2013年全国中考数学试题分类解析汇编专题42解直角三角形和应用

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专题42解直角三角形和应用

一、选择题

1. （2012广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】

0

A.(6?3)米 B.12米 C.(4?23)米 D．10米 【答案】A。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。 【分析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。

作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4， ∴CE=2，EF=4cos30°=23， 在Rt△CED中，CE=2，

∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。 ∴BD=BF+EF+ED=12+23。

∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2， ∴在Rt△ABD中，AB=

11BD=12+23?6+3。故选A。 22??2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于【 】米．

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A． asin40° D．

B． acos40°

C． atan40°

atan400

【答案】C。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。 【分析】∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，

∴AB=atan40°。故选C。

3. （2012福建福州4分）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热

气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点煌距离是【 】

A．200米 B．2003米 C．2203米 D．100(3＋1)米 【答案】D。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可：

由已知，得∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝100， ∵ CD⊥AB于点D，

CDCD100

∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，∴ AD＝＝＝1003。

ADtanA3

3

在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠B＝45°，∴ DB＝CD＝100。 ∴ AB＝AD＋DB＝1003＋100＝100(3＋1)（米）。故选D。

4. （2012湖北宜昌3分）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为【 】

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A．24米 B．20米 C．16米 D．12米 【答案】D。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC?tan27°。

把BC=24米，tan27°≈0.5代入得，AB≈24×0.5=12米。故选D。

5. （2012湖北荆州3分）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为【 】

A． 2 B． 2【答案】C。

【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。

【分析】∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，

∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF?cos30°=2× C．

D． 3

3=3。 2∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=23。 在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=

1BP=3。故选C。 26. （2012湖北孝感3分）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30o，从C点向塔底

B走100m到达D点，测出塔顶的仰角为45o，则塔AB的高为【 】

A．503m B．1003m C．1003+1m D．1003?1m

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【答案】D。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。

【分析】根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由BC=3AB 和BC=AB+100求解即可求出答案：

在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。 在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=3AB。 ∵CD=100，∴BC=AB+100。∴AB+100=3AB，解得AB=1003?1。故选D。

7. （2012湖北襄阳3分）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为【 】

A．（43+1.6）m B．（123+1.6）m C．（43+1.6）m D．43m 【答案】A。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，作AK⊥CD于点K，

∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°， ∴DB=AK12米，AB=KD=1.6米，∠ACK=60°。 ∵tan?ACK?AK1212AK，∴CK????43。 0tan?ACKtan60CK3∴CD=CK+DK=43+1.6=（43+1.6）（米）。故选A。

8. （2012四川广安3分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是【 】

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A．100m B．1003m C．150m D．503m 【答案】A。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，勾股定理。 【分析】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，∴∵BC=50，∴AC=503，∴AB=AC2+BC2?BC1， =AC3?503?2。故选A。 +502?100（m）

9. （2012四川德阳3分）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行到达B处，那么tan∠ABP=【 】

A.

2小时35251 B.2 C. D.

552【答案】A。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，

∴PA=20。

∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行∴∠APB=90° ，BP=60×∴tan∠ABP=

2小时到达B处， 32=40。 3AP201??。故选A。 BP40210. （2012贵州黔西南4分）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在

D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为【 】

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（A）103+2m （B）203+2m （C）53+2m （D）153+2m 【答案】D。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，在Rt△AFG中，tan?AFG?∴FG?????????AG 0

， ∠AFG=60， FGAG tan60=23AG。 3在Rt△ACG中，tan?ACG?∴CG?AG0

，∠ACG=30， CGAGtan300 =3AG。

3AG?30，解得AG?15 3。 3又∵CF=CG－FG=30，即 3AG?∴AB?AG?GB?15 3 ?2。

∴这幢教学楼的高度AB为（15 3 ?2）m。故选D。

11. （2012山东泰安3分）如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为【 】

A．103米 B．10米 C．203米 D．【答案】A。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

203米 3第 6 页 共 61 页

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【分析】∵在直角三角形ADC中，∠D=30°，∴

ABAB=tan30°。∴BD==3AB。 0BDtan303=AB 03tan60。AB∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC=

∵CD=20，∴CD=BD﹣BC=3AB?二、填空题

3AB=20。解得：AB=103。故选A。 31. （2012江苏南京2分）如图，将45?的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37?的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 ▲ cm （结果精确到0.1 cm，参考数据：sin37??0.60，cos37??0.80，tan37??0.75）

