洛伦兹速度变换及前灯效应与光行差效应的解释

洛伦兹速度变换及前灯效应与光行差效

应的解释

摘要

所有的物理定律都应该是这样的定律，它们在洛伦兹变换下保持不变。 和速度，即两个速度之“和”，并不恰巧是两个速度的代数和，而是为(1+uv/c2)所“校正”了的。

关键词

洛伦兹变换 和速度 前灯效应 光行差效应

狭义相对论的简要背景

十九世纪末，以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论的正确性已经被大量的实验所证实，但麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下却不具有协变性。最初，人们的想法是认为这个麻烦的根源必定在于当时只有20年之久的新的麦克斯韦电动力学方程组。所以人们试图改变方程，使之能在伽利略变换下得到满足。在这种尝试中，必须在方程组中加入新的项，而这些项又预言了新的电现象，但一旦用实验来验证它们时，这些现象又根本不存在。因而人们明白麦克斯韦电动力学方程组是正确的。

在这期间，洛伦兹注意到一件令人注目的奇怪的事，那就是当他在麦克斯韦方程组中进行以下代换时

x=

′

x?ut 1?u2 c2y′=y

z′=z t′=

t?ux c2 1?u2 c2 发现这些方程组在这种变换下保持形式不变！这就是洛伦兹变换。爱因斯坦效仿原来由庞加莱提出的设想，做出了这样的假设：所有的物理定律都应该是这样的定律，它们在洛伦兹变换下保持不变。爱因斯坦正是在这样的背景下建立了新的时空观，才有了狭义相对论。

洛伦兹速度变换

洛伦兹变换是狭义相对论中最重要的部分，是描述狭义相对论中各参考系间关系的变换。洛伦兹变换为：

x=

′

x?ut 1?u2 c2y′=y z′=z

t′=

t?ux c2 1?u2 c2 现在我们倒过来解这些方程，即用 x′, y′, z′, t′来表示 x,y,z,t，结果是：

x=

x′+ut′ 1?u2 c2y=y′ z=z′ t=

t′+ux′ c2 1?u2 c2 现在我们来讨论一下相对论中速度叠加这个有趣的问题。我们知

道对于所有系统来说，光速都是3×108m/s，即使处于相对运动之中也是如此。现假定宇宙飞船内有一个物体以0.6 C运动飞船本身的速度是0.6 C，那么从飞船外部的观察者的观点来看，飞船内的这个物体是以多大的速度在运动？1.2 C吗？那这就比光速还要快。

为了解决这个问题，我们更一般地假设：飞船内有一个物体以相对于飞船的速度vx’运动，而飞船本身则相对于地面有一个速度u。现在我们想要知道从地面上的一个观察者的观点来看，这个物体以多大的速度vx运动。

在飞船内物体的速度是vx’，这就说明位移x’等于速度乘以时间，即：

x′=vx′t′

现在我们只要简单地把其代入洛伦兹变换中，就得到：

x=

vx′t′+ut′ 1?u2 c2 但是这里的x是用t’表示的，为了得到外部观察者所看到的速度，我们必须用他的时间，所以我们必须计算外部观察者所看到的的时间，即：

t=

c2t′+u(vx′t)′ 1?u2 c2 现在找出x与t之比，这就是

xu+vx′

vx== 2 ct1+uvx′

这就是我们所要求的定律：和速度，即两个速度之“和”，并不恰巧是两个速度的代数和，而是为(1+uv/c2)所“校正”了的。

现在我们来看看，假定飞船内的物体以光速的一半在运动，飞船本身也在以光速的一半飞行。因此u=c/2，v=c/2，而分母中的uv/c2=1/4，于是

11

c+c4

2=c v=2151+4所以在相对论中，“1/2”加“1/2”并不等于1，而等于“4/5”。

当然，也有一些情况，运动并不是在匀速运动的那个方向上进行的。比如飞船中可能有一个物体正好相对于飞船以速度vy’“朝上”运动，而飞船则在“水平”地飞行着。这时:

y=y′=vy′t ′

所以，如果vx’=0，则：

y

1?u2 c2 vy==vy′

t这样，我们就得到了相对论中的洛伦兹速度变换。

前灯效应

两惯性系s’和s，前者相对后者沿x轴以u运动，惯性参考系s’中一静止光源以恒定的功率向四周辐射光子，一光束沿与x’轴成θE方向由光源射出，在s系中观察，辐射将偏向于光源前部，与x轴夹角为θR，这种效应就被称为前灯效应。

那么为什么会有这种效应呢？θE与θR的关系又是什么呢？ 由于s’系相对于s系沿x轴运动，而s’系中的光沿与x’轴成θE的角度发射，所以在s系中的观察者看来，光束沿x与y轴的分速度都需要用洛伦兹速度变换加以修正，这样一来，在s系中的观察者会发现光束与x的夹角为θR。

现在我们来看一看两个夹角的关系：在s’系中光子沿x轴方向的速度

v′x=??cosθE

由速度变换式得

v′x+uvx= ′21+vxu cvx

cosθR=

c由此三式可得

u

cosθE+

c cosθR=u1+cosθE

c这就是前灯效应的表达式。

光行差效应

在天文学上有一种被称为光行差效应的现象，即观察者运动时，天体的视觉位置将离开原位置，移向观察

者运动的前方。

如图所示，在光行差效应中，用θR表示观察者以速度u移动时所看到的光线方向与-u方向的夹角；用θE表示如果观察者不动，则应该看到的光线方向和-u方向的夹角。

观察者以速度u运动相当于观察着不动，光源以速度-u运动，这时便可用前面推导的前灯效应中角度关系的式子求解，只不过要特别注意速度的方向。

由此可以看到，前灯效应与光行差效应的区别非常细微，前灯效应是观测者不动，而光行差效应是光源不动，光行差表达式和前灯效应表达式相同。

参考资料

费恩曼（美） 莱顿（美） 桑兹（美） 《费恩曼物理学讲义》 上海科学技术出版社 2005年6月第一版

黄伟 陆天明 《前灯效应最简式的推导与应用》

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/064x.html