?在基?1,?2,?3,?4下的坐标为a?1,b?0,c??1,d?0。

8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间Pn?n；2）Pn?n中全体对称（反对

称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全

?100????1?3i0?,??体实系数多项式组成的空间,其中A=?0?。

2?00?2???解 1)Pn?n的基是E}(i,j?1,2,...,n),且dim(P?ijn?n)?n2。

???...2) i)令Fij????...?????...1........................1??...??，即a?a?1,其余元素均为零,则

ijji?...????F11,...,F1n,F22,...,F2n,...,Fnn? 是对称矩阵所成线性空间Mn 的一组基,所以Mn是

n(n?1)维的。 2???...ii)令Gij????...?????...............1......?1......??...??，即a??a?1,(i?j),其余元素均为零,则

ijji?...????G12,...,G1n,G23,...,G2n,...,Gn?1,n?是反对称矩阵所成线性空间Sn的一组基, 所以它是

n(n?1)维的。 2iii) ?E11,...,E1n,E22,...,E2n,...,Enn?是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是n(n?1)2维的。

3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a,可经2线性表出，即.a?(log2a)?2,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。

?1,n?3q?1?3i3?n4)因为??,??1,所以????,n?3q?1，

2??2,n?3q?2??1?22A?于是????4?E,n?3q??1??3???n?,A??1??E， 而A??A,n?3q?1。

?A2,n?3q?2???1?????9.在P中,求由基?1,，?2,?3,?4,到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵,并求向量?在所指基下的坐

标。设

??1???2 1????3???4??1,0,0,0????1??2,1,?1,1?????0,1,0,0????2??0,3,1,0?，?， ???0,0,1,0????5,3,2,1???3???0,0,0,1?????4??6,6,1,3????x1,x2,x3,x4?在?1,?2,?3,?4下的坐标；

??1??1,2,?10????1??2,1,?0,1?????1,?1,1,1??????0,1,2,2???2?2 2??，?， ???3???1,2,1,1????3???2,1,1,2?????4???1,?1,0,1?????4??1,3,1,2????1,0,0,0?在?1,?2,?3,?4,下的坐标；

??1??1,1,1,1????1??1,1,0,1?????1,1,?1,?1??????2,1,3,1???2?2 3???，????1,1,0,0?，

????1,?1,1,?1?3??3????4??1,?1,?1,1?????4??0,1,?1,?1????1,0,0,?1?在?1,?2,?3,?4下的坐标；

?2??1解 1?（?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4,）??1??1?056??336?=（?1,?2,?3,?4）A

121??013???1这里A即为所求由基?1,?2,?3,?4,到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵，将上式两边右乘得?， ?1得 （?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4）?，

于是

?x1????x2??1 ??（?1,?2,?3,?4）??=（?1,?2,?3,?4）?x?3??x??4?所以在基下的坐标为

?x1????x2??x?， ?3??x??4??x1???x?1?2? ???， x?3??x??4??4??9?1?这里??1=27?1??37????2713490?19?1?1301311??9?23??27?。 2???3?26??27??2?令e1?(1,0,0,0),e2?(0,1,0,0),e3?(0,0,1,0),e4?(0,0,0,1)则 1?1?1??1??2?12?1??（?1,?2,?3,?4）=(e1,e2,e3,e4)?=(e1,e2,e3,e4)A，

?1110????0111????2??1（?1,?2,?3,?4）=(e1,e2,e3,e4)?0??1?0?21??113?=(e1,e2,e3,e4)B，

211??222??将(e1,e2,e3,e4)=（?1,?2,?3,?4）A?1代入上式,得

?1（?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4）AB，

这里

?3??13?5???1=?132???133????13?13131?133132?136133134137?13??5??13??14??13?,A?1B=?1?01????013??8??13?001??101?， ?111?010??且AB即为所求由基?1,?2,?3,?4,到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵，进而有

?1??1??????0??0????1,0,0,0?=(e1,e2,e3,e4)??=（?1,?2,?3,?4）A?1??

