中考数学专题：与图形有关的应用题

专题：与图形有关的应用题

1.如图①所示的是可调节高低的笔记本电脑桌，如图②，桌子腿AB＝AC＝26 cm，∠ABC＝34°，则点A距地面的高度AH约为____________cm.(结果保留一位小数，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)

2.2019年10月1日，迎来了伟大祖国70周年的生日．某市为弘扬新一代爱国主义精神，建立如图①所示的一座纪念渡江战役胜利的历史博物馆．如图②是该博物馆的侧面示意图．某学校数学兴趣小组通过测量得知，纪念馆外轮廓斜坡AB的坡度i＝1∶3，底基BC ＝50 m，∠ACB＝135°，则馆顶A离地面BC的距离约为________m．(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)

3.为响应“节能减排，绿色出行”的口号，某市在部分城区实施公共自行车免费服务．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝35 cm，DF＝24 cm，AF＝30 cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.则E到AB的距离约为________cm.(结果保留整数，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)

4.如图①，是某班放报纸的支架，图②为其示意图，其侧面垂直于地面的支架(含轮子)为AB，弯折的两条支架分别为AD，DC，且CD垂直地面于点C，经测量，AD＝256 cm，CD＝44 cm，∠ADC＝153°.求线段AB的长度约为________cm.(结果保留一位小数，参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96)

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5.如图①，桔槔是一种旧式提水器具，它的工作原理是由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处，桔槔早在春秋时期就已相当普遍，而且延续了几千年．如图②，是一个桔槔模型示意图，已知AB的长为0.8 m，AB与水平面的角度为32.5°，点B距底座表面CF的距离为0.36 m，底座的高度为6 cm.则点A到地面的高度约为________m．(结果保留一位小数，参考数据：sin32.5°≈0.54，cos32.5°≈0.84，tan32.5°≈0.64)

6.港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，位于中国广东省伶仃洋区域内，为珠江三角洲地区环线高速公路南环段，青州航道桥“中国结·三地同心”主题的斜拉索塔如图①所示．某数学兴趣小组根据材料编制了如下数学问题，请你解答．如图②，BC，DE为主塔AB(主塔AB与桥面AC垂直)上的两条钢索，桥面上C、D两点间的距离为16 m，主塔上A、E两点的距离为18.4 m，已知BC与桥面AC的夹角为30°，DE与桥面AC的夹角为38°，求主塔AB的高约为________m．(结果精确到1米，参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，3≈1.7)

7.如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保持水平，其中图①、图②分别是小桌板收起时和展开时的实物图，图③中的实线是小桌板展开后的示意图，其中OB表示小桌板桌面的宽度，BC表示小桌板的支架，连接OA，此时OA＝75 cm，∠AOB＝∠ACB＝37°，且支架长BC与桌面宽OB的长度之和等于OA的长度，则点B到AC的距离约为________cm.(结果保留一位小数，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)

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8.图①是一台实物投影仪，图②是它的示意图，折线B－A－O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8 cm，CD＝8 cm，AB＝30 cm，BC＝35 cm.如图②，当∠ABC＝70°，BC∥OE时，投影探头的端点D到桌面OE的高度约为________cm.(结果精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)

9.改革开放以来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面示意图如图②，点F在线段HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点E，AE的延长线交HG于点G，经测量，∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20 m，EG＝0.6 m.

(1)求线段AG的长度；

(2)连接AF，当线段AF⊥AC时，求点F和点G之间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：tan11°≈0.19，tan26°≈0.49，tan31°≈0.60)

10.在伟大祖国诞辰70周岁之际，在太原市的大街小巷随处可见国旗装点，鲜艳的五星红旗不仅扮靓了城市的街道，更让市民感受到了浓厚的节日氛围．已知国旗(3号旗)的长DE 为192 cm，宽DC为129 cm，旗杆DB的长度为200 cm，DB与墙面AB的夹角∠DBG为35°，当国旗迎风展开后，点E到墙壁AB所在直线的距离约为________cm.(结果精确到0.1，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)

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11. 如图①，是一个由空心壳体和一个实心的半球体构成的不倒翁，图②是它的部分示意图，已知圆弧的圆心为点O ，CD 长为30 cm ，OA ，OB 为圆弧的半径，长为10 cm ，∠AOC