【答案】2.7。

【考点】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E。

在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm。 ∴CE=BD=2cm。

在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°， ∵tan37??CE ?0.75，∴OE≈2.7cm。 OE∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm。

2. （2012福建南平3分）如图，在山坡AB上种树，已知∠C=90°，∠A=28°，AC=6米，则相邻两树的坡面距离AB≈ ▲ 米．（精确到0.1米）

【答案】6.8。

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【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义。 【分析】利用线段AC的长和∠A的余弦弦值求得线段AB的长即可：

AB?AC6。 ??6.8（米）

cos28?0.882. （2012福建龙岩3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC = BC = 6，E是斜边AB上任意一

点，作EF⊥AC

于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是 ▲ ．

【答案】12。

【考点】等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，平行的性质。

【分析】∵∠C=90°，EF⊥AC，EG⊥BC，∴∠C=∠EFC=∠EGC=90°。∴四边形FCGE是矩形。

∴FC=EG，FE=CG，EF∥CG，EG∥CA，∴∠BEG=∠A=45°=∠B。∴EG=BG。 同理AF=EF，

∴矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12。

3. （2012福建福州4分）如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD

交AC于

点D，则AD的长是 ▲ ，cosA的值是 ▲ ．(结果保留根号)

【答案】

5－15＋1

；。 24

【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。

【分析】可以证明△ABC∽△BDC，设AD＝x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的

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值：

180°－∠A

∵ 在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝72°。

21

∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°。

2∴ ∠A＝∠DBC＝36°。

ACBC

又∵∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC。∴ ＝。

BCCD

1x5＋15－1

设AD＝x，则BD＝BC＝x．则＝，解得：x＝(舍去)或。

x1－x22∴x＝

5－1

。 2

11

如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵ AD＝BD，∴E为AB中点，即AE＝AB＝。

22AE5＋1

在Rt△AED中，cosA＝＝＝。

AD45－1

2

4. （2012湖北荆门3分）如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为 ▲ cm．（结果可保留根号）

2

1

2

【答案】753+360。

【考点】由三视图判断几何体，解直角三角形。 【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，

∵其高为12cm，底面半径为5 cm，∴其侧面积为6×5×12=360cm。

2

152

又∵密封纸盒的底面面积为：2?6??5?3=753cm，

22∴其全面积为：（753+360）cm。

5. （2012湖北咸宁3分）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为

30cm，为方便

残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡

度i?1:5，

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2

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则AC的长度是 ▲ cm．

【答案】210。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）。 【分析】过点B作BD⊥AC于D，

根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm）， ∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5。 ∴CD=5BD=5×54=270（cm）。

∴AC=CD－AD=270－60=210（cm）。∴AC的长度是210cm。

6. （2012湖南株洲3分）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是 ▲ 米．

【答案】103。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，

∵∠A=90°， ∴在Rt△ABC中，

AB=AC?tan∠ACB=10×tan60°=10×3=103（米）。

7. （2012辽宁大连3分）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测角仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处。若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为 36°，则电线杆AB的高度约为 ▲ m（精确到0.1m）。（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）

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【答案】8.1。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】如图，由DB=9m，CD=1.5m，根据矩形的判定和性质，得CE=9m，BE=1.5m。 在Rt△ACE中，AE=CE·tan∠ACE=9 tan36≈9×0.73=6.57。 ∴AB=AE＋BE≈6.57＋1.5=8.07≈8.1（m）。

8. （2012辽宁铁岭3分）如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°

的方向以4海里／小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货

船每小时航行 ▲ 海里.

0

【答案】22。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】作PC⊥AB于点C，

∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发， ∴∠PAC=30°，AP=4×2=8。∴PC=AP×sin30°=8×∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC=45° ∴PB=PC÷1=4。 22=42。 2∴乙货船的速度为42?2=22（海里/小时）。

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9. （2012贵州安顺4分）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 ▲ m．

【答案】200。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），三角形内角和定理，等腰三角形的判定。 【分析】由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°。

∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°。 ∴∠ACB=∠BAC。∴BC=AB=200（m）。

10. （2012贵州黔南5分）都匀市某新修“商业大厦”的一处自动扶梯如图，已知扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于 ▲ 。

【答案】

3。 4【考点】完全平方式。解直角三角形的应用（坡度坡角问题），勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值：

如图；在Rt△ABC中，AC=l=10米，BC=h=6米； 根据勾股定理，得：AB=AC2?BC2=8（米） ∴tanθ=

BC63==。 AB8411. （2012广西来宾3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是 ▲ 米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）

