线性代数3-2(第四版)赵树嫄

§3 2 向量与向量组的线性组合(一)向量及其线性运算(二)向量组的线性组合一个 m n 矩阵的每一行都是由 n 个数组成的有序数 组 其每一列都是由m个数组成的有序数组 在研究其他 问题时也常遇到有序数组 这种有序数组称为向量

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(一)向量及其线性运算定义3 1(向量) n个实数组成的有序数组称为n维向量 一般用 等希 腊字母表示 有时也用a b c u v x y等拉丁字母表示 例如 b1 b (a1 a2 an)和 2 b n 都是向量 称为n维行向量 其中ai(1 i n)称为向量 的第i个 分量 称为n维列向量 其中bi(1 i n)称为向量 的第i个分量

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(一)向量及其线性运算定义3 1(向量) n个实数组成的有序数组称为n维向量 一般用 等希 腊字母表示 有时也用a b c u v x y等拉丁字母表示 例如 b1 b (a1 a2 an)和 2 b n 要把列(行)向量写成行(列)的形式可用转置记号 例如 b1 b 2 (b1 b2 bn)T b n 《线性代数》 (第四版)教学课件首页 上一页 下一页 结束

(一)向量及其线性运算定义3 1(向量) n个实数组成的有序数组称为n维向量 一般用 等希 腊字母表示 有时也用a b c u v x y等拉丁字母表示 a12 a1n a22 a2n 中的每一行(ai1 ai2 ain)(i 1 2 m) am2 amn a1 j a2 j 都是 n 维行向量 每一列 ( j 1 2 n)都是 m 维列向量 amj a11 a21 矩阵 a m1

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(一)向量及其线性运算定义3 1(向量) n个实数组成的有序数组称为n维向量 一般用 等希 腊字母表示 有时也用a b c u v x y等拉丁字母表示 向量相等 两个n维向量当且仅当它们各对应分量都相等时 才是相 等的 即对n维向量 (a1 a2 an) (b1 b2 bn) 当且仅当 ai bi (i 1 2 n)时 零向量和负向量 所有分量均为零的向量称为零向量 记为0 (0 0 0) n维向量 (a1 a2 an)的各分量的相反数组成的n维向 量 称为 的负向量 记为 即 ( a1 a2 an) 《线性代数》

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定义3 2(向量的和) 两个n维向量 (a1 a2 an)与 (b1 b2 bn)的各对应 分量之和所组成的向量 称为向量 与 的和 记为 即 (a1 b1 a2 b2 an bn) 由向量加法及负向量的定义 可定义向量减法 ( ) (a1 a2 an) ( b1 b2 bn) (a1 b1 a2 b2 an bn) 定义3 3(向量的数乘) n维向量 (a1 a2 an)的各个分量都乘以k(k为一实数) 所组成的向量 称为数k与向量 的乘积 记为k 即 k ( ka1 ka2 kan) 向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算 《线性代数》 (第四版)教学课件首页 上一页 下一页 结束

定义3 4(n维向量空间) 所有n维实向量的集合记为Rn 我们称Rn为实n维向量空 间 它是指在Rn中定义了加法及数乘这两种运算 并且这两种 运算满足以下8条规律 (1) (2) ( ) ( ) (3) 0 (4) ( ) 0 (5) (k l) k l (6) k( ) k k (7) (kl) k(l ) (8) 1 其中 都是n维向量 k l为实数 《线性代数》 (第四版)教学课件首页 上一页 下一页 结束

例 1 设 1 (2 4 1 1) 2 ( 3 1 2 5 ) 如果向量 满 2 足 3 1 2( 2) 0 求

解 由题设条件 有 3 1 2 2 2 0所以

3 1 2

2 3 (2, 4, 1, 1) ( 3, 1, 2, 5) 2 2 (6, 5, 1 , 1) 2

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(二)向量组的线性组合线性方程组的向量形式线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm 的向量形式为 x1 1 x2 2 xn n 其中 a1 j b1 a2 j b2 j ( j 1 2 n) b a m mj 首页 上一页 下一页 结束

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(二)向量组的线性组合线性方程组的向量形式 x1 1 x2 2 xn n

线性方程组是否有解 就相当于是否存在一组数 x1 k1 x2 k2 xn kn 使线性关系式 k1 1 k2 2 kn n 成立 即常数列向量 是否可以表示成上述系数列向量组 1 2 n的线性关系式

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定义3 5(向量的线性组

合与线性表示) 对于给定向量 1 2 s 如果存在一组数k1 k2 ks 使关系式 k1 1 k2 2 ks s 成立 则称向量 是向量组 1 2 s的线性组合 或称向量 可以由向量组 1 2 s线性表示

例如 (2 1 1) 1 (1 0 0) 2 (0 1 0) 3 (0 0 1) 显然有 2 1 2 3 即 是 1 2 3的线性组合 或说 可由 1 2 3线性表示