＝∠BOC ，AB ︵的长为4π cm ，当CD 向右摆动使点B 落在地面上(即圆弧与直线相切于点B )

时，则点D 到直线l 的距离约为________cm.(结果精确到1 cm ，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，3≈1.73)

12. 如图①是一座可供行人和非机动车行走的过路天桥的实物图，该天桥的一端是由一个四边形和两个三角形组成，如图②所示．其中AC 和BC 是非机动车行走的缓坡道，AB 是行人走的台阶式坡道，BD 和CE 是天桥的立柱，D 为AE 的中点．经测量，天桥的高度(天桥最高点到地面的距离)为6米，非机动车坡道与水平面的夹角为11.5°，BC 与AC 的夹角为23°，求坡道AB 的长度约为________米．(结果保留一位小数，参考数据：sin11.5°≈0.20，cos11.5°≈0.98，tan11.5°≈0.20，sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42，34≈5.83)

13. 如图①是某种躺椅的实物图，图②是其简化的结构示意图，已知扶手AB 与座板CD 都平行于地面，靠背DM 与支架OE 平行，前支架OE 与后支架OF 垂直，且分别与CD 交于点G 和点D ，AB 与DM 交于点N ，∠ODC ＝30°，ON ＝40 cm ，GE ＝30 cm ，MN ＝60 cm.则这种躺椅的高度约为________cm(即点M 到地面的高度)．(结果取整数，参考数据：3≈1.73)

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14. 某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图①所示(图②为其几何图形)．其中AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，EF ∥BC ，∠EAB ＝150°，AB ＝AE ＝1.2 m ，BC ＝2.4 m ，求图②中点E 到地面的高度(即EH 的长)为________m ．(结果精确到0.01 m ，参考数据：3≈1.732，栏杆宽度忽略不计)

15. 如图①是一个创意半圆桌柜实物图，图②是其正面示意图，桌柜的上部是一个半圆，桌面AB 是半圆的直径，隔层CD 是半圆的弦，柜脚EG 、FH 所在的直线经过圆心，EG ＝FH ，且AB 、CD 均平行于水平地面，某同学测得GH ＝100 cm ，∠EGH ＝∠FHG ＝60°，弧EF 最底端与地面的距离为2 cm.则桌面AB 的长度为________cm.

16. 图①是一个仰卧起坐健身器，它主要是由支架、坐垫、靠背和档位调节器组成．将图①仰卧起坐健身器的主体部分抽象成图②，靠背OD 与支架OA 所夹的角α可以用档位调节器绕点O 调节，量得OA ＝OD ＝900 mm ，∠CAB ＝20°，当靠背的角度α调到40°时， 点D 到地面的距离约为________mm .(结果精确到0.1 mm ，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

17. 图①是某游乐场的摩天轮，图②是它的正面示意图，已知摩天轮的半径为40

米，

每分钟绕圆心O匀速旋转15°，其最低点A离地面的距离AB为5米，小明从点A处登上摩天轮，5分钟后旋转到点C，此时他离地面的高度CD约为________米．(结果精确到0.1米，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)

参考答案

1. 14.6【解析】由题意得，在Rt△ABH中，AH＝AB·sin34°≈26×0.56≈14.6 cm.

2.68.3【解析】如解图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.∵∠ACB＝135°，∴∠ACD＝45°，∴△ADC为等腰直角三角形，设AD＝x，则CD＝x，BD＝50＋x，∵斜坡AB的坡度i＝1∶3，∴x∶(50＋x)＝1∶3，整理得(3－1)x＝50，解得x＝25(3＋1)≈68.

3.

3. 66【解析】在Rt△ADF中，AF＝30，DF＝24，由勾股定理得AD＝AF2－DF2＝302－242＝18.如解图，过点E作EH⊥AB，垂足为H，∵AE＝AD＋DC＋CE＝68，∴EH ＝AE·sin75°＝68·sin75°≈68×0.97＝65.96≈66(cm)．∴点E到AB的距离约为66 cm.