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【答案】12。

【考点】解直角三角形的应用（仰角仰角问题），锐角三角函数定义。

【分析】直接根据正切函数定义求解：AB=BC·tan∠ACB=8·tan56°≈8×1.483≈12（米）。 12. （2012广西柳州3分）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与

BC所在直线 形成的夹角的余弦值为22，则AC边上的中线长是 ▲ ． 5 （即cosC=5）

55【答案】585a。 a或

1010【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】分两种情况：

①△ABC为锐角三角形时，如图1，BE为AC边的中线。 作△ABC的高AD，过点E作EF⊥BC于点F。 ∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=25， 5∴CD=52a。 5a，AD=55535a。。∴BC=BD+CD=a。 5551DC=a，25∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=∵点E是AC的中点，EF∥AD，∴EF是△ACD的中位线。∴FC=

EF=

51AD=a。 210∴BF=在

25a。 5Rt△BEF

中

，

由

勾

股

定

理

，

得

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22BE?BF2?EF2???2??5?17285?55a?????a?10??=?20a=10a。 ②△ABC为钝角三角形时，如图2，BE为AC边的中线。 作△ABC的高AD。

∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=255， ∴CD=2555a，AD=5a。 ∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=

555a。∴BC= BD=5a。 ∵点E是AC的中点，∴BE是△ACD的中位线。∴BE=

12AD=510a。 综上所述，AC边上的中线长是85510a或10a。 三、解答题

1. （2012天津市8分）如图，甲楼AB的高度为123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为450

，测得乙楼底部D处的俯角为300

，求乙楼CD的高度（结果精确到0.1m，3取1.73）．

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2. （2012安徽省10分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长，

【答案】解：过点C作CD⊥AB于D,

在Rt△ACD中，∠A=30°，AC＝23，

∴CD=AC×sinA=23?0.5?3，AD=AC×cosA=23?3?3。 2在Rt△BCD中，∠B=45°，则BD=CD=3，∴AB=AD+BD=3+3。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。

【分析】在一个三角形中已知两个角和一边，求三角形的边，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，过点C作CD⊥AB于D，利用构造的两个直角三角形来解答。

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3. （2012山西省9分）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：

）

【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，

∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°。 ∴四边形ABFE为矩形。∴AB=EF，AE=BF。 由题意可知：AE=BF=100，CD=500。 在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100， ∴CE?AEtan60=0100100=3。 33100==100。 01tan45100100∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣×1.73≈600﹣3≈600﹣33在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100，∴DF?57.67≈542.3（米）。

答：岛屿两端A．B的距离为542.3米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】构造直角三角形，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，分别解Rt△AEC和Rt△AEC即可求解。

4. （2012陕西省8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65?方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东

BF45?方向（点A、B、C在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎

宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．

（参考数据：sin25??0.4226，cos25??0.9063，tan25??0.4663，sin65??0.9063，

cos65??0.4226，tan65??2.1445）

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【答案】解：如图，作CD⊥AB交AB的延长线于点D，

则∠BCD=45，∠ACD=65。

在Rt△ACD和Rt△BCD中， 设AC=x，

则AD=xsin65，BD=CD=xcos65。

∴100?xcos65?xsin65。 ∴x?00000

0

100。 ?207（米）00sin65?cos65 ∴湖心岛上的迎宾槐C处与凉亭A处之间距离约为207米。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义。

【分析】如图作CD⊥AB交AB的延长线于点D，在Rt△ACD和Rt△BCD中分别表示出AC的长就可以求得AC的长。

5. （2012广东省7分）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．

【答案】解：∵在RtABC中，

AB34?tan?=，∴BC=AB。 BC43AB∵在RtADB中，?tan26.60=0.5，∴BD=2AB。

BD4∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣AB=200，解得：AB=300。

3答：小山岗的高度为300米。

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【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）

【分析】在RtABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，在RtDBA中用AB表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可。

6. （2012广东汕头9分）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．

【答案】解：∵在RtABC中，

AB34?tan?=，∴BC=AB。 BC43AB∵在RtADB中，?tan26.60=0.5，∴BD=2AB。

BD4∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣AB=200，解得：AB=300。

3答：小山岗的高度为300米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）

【分析】在RtABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，在RtDBA中用AB表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可。

7. （2012广东湛江8分）某兴趣小组用仪器测测量湛江海湾大桥主塔的高度．如图，在距主塔从AE60米的D处．用仪器测得主塔顶部A的仰角为68°，已知测量仪器的高CD=1.3米，求主塔AE的高度（结果精确到0.1米）（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）