00?????0??0??????3???13??5???? =（?1,?2,?3,?4）?13?，

2????13?3??????13?所以?在?1,?2,?3,?4下的坐标为?523??3,,?,??。

1313??13133?e1,e2,e3,e4同2?，同理可得 ?12?1111?????11?11?1?1?A=?B=,?031?11?1?????11?1?1?11????10??11? ?0?1?01???1111???11?1?11????1=?,

41?11?1????1?1?11???则所求由?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵为

?3??4?14??1B=??1???41???4741?4341?41212001???4?3?4?。 1???4?1???4?再令??a?1+b?2+c?3+d?4，即

??1??1????2??2?1,0,0,0???a,b,c,d?????a,b,c,d????13????0?????4?11??131?， ?100?1?1?1??0由上式可解得?在下的坐标为?1,?2,?3,?4下的坐标为 ?a,b,c,d????2,???13??4,????a?1。 22?10．继第9题1）求一非零向量?，它在基?1,?2,?3,?4与?1,?2,?3,?4下有相同的坐标。

解 设?在两基下的坐标为x1,x2,x3,x4，则

???x1??x1?????x?2??x2? ?=（?1,?2,?3,?4）??=（?1,?2,?3,?4）??。

xx?3??3??x??x??4??4?又因为

?2??1 （?1,?2,?3,?4）=（?1,?2,?3,?4）??1??1?所以

056??336?=（?1,?2,?3,?4）A，

121??013???x1??x1??x1???????xx?2??2??x2? ??=A???（A - E）??=0。

xxx?3??3??3??x??x??x??4??4??4?又

1 A?E?05623601211112301?1111?0,且?111?0，

于是只要令x4??c,就有

?x1?2x2?3x3?6c? ??x1?x2?x3?c，

?x1?x3?2c?解此方程组得

x1,x2,x3,x4=?c,c,c,?c? (c为任意非零常数)， 取c为某个非零常数c0，则所求?为

??c0?1?c0?2?c0?3?c0?4。

11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。 证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。

12.设V1,V2都是线性空间V的子空间，且V1?V2，证明：如果V1的维数与V2的维数相

??等，那么V1?V2。

证 设dim(V1)=r，则由基的扩充定理，可找到V1的一组基a1,a2,.....ar,，因V1?V2，且它们的唯数相等，故a1,a2,.....ar,，也是V2的一组基，所以V1=V2。

13．A?Pn?n。

1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）； 2）当A=E时，求C（A）；

?1?2?3）当A=?..........................???????时，求C（A）的维数和一组基。 ?n??证 1）设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D属于C(A)，可得

A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A， 故 B+D?C(A)。若k是一数，B?C(A)，可得 A（kB）=k(AB)=k(BA)=(kB)A， 所以kB?C(A)。故C(A)构成P2）当A=E时，C（A）=Pn?nn?n子空间。

。

3）设与A可交换的矩阵为B=（bij），则B只能是对角矩阵，故维数为n,E11,E22,...Enn即为它的一组基。

14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。 解 若记

?100??000????? A=?010???000??E?S，

?001??311??????a?并设B=?a1?a?2bb1b2c??c1?与A可交换，即AB=BA，则SB=BS。且由 c2??bb1b2c??0??c1???0?c2???3a?a1?a2003b?b1?b2??0?， 3c?c1?c2??0?000??a???SB=?000??a1?311??a???2

2)在1）中，取?1,?2,...,?n是全体n次单位根，求由基1，x,...,x的过渡矩阵。

证 1）设 k1f1?k2f2?...?knfn?0，将x??1代入上式 ，得 f2(?1)?f3(?1)?...?fn(?1)?0,f1(?1)?0， 于是k1＝0。同理，将x??2,...,x??n分别代入，可得

n?1到基f1,f2,...,fnk2?k3?...?kn?0，

所以f1,f2,...,fn线性无关。而P[x]n是n维的，故f1,f2,...,fn是P[x]n的一组基。

2）取?1,?2,...,?n为全体单位根1,?.?,...,?2n?1,则

xn?1 f1??1?x?x2?...?xn?1，

x?1xn?1 f2???n?1??n?2x??n?3x2?...??xn?2?xn?1，

x?? ...........................................................

xn?1fn?????2x?...??n?1xn?2?xn?1， n?1x???1?n?1??1?n?2 故所求过渡矩阵为?......??1??1?1?n?2...?n?4.........?n?21?...?。 ...?n?1??...1????2??2．设?1,?2,...,?n是n维线性空间V的一组基，A是一个n×s矩阵，且

(?1,?2,...,?s)?(?1,?2,...,?n)A，

证明：L(?1,?2,...,?s)的维数等于A的秩。

证 只需证?1,?2,...,?s的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩。设

?a11...a1r?..?.A??...?..?.?a?n1...anr...a1s??..?..?，

?..?...ans??且rank(A)?r,r?min(n,s)。不失一般性，可设A的前r列是极大线性无关组，由条

??1?a11?1?a21?2?...?an1?n?.............................................??件得??r?a1r?1?a2r?2?...?anr?n，