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4. 271.8 【解析】如解图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∴∠B ＝∠C ＝∠DEB ＝90°.∴四边形BCDE 是矩形．∴∠EDC ＝90°，BE ＝DC ＝44 cm.在Rt △AED 中，∠ADE ＝153°－90°＝63°，∴AE ＝AD ·sin63°≈256×0.89＝227.84 cm.∴AB ＝AE ＋BE ＝227.84＋44≈271.8 cm.∴线段AB 的长度约为271.8 cm

5. 0.9 【解析】如解图，过点B 作BH ⊥FC ，BI ⊥AG ，垂足分别为点H ，点I ，延长AG 交FC 于点J .在Rt △ABI 中，∵∠ABI ＝32.5°，∠AIB ＝90°，∴AI ＝AB ·sin32.5°≈0.8×0.54≈0.43.又∵∠BIJ ＝∠IJH ＝∠JHB ＝90°，∴四边形IJHB 为矩形．∴IJ ＝BH ＝0.3

6.∴点A 到地面的高度为AI ＋IJ ＋CD ＝AI ＋BH ＋CD ≈0.43＋0.36＋0.06＝0.85≈0.9 m .

6. 22 【解析】∵在Rt △DAE 中，AE ＝18.4，∠ADE ＝38°，∴AD ＝AE tan38°≈18.40.8

＝23.∴AC ＝AD ＋CD ≈23＋16＝39.在Rt △ABC 中，∵∠BCA ＝30°，∴AB ＝AC ·tan30°≈39×33≈22 m ．∴主塔AB 的高约为22 m .

7. 22.5 【解析】如解图，延长OB 交AC 于点D ，由题可知BD ⊥CA ，设BC ＝x ，则BO ＝OA －BC ＝(75－x )，在Rt △CBD 中，∵BD ＝BC ·sin ∠ACB ＝x ·sin37°≈0.6x ，∴DO ＝OB ＋BD ≈75－x ＋0.6x ＝(75－0.4x )，在Rt △AOD 中，DO ＝AO ·cos ∠AOD ＝75·cos37°≈60，∴75－0.4x ＝60，解得x ＝37.5，∴BD ≈0.6x ＝22.5 cm ，∴点B 到AC

的距离约为

22.5 cm.

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8. 27.0 【解析】如解图①，延长OA 交BC 于点F ，∵AO ⊥OE ，∴∠AOE ＝

90°.∵BC ∥OE ，∴∠BFO ＝∠AOE ＝90°.在Rt △ABF 中，AB ＝30 cm ，∵sin ∠B ＝AF AB

，∴AF ＝AB ·sin ∠B ＝30·sin70°≈30×0.94＝28.20 cm.∴AF －CD ＋AO ≈28.20－8＋6.8＝27.0 cm ，∴端点D 到桌面OE 的高度约为27.0 cm.

9. 解：(1)在Rt △ABE 中，BE ＝AE tan ∠ABE

， 在Rt △ACE 中，CE ＝AE tan ∠ACE

. 设AE ＝x m ，则x tan11°＋x tan31°

＝20， 解得x ≈2.89 m .

∴AG ＝AE ＋EG ≈2.89＋0.6≈3.5 m .

答：线段AG 的长度约为3.5 m ；(3分)

(2)如解图，当线段AF ⊥AC 时，

∵AE ⊥BC ，

∴∠F AE ＋∠CAG ＝90°，∠CAG ＋∠ACE ＝90°.

∴∠F AE ＝∠ACE ＝31°.

∴tan ∠F AG ＝tan31°＝FG AG

， ∴FG ＝AG ·tan31°≈3.5×0.6＝2.1 m .

答：点F 与点G 之间的距离约为2.1 m ．(8分)

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10. 271.4 【解析】如解图，分别过点D ，点E 作DM ⊥AB 的延长线于点M ，EN ⊥AB 的延长线于点N ，DH ⊥EN 于点H ，在Rt △DBM 中，sin ∠DBM ＝DM DB

，∴DM ＝200·sin35°≈114.∵∠EDC ＝∠CNB ＝90°，∠DCE ＝∠NCB ，∴∠DEC ＝∠CBN ＝35°.在Rt △DEH 中，cos ∠DEH ＝EH DE

，∴EH ＝192·cos35°≈157.44 cm.∴EN ＝EH ＋HN ＝EH ＋DM ≈157.44＋114≈271.4 cm.