【答案】解：根据题意得：在Rt△ABC中，AB=BC?tan68°≈60×2.48=148.8（米），

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∵CD=1.3米，∴BE=1.3米。∴AE=AB+BE=148.8+1.3=150.1（米）。 ∴主塔AE的高度为150.1米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，矩形的性质。 【分析】由题意即可得：在Rt△ABC中，AB=BC?tan68°，根据矩形的性质，得BE=CD=1.3米，即可求得主塔AE的高度。

8. （2012广东珠海7分）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：3?1.73，

2?1.41）

【答案】解：设OC=x，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=45°，∴OA=OC=x。 在Rt△BOC中，∵∠BCO=30°，∴OB?OC tan30??∵AB=OA﹣OB= x?∴OC=5米。

答：C处到树干DO的距离CO为5米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】设OC=x，在Rt△AOC中，由于∠ACO=45°，故OA=x，在Rt△BOC中，由于∠BCO=30°，故OB?OC tan30??3x。 33x=2，解得x=3+3?1+1.73=4.73?5。 33x，再根据AB=OA－OB=2即可得出结论。 39. （2012浙江丽水、金华6分）学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3(即为CD

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与BC的长度之比)．A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．

【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，

∴AC＝

31?63。 AB＝6，BC＝ABcos∠ABC＝12×22∵斜坡BD的坡比是1：3，∴CD＝BC＝23。∴AD＝AC－CD＝6－23。 答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－23)米。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】在直角△ABC中，利用三角函数即可求得BC、AC的长，然后在直角△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD＝AC－CD即可求解。

10. （2012浙江绍兴8分）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°。

（1）求一楼于二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；

（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2．小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin32°=0.5299，con32°=0.8480，tan32°=6249。

13

【答案】解：（1）∵sin∠BAC=

BC，∴BC=AB×sin32°=16.50×0.5299≈8.74米。 AB（2）∵tan32°=

级高，∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225 级宽∵电梯以每秒上升2级，∴10秒钟电梯上升了20级。

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∴小明上升的高度为：20×0.156225≈3.12米。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义 。 【分析】（1）直接根据正弦函数定义可求一楼于二楼之间的高度BC。

（2）由每级的水平级宽均是0.25米，根据正切函数定义可求每级的级高，从而由

电梯以每秒上升2级可得电梯上升的级数，因此即可求得小明上升的高度。

11. （2012浙江台州8分）如图，为测量江两岸码头B、D之间的距离，从山坡上高度为50米的A处测得码头B的俯角∠EAB为15°，码头D的俯角∠EAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为C，求码头B、D的距离（结果保留整数）．

【答案】解：∵AE∥BC，∴∠ADC=∠EAD=45°。 又∵AC⊥CD，∴CD=AC=50。 ∵AE∥BC，∴∠ABC=∠EAB=15°。

又∵tan?ABC?AC5050AC， ∴BC?=??185.2。 0tan?ABCtan150.27BC ∴BD≈185.2﹣50≈135（米）。 答：码头B、D的距离约为135米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义。

【分析】由∠EAB=15°，根据平行的性质，可得∠ABC=∠EAB=15°。从而解直角三角形ABC可求得BC的长。由∠ADC=∠EAD=45°可得CD=AC=50。从而由BD=BC－CD可求得B、D的距离。

12. （2012浙江温州9分）某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C处入海,径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处,再向B处游去.若CD=40米,B在C的北偏东35°方向,甲乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B处？请说明理由. (参考数据：sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)

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【答案】解：由题意得∠BCD=55°，∠BDC=90°。

BD ，∴BD=CD?tan∠BCD=40×tan55°≈57.2。 CDCDCD 40∵cos?BCD?，∴BC?? ?70.2。

BCcos?BCD cos55?57.270.2∴t甲??10?38.6?秒?，t乙? ?35.1?秒?。∴t甲>t乙。

2 2∵tan?BCD?答：乙先到达B处。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义。

【分析】在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则求得甲、乙的时间，比较二者之间的大小即可。

13. （2012江苏淮安10分）如图，△ABC中，∠C=90，点D在AC上，已知∠BDC＝45，BD＝102，AB＝20，求∠A的度数。

0

0

【答案】解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC=45°，BD=102 ，

2=10。 2BC101∵∠C=90°，AB=20，∴sin?A???。∴∠A=30°。

AB 202∴BC=BD?sin∠BDC=102?【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】首先在直角三角形BDC中，利用BD的长和∠BDC=45°求得线段BC的长，然后在直角三角形ABC中求得∠A的度数即可。