?...............................................????s?a1s?1?a2s?2?...?ans?n可证?1,?2,...,?r构成?1,?2,...,?r，?r?1,...,?s的一个极大线性方程组。事实上，设

k1?1?k2?2?...?kr?r?0，

于是得(k1a11?...?kra1r)?1?(k1a21?...?kra2r)?2?...?(k1an1?...?kra1r)?n?0，

?a11k1?a12k2?...?a1rkr?0?因为?1,?2,...,?n线性无关，所以?..........................................，

?ak?ak?...?ak?0n22nrr?n11该方程组的系数矩阵秩为r,故方程组只有零解k1?k2?...?kr?0，于是?1,?2,...,?r 线性无关。

其次可证：任意添一个向量?j后，向量组?1,?2,...,?r，?j一定线性相关。事实上，

?a11k1?a12k2?...?a1rkr?a1jkj?0?设k1?1?k2?2?...?kr?r?kj?j?0，于是?， ..........................................?ak?ak?...?ak?ak?0n22nrrnjj?n11其系数矩阵的秩为r

3. 设f(x1,x2,...,xn)是一秩为n的二次型，证明：有R的一个

n1(n?s)维子空间V1 2（其中为符号差），使对任一(x1,x2,...,xn)?V1，有f(x1,x2,...,xn)＝0。

证 设f(x1,x2,...,xn)的正惯性指数为p，负惯性指数为q，则p+q=n。于是存在可逆矩阵，

C，Y＝CX，使f(x1,x2,...,xn)＝y1?...?yp?yp?1?...?yp?q， 由

2222?p,当p?q时11。 (n?s)＝(n?p?q)＝?22?q,当p?q时下面仅对 p

?c11x1?...?c1nxn?y1?.................................???cp1x1?...?cpnxn?yp将Y=CX展开，有方程组?，

cx?...?cx?yp?1,nnp?1?p?1,11?..................................???cp?q,1x1?...?cp?q,nxn?yp?q??1?(1,0,...,0,1,0,...,0)'?2'???(0,1,...,0,0,1,...,0)任取?，

?.................................p'????(0,...,0,1,0,...,1,0,...,0)则?1,?2,...,?p线性无关，将?1,?2,...,?p分别代入方程组，可解得?1,?2,...,?p，使得

C?1??1,C?2??2,...,C?p??p，且?1,?2,...,?p线性无关。

下面证明p维子空间L（?1,?2,...,?p）即为所要求得V1。事实上，对任意

X0?L（?1,?2,...,?p），设X0?k1?1?k2?2?...?kp?p，代入Y?CX得

Y0?CX0?k1C?1?k2C?2?...?kpC?p?k1?1?k2?2?...?kp?p?(k1,k2,...kp,k1,k2,...,kp,0,...,0)'故 f?X0AX0?k1?...?kp?k1?...?kp?0 即证V1=L（?1,?2,...,?p）。 4. 设V1，V2是线性空间V的两个非平凡的子空间，证明：在V中存在?，使

'2222V1,??V2同时成立。 ??V1，如果??V2，则命题已证。设??V2 证 因为V1，V2非平凡的子空间，故存在??V2，若??V1，则命题也得证。下设??V1，于是有??V1,??V2及 则一定存在??V2， 因而必有????V1,????V2。事实上，若????V1，又 ??V1，????V1，则由V1是子空间，必有??V1，这与假设矛盾，即证????V1，同理可证 ????V2，证毕。

5． 设V1,V2,...,Vs是线性空间V的s个非平凡的子空间，证明V中至少有一向量?不属

于V1,V2,...,Vs中的任何一个。

证 采用数学归纳法。当n=2时，由上题已证命题成立。

现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立，即在V中至少存在一个向量不属于

Vs，则命题已证。 V,s?1中任意一个，如果?? V1,V2,...Vs，且对P中s不同的数k1,k2,...,ks,对应的s个 若??Vs，对??P,向量k????向量k???(i?1.2....s)中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间

Vi(i?1.2....s?1).换句话说，上述S个向量k???(i?1.2....s)中至少有一个向量不

属于任意一个非平凡子空间Vi(i?1.2....s?1)，记为?0?ki0???，易见?0也不属于

Vs。即证命题对s个非平凡的子空间也成立。即证。

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