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定义3 5(向量的线性组合与线性表示) 对于给定向量 1 2 s 如果存在一组数k1 k2 ks 使关系式 k1 1 k2 2 ks s 成立 则称向量 是向量组 1 2 s的线性组合 或称向量 可以由向量组 1 2 s线性表示

定理3 3(判断法) 设向量 (b1 b2 bm)T j (a1j a2j amj)T( j 1 2 n) 则向量 可由向量组 1 2 n线性表示的充分必要条件是 以 1 2 n为列向量的矩阵与以 1 2 n 为列向量 的矩阵有相同的秩

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定义3 5(向量的线性组合与线性表示) 对于给定向量 1 2 s 如果存在一组数k1 k2 ks 使关系式 k1 1 k2 2 ks s 成立 则称向量 是向量组 1 2 s的线性组合 或称向量 可以由向量组 1 2 s线性表示

定理3 3(判断法) 设向量 (b1 b2 bn) j (a1j a2j anj) ( j 1 2 n) 则向量 可由向量组 1 2 n线性表示的充分必要条件是 以 1T 2T nT为列向量的矩阵与以 1T 2T nT T为列 向量的矩阵有相同的秩

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例2 任何一个n维向量 (a1 a2 an)都是n维向量组 1 (1 0 0) 2 (0 1 0) n (0 0 1)的线性组合 因为 a1 1 a2 2 an n 向量组 1 2 n称为Rn的初始单位向量组 例3 零向量是任何一组向量的线性组合 因为 0 0 1 0 2 0 s 例4 向量组 1 2 s中的任一向量 j(1 j s)都是此向

量组的线性组合 因为 j 0 1 1 j 0 s《线性代数》 (第四版)教学课件首页 上一页 下一页 结束

例5 判断向量 1 (4 3 1 11)与 2 (4 3 0 11)是否各为 向量组 1 (1 2 1 5) 2 (2 1 1 1)的线性组合 若是 写出 表示式 T , 1T ) 施以初等行变换 解 设 k1 1 k2 2 1 对矩阵( 1T , 2

1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 0 2 2 1 3 0 5 5 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 3 3 0 0 0 0 0 0 5 1 11 0 9 9 0 0 0 0 0 0 1 2 4 1 2 2 1 3 2 1 秩 2 因此 1 可由 1 2 线性表 所以 秩 1 1 1 1 1 5 1 11 5 1 示 且由上面的初等变换可知 k1 2 k2 1 时 1 2 1 2 《线性代数》 (第四版)教学课件

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例5 判断向量 1 (4 3 1 11)与 2 (4 3 0 11)是否各为 向量组 1 (1 2 1 5) 2 (2 1 1 1)的线性组合 若是 写出 表示式 T T T , , ( 解 设 k1 1 k2 2 2 对矩阵 1 1 2 1 2 ) 施以初等行变换

1 2 4 1 2 4 1 2 4 2 1 3 0 5 5 0 1 1 1 1 0 0 3 4 0 0 1 5 1 11 0 9 9 0 0 0 1 2 4 1 2 2 1 3 2 1 所以秩 3 而秩 2 因此 2 不能由 1 1 1 0 1 1 5 1 11 5 1 2 线性表示 《线性代数》 (第四版)教学课件

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向量组之间的线性表示 设有两个向量组 1 2 s (A) 及 1 2 t (B) 如果向量组(A)中每一向量都可由向量组(B)线性表示 则称向 量组(A)可由向量组(B)线性表示

定理3 4 如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示 而向量组(B)又 可由向量组(C)线性表示 则向量组(A)也可由向量组(C)线性 表示

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定义3 6(向量组的等价关系) 设有两个向量组 1 2 s (A) 及 1 2 t (B) 如果向量组(A) (B)可以相互线性表示 则称向量组(A)与(B) 等价

向量组等价关系的性质 (1)自反性 任一向量组与其自身等价 (2)对称性 如果向量组(A)与(B)等价 则向量组(B)与(A) 等价 (3)传递性 如果向量组(A)与(B)等价 向量组(B)与(C)等 价 则向量组(A)与(C)等价 《线性代数》 (第四版)

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例6 设向量组 (A) 1 (1 0 0)T 2 (0 1 0)T 3 (0 0 1)T (B) 1 (1 0 0)T 2 (1 1 0)T 3 (1 1 1)T (C) 1 (0 0 0)T 2 (1 1 0)T 3 (1 0 0)T 试判断三个向量组是否相互等价 解 因为 1 1 2 1 2 3 1 2 3 所以向量组(B)可由向量组(A)线性表示 又 1 1 2 2 1 3 3 2 所以向量组(A)可由向量组(B)线性表示 故向量组(A)与(B)等 价

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