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14. （2012江苏连云港10分）已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，2≈1.41，

5≈2.24)

【答案】解：由路程=速度×时间，得BC＝40×

在Rt△ADB中，sin∠DBA＝∴AB＝

15＝10。 60DB，sin53.2°≈0.8， ABDB16?=20。

sin?DBA0.8如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，

在Rt△AHB中，∠BAH＝∠DAC－∠DAB＝63.6°－37°＝26.6°， ∴tan∠BAH＝

2

2

BHBH，0.5＝，AH＝2BH。 AHAH2

2

2

2

又∵BH＋AH＝AB，即BH＋(2BH)＝20，∴BH＝45， AH＝85。 在Rt△BCH中，BH＋CH＝BC，即（45）＋CH＝10，解得CH＝25。 ∴AC＝AH－CH＝85－25＝65≈13.4。

答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）锐角三角函数定义，勾股定理。 【分析】根据在Rt△ADB中，sin∠DBA＝

2

2

2

2

2

2

DBBH，得出AB的长，从而得出tan∠BAH＝，

AHAB求出BH的长，即可得出AH以及CH的长，从而得出答案。

15. （2012江苏南通8分）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60o方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量

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船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)．

【答案】解：∵AB为南北方向，∴如图，△AEP和△BEP均为直角三角形。

在Rt△AEP中，∠APE=90°－60°=30°，AP=100， ∴AE=

11AP=×100=50，EP=100×cos30°=503。 22在Rt△BEP中，∠BPE=90°－45°=45°， ∴BE=EP=503。 ∴AB=AE＋BE=50＋503。

答：测量船从A处航行到B处的路程为50＋503海里。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】构造直角三角形，将AB分为AE和BE两部分，分别在Rt△BEP和Rt△BEP中求解。 16. （2012江苏苏州8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，

现计划在

斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的

斜坡BE.（请

将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据

）.

⑴若修建的斜坡BE的坡角(即∠BAC)不大于45°,则平台DE的长最多为 ▲ 米；

⑵一座建筑物GH距离坡脚A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即

∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面上，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？

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【答案】解：（1）11.0。

（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P。

在Rt△DPA中，DP=

PA=AD?cos30°= 30×11AD=×30=15， 223=153。 2在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=PA＋AG=153+27。 在Rt△DMH中，HM=DM?tan30°=（153+27）×∴GH=HM＋MG=15+15+93≈45.6。 答：建筑物GH高为45.6米。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，从革命利益出发而得出EF的长，即可得出答案：

∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，∴∠BEF最大为45°， 当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长。 ∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，∴BF=EF=∴DE=DF－EF=15（3－1）≈11.0。 （2）利用在Rt△DPA中，DP=

用

HM=DM?tan30°得出即可。

17. （2012江苏宿迁10分）如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图.已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画顶端的仰角∠ADF=60°，底端的俯角∠BDF=30°，且点D距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度.

3?15+93， 31BD=15，DF=153。 21AD，以及PA=AD?cos30°，从而得出DM的长，利2第 25 页 共 61 页

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【答案】解：∵FC=DE=2，BC=1，∴BF=1。

在Rt△BDF中，∠BDF=30°，BF=1，∴DF?BFtan300?133?3。

在Rt△ADF中，∠ADF=60°，DF?3，∴AF?DF?tan600?3?3?3。 ∴壁画AB的高度为：AF＋BF=4。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】分别解Rt△BDF和Rt△ADF即可。

18. （2012江苏泰州10分）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处

测得居民楼顶A

的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30 m，点C与点A恰

好在同一水平线

上，点A、B、P、C在同一平面内． （1）求居民楼AB的高度； （2）求C、A之间的距离．

（精确到0.1m，参考数据：2?1.41,3?1.73,6?2.45）

【答案】解：（1）过点C作CE⊥BP于点E，

在Rt△CPE中，∵PC=30m，∠CPE=45°， ∴sin45??CE。 PC第 26 页 共 61 页

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∴CE=PC?sin45°=30×

2。 =152（m）

2∵点C与点A在同一水平线上， ∴AB=CE=152≈21.2（m）。 答：居民楼AB的高度约为21.2m。 （2）在Rt△ABP中，∵∠APB=60°，∴tan60??AB。 BP∴BP?AB152。 ==56（m）

tan60?3∵PE=CE=152m，

∴AC=BE=152+56≈33.4（m）。 答：C、A之间的距离约为33.4m。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题），锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在Rt△CPE中，由sin45??得出EC