11. 26 【解析】∵AB ︵的长为4π，∴4π＝nπ·10180

，∴n ＝72，∴∠AOB ＝72°，∵∠AOC ＝∠BOC ，∴∠BOC ＝36°，由题意知EF 为⊙O 的切线，∴OB ⊥EF ，∵DF ⊥EF ，∴∠EDF

＝∠BOC ＝36°，∴cos ∠EOB ＝OB OE ，∴0.81≈10OE

，∴OE ≈12.3 cm ，∴DE ＝DC －OC ＋OE ≈30－10＋12.3＝32.3 cm ，∴DF ≈32.3·cos D ≈32.3×0.81≈26 cm.∴点D 到直线l 的距离约为26 cm.

12. 11.7 【解析】如解图，过点C 作CH ⊥BD 于点H ，易证四边形DECH 为矩形，设AC 与BD 交于点G .∵CH ⊥BD ，BD ⊥AE ，∴CH ∥AE ，∴∠HCG ＝∠GAD ＝11.5°，又∵BC 与AC 的夹角为23°，∴∠BCH ＝23°－11.5°＝11.5°，即∠BCH ＝∠GCH ＝∠GAD ，又∵D 为AE 的中点，四边形DECH 为矩形，∴AD ＝DE ＝CH ，可证△ADG ≌△CHG ≌△CHB ，

∴DG ＝HG ＝HB ，由题可得BD ＝6，∴DG ＝HG ＝HB ＝13

BD ＝2，在Rt △ADG 中，DG ＝2，∠GAD ＝11.5°，∴AD ＝DG tan11.5°

≈10，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB ＝AD 2＋BD 2＝62＋102＝234≈11.7 m ，即AB 的长度约为11.7米．

13. 95 【解析】如解图，连接EF ，延长MN 交EF 于点H ，过 M 作MP ⊥EF 于点P .由题意知ON ∥GD ∥EF ，DN ∥OG ，∴∠NHP ＝∠E ，四边形OGDN 和OEHN 是平行四边形．∴GD ＝ON ＝40 cm ，NH ＝OE .∵∠DOG ＝90°，∠ODG ＝30°，∴∠NHP ＝∠E ＝∠

OGD

10 ＝60°，OG ＝GD ·sin30°＝20.∴NH ＝OE ＝OG ＋GE ＝50.在Rt △MHP 中，MH ＝MN ＋NH ＝110 cm ，∴MP ＝MH ·sin60°＝553≈95 cm.

14. 2.24 【解析】如解图，作AM ⊥EH 于点M ，则四边形ABHM 是矩形，∵∠EAB ＝150°，∴∠EAM ＝60°，又∵AB ＝AE ＝1.2 m ，∴EM ＝AE ·sin60°＝1.2×

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＝1.039≈1.04 m ，∴EH ＝EM ＋MH ＝1.04＋1.2＝2.24 m .

15. 1003－4 【解析】如解图所示，过O 作OP ⊥GH 于P ，连接OE 、OF .∵∠EGH

＝∠FHG ＝60°，GH ＝100，∴GP ＝12

GH ＝50，∴OP ＝GP ·tan60°＝50 3.∴AB ＝2(OP －2)＝(1003－4)cm.

16. 612 【解析】如解图，连接DA ，过点O 作OE ∥AB ，交AD 于点E ，过点O 作OF ⊥AB 交AB 于点F ，∵∠OAF ＝20°，OE ∥AB ，∴∠AOE ＝20°，∵∠DOA ＝40°，∴∠DOE ＝∠AOE ＝20°，又∵OA ＝OD ，∴OE ⊥DA ，∴AD ⊥AB ，点D 到地面距离即为DA ，在Rt △OEA 中，AE ＝OA ·sin20°≈900×0.34＝306，∴DA ＝2AE ≈612 mm .

17. 34.6 【解析】∵15×5°＝75°，∴∠AOC ＝75°，如解图，过点C 作

CE ⊥OB 于点E ，则四边形BDCE 是矩形，∴CD ＝BE ，∵∠AOC ＝75°，

OC ＝40，在Rt △OEC 中，cos ∠COE ＝

OE OC ，∴OE ＝OC

·cos ∠

COE

＝

40·cos75°≈10.4，∵OB＝OA＋AB＝45，∴CD＝EB＝OB－OE＝45－10.4＝34.6(米)．∴此时他离地面的高度CD约为34.6米．

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