的长度，从而可求出答案。

（2）在Rt△CPE中，由tan60??答案。

19. （2012江苏盐城10分）如图所示,当小华站立在镜子EF前A处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为45?；如果小华向后退0.5米到B处,这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30?.求小华的眼睛到地面的距离.(结果精确到0.1米,参考数据:3?1.73)

CE PCAB得出BP的长，从而得出PE的长，即可得出BP

【答案】解：设AC?x(m)，则在Rt?CAA1中，∵?CA1A?45?, ∴AC?AA1?x。

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又在Rt?DB1B中，∵?DB1B?30?。∴tan?DB1B?∴BB1?DB3?。 BB133x。

由对称性知：AE?A1E，BE?B1E，∴BB1?AA1?1，即3x?x?1。 解得x?3?1?1.4。 2∴小华的眼睛到地面的距离约为1.4m。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，对称的性质。

【分析】设AC?x(m)，利用等腰直角三角形的性质得出AC?AA1?x，从而由

tan?DB1B?得出BB1?DB3? BB133x，由对称的性质得BB1?AA1?1，即3x?x?1，求出即可。

20. （2012江苏扬州10分）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据2≈1.41，3≈1.73)

【答案】解：作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°。

设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x， 在Rt△ABD中，可得BD＝3x.

又∵BC＝20，∴x＋3x＝20，解得：x =10∴AC＝2x=2?10?3?1。

??3?1?1.41?10??1.73?1?=10.293?10.3 (海里)。

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答：A、C之间的距离为10.3海里。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题，）锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】构造直角三角形：作AD⊥BC，垂足为D，设CD＝x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，从而可得出BD，结合题意BC＝CD＋BD＝20海里可得出方程，解出x的值后即可得出答案。

21. （2012福建宁德10分）图1是安装在房间墙壁上的壁挂式空调，图2是安装该空调的侧面示意图，空调风叶AF是绕点A由上往下旋转扫风的，安装时要求：当风叶恰好吹到床的外边沿，此时风叶与竖直线的夹角α为48°，空调底部BC垂直于墙面CD，AB=0.02米，BC=0.1米，床铺长DE=2米，求安装的

空调底部位置距离床的高度CD是多少米？）（结果精确到0.1米）

22. （2012福建漳州10分）极具特色的“八卦楼”(又称“威镇阁”)是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台

上．为了测量“八卦楼”的高度AB，小华在D处用高1.1米的测角仪CD，测得楼的顶端A

的仰角为22；

再向前走63米到达F处，又测得楼的顶端A的仰角为39(如图是他设计的平面示意图)．已

知平台的高度

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o

o

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BH约为13米，请你求出“八卦楼”的高度约多少米?

(参考数据：sin22≈

o

721640oo

，tan22≈，sin39≈，tan39≈) 205255

【答案】解：在Rt△ACG中，tan22°=

5AG2?，∴CG=AG。

2CG55AG 4在Rt△ACG中tan39°=?，∴EG=AG。

4EG555∵CG－EG=CE．∴AG－AG=63。∴AG=50.4。

24∵GH=CD=1.1，BH=13，∴BG=13－1.1=11.9。 ∴AB=AG－BG=50.4－11.9=38.5（米）。 答：“八卦楼”的高度约为38.5米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义。

【分析】先根据锐角三角函数的定义用AG表示出CG及EG的长，再根据CG－EG=CE，求出AG的长，再由GH=CD=1.1，BH=13可求出BG的长，由AB=AG－BG即可得出结论。 23. （2012湖北黄石8分）如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜

坡面上安装太

阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板

吸热率更高，

公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与

水平面夹角为θ2，

并已知tan?1?1.082，tan?2?0.412。如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的

高（结果精 确到1cm）。

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AF??CBG??2，【答案】解：如图所示，过点A作AE∥BC，则?E且AF?AB2?5cm在Rt△ADF中：DF?AF?tan?1，在Rt△EAF中, EF?AF?tan?2， ∴DE?DF?EF?AF(tan?1?tan?2)。

又∵AF?140cm，tan?1?1.082，tan?2?0.412， ∴DE?140(1.082?0.412)?93.8?cm?。 ∴CD?DE?CE?93.8?25?118.8?119(cm)。 答：支架CD的高约为119cm 。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

。

【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可。

24. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田7分）如图，海中有一小岛B，它的周围15海里内有暗礁．有一货轮以30海里/时的速度向正北航行半小时后到达C处，发现B岛在它

2?1.4） 的东北方向．问货轮继续向北航行有无触礁的危险？（参考数据：3?1.7，

【答案】解：作BD⊥AC于点D．设BD=x海里，则

在Rt△ABD中，tan30??x，∴AD=3x。 ADx在Rt△CBD中，tan45??，∴CD=x。

CD∴AC=AD﹣CD=3x?x。

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∵AC=30×

1=15，∴3x?x=15，解得x≈21.4。 2∵21.4海里＞15海里。∴货轮继续向北航行没有触礁的危险。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。

【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD和Rt△CBD中求得点B到AC的距离，从而能判断出有无危险。

25. （2012湖北恩施8分）新闻链接，据外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退． 2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去．（见图1）

解决问题

如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=1406海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时．根据以3上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间． 【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，

1406，∠B=60°， 314063∴AD=AB?sin60°=?=702。

32在Rt△ABD中，∵AB=在Rt△ADC中，AD=702，∠C=45°，

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∴AC=2AD=140。

∴“中国渔政310”船赶往出事地点所需时间为

140=7小时。 20答：“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出AD的值，同理在Rt△ADC中求出AC的值，再根据中国渔政310”船最大航速20海里/时求出所需时间即可。

26. （2012湖北黄冈8分）新星小学门口有一直线马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的

斑马线，斑马线的宽度为4 米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2 米，现有一旅

游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE＝15° 和∠FAD=30° .司机

距车头的水平距离为0.8 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、D、C、B 四点在平行于斑马 线的同一直线上.) (参考数据：tan15°=2－≈1.414）

，sin15°=

cos15°=

3≈1.732，

【答案】解：∵∠FAE=15°，∠FAD=30°，∴∠EAD=15°。

∵AF∥BE，∴∠AED=∠FAE=15°，∠ADB=∠FAD=30°。 设AB=x，则在Rt△AEB中，EB?∵ED=4，ED+BD=EB，∴BD=

ABx?。 tan15?tan15?x－4。 tan15?第 33 页 共 61 页

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在Rt△ADB中，BD?ABx ?， tan30?tan30?xx ?4?xx ?4?∴，即2?33，解得x=2。 tan15?tan30?3∴BD?2 =23。 tan30?∵BD=CD+BC=CD+0.8，∴CD=23 －0.8≈2×1.732＋0.8≈2.7＞2，故符合标

准。

答：该旅游车停车符合规定的安全标准。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】由∠FAE=15°，∠FAD=30°可知∠EAD=15°，根据AF∥BE可知∠AED=∠FAE=15°，∠ADB=∠FAD=30°，设AB=x，则在Rt△AEB中，EB?联立两式即可求出CD的值。

27. （2012湖北十堰8分）如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．（参考数据：3≈1.73）

ABAB ，在Rt△ADB中， ，BD?tan15?tan30?

【答案】解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，

在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100， ∴DE=50，CE=503。

在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=x。

则AF=AB－BF=AB－DE=x－50，DF=BE=BC＋CE=x＋503。

在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°=

x?503AF?，∴。 3FDx?503（3?3）?236.5（米）∴x?50。

答：山AB的高度约为236.5米。

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【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】易证△ABC是等腰直角三角形，直角△CDE中已知边CD和∠DCE=30°，则三角形的

三边的长

度可以得到CE，DE的长度，设BC=x，则AE和DF即可用含x的代数式表示出来，在直角△AED

中，

利用三角函数即可得到一个关于x的方程，即可求得x的值。

28. （2012湖北鄂州8分）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、C在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长。

【答案】解：如图，过点F作FH⊥AB于点H。

在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=60°，DE=8，∴∠DFE=30°，DF=DE·tan∠E=8

tan60°=83。

∵ EF∥AD，∴∠FDH=∠DFE=30°。 在Rt△FDH中，FH=

1DF=43，HD==43·3=12。 2又∵∠AF=90°，∠C=45°，∴HB= FH=43。 ∴BD=HD－HB=12－43。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】构造直角三角形FDH，分别解Rt△DEF和Rt△FDH即可。

29. （2012湖南益阳8分）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B、C两点的距离；

（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？

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（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，

3?1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）

【答案】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30，

∴BC=AC?tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）。

（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）

∴此车没有超过限制速度。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】（1）由于A到BC的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC的距离。

（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可。

30. （2012湖南常德7分）如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60o方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船。问我渔政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号)

【答案】解：如图：作CD⊥AB于点D，

∵在Rt△BCD中，BC=12×1.5=18海里，∠CBD=45°， ∴CD=BC?sin45°=18?2。 =92（海里）

2∴在Rt△ACD中，AC=CD÷sin30°=92?2=182（海里）。 答：我渔政船的航行路程是182海里。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】过C点作AB的垂线，垂足为D，构建Rt△ACD，Rt△BCD，解这两个直角三角形即可。

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31. （2012湖南张家界8分）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=32千米，请据此解答如下问题：

3?1.73， 6?2.45） （1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据2?1.41，（2）求∠ACD的余弦值． 【答案】解：（1）连接AC，

∵AB=BC=15，∠B=90°，

∴∠BAC=∠ACB=45° ，AC=152。 又∵∠D=90°， ∴AD=AC2?CD2=?152??2?32?2=123。

∴周长=AB+BC+CD+DA=30+32+123≈30+4.23+20.76≈55（千米）

面积

11。 ?S?ABC?S?ADC??15?15+?32?123?112.5+182.456?112.5+44.1?157（平方千米）

22（2）cos?ACD?CD321??。 AC1525【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）连接AC，根据AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45° AC=15 2千米，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD的长后即可求周长和面积。

（2）直接利用余弦的定义求解即可。

32. （2012湖南岳阳6分）九（一）班课题学习小组，为了了解大树生长状况，去年在学校门前点A处测得一棵大树顶点C的仰角为30°，树高5m；今年他们仍在原点A处测得大

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树D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少m？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，

≈1.732）

【答案】解：根据题意得：∠DAB=37°，∠CAB=30°，BC=5m，

在Rt△ABC中，AB=BCtan30=0533， =53?m???在Rt△DAB中，BD=AB?tan37°≈53×0.75≈6.495（m）， ∴CD=BD﹣BC=6.495﹣5=1.495（m）。 答：这棵树一年生长了1.495m。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。1052629

【分析】由题意得：∠DAB=37°，∠CAB=30°，BC=5m，然后分别在Rt△ABC与Rt△DAB中，利用正切函数求解即可求得答案。

33. （2012湖南郴州6分）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度．（结果精确到1米，参考数据：

2?1.414， 3?1.732 ）

【答案】解：∵Rt△ABE中，∠BAE=45°，坝高BE=20米，∴AE=BE=20米。

在Rt△BEF中，BE=20，∠F=30°，∴EF=BE÷tan30°=203。 ∴AF=EF－AE=203－20≈15。 ∴AF的长约为15米。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

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【分析】在Rt△ABE中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，求得铅直高度BE和水平宽AE的值，从而可在Rt△BFE中，根据BE的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出EF的长；根据AF=EF－AE，即可得出AF的长度。

34. （2012湖南娄底7分）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，

≈1.732）．

【答案】解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米。

设AG=x米，GF=y米，

在Rt△AFG中，tan∠AFG=tan60°=

AGx?=3， FGyAGx3?=， BGy+83在Rt△ADG中，tan∠ADG=tan30°=

二者联立，解得x=43，y=4。

∴AG=43米，FG=4米。∴AB=AG＋GB=43＋1.5≈8.4（米）。 ∴这棵树AB的高度为8.4米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】首先根据题意可得GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米，然后设AG=x米，GF=y米，则在Rt△AFG与Rt△ADG，利用正切函数，即可求得x与y的关系，解方程组即可求得答案。 35. （2012湖南衡阳6分）如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD．（i=CE：ED，单位：m）

【答案】解：作BF⊥AD于点F．则BF=CE=4，

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在Rt△ABF中，AF?AB2?BF2?52?42?3， 在Rt△CED中，根据i=

CE4CE，得ED?==43。

1iED3则AD=AF+EF+ED=3+4.5+43 =（7.5+43）。 答：坝底宽AD为（7.5+43）m。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），勾股定理，坡比的定义。119281 【分析】作BF⊥AD于点于F，在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在Rt△CED中，利用坡比的定义即可求得ED的长度，从而即可求得AD的长。

36. （2012湖南湘潭6分）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？（3?1.73，结果保留两位有效数字．）

【答案】解：在Rt△DCF中，∵CD=5.4m，∠DCF=30°，∴sin?DCF?FDFD1∴DF=2.7。 ??。

DC5.42∵∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠DCF=30°。 ∵AD=BC=2，

∴在Rt△AED中，cos?ADE?DEDE3。∴DE=3。 ??AD22∴EF=ED+DF=2.7+1.73≈4.4（米）。 答：车位所占的宽度EF约为4.4米。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】分别在Rt△BCF和Rt△AED中求得DF和DE的长后相加即可得到EF的长。 37. （2012四川成都8分）如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米，3?1.732 )

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