《数的开方》全章复习与巩固--知识讲解（提高）

《数的开方》全章复习与巩固—知识讲解（提高）

【学习目标】

1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；

2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化； 3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一：平方根和立方根 类型 项目 被开方数 符号表示 平方根 非负数 立方根 任意实数 3?a 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； a 性质 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； (a)2?a(a?0)重要结论 (3a)3?a33?a(a?0) a?a????a(a?0)2a3?a?a??3a 要点二：实数

有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数??有理数：有限小数或无限循环小数?无理数：无限不循环小数

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按与0的大小关系分：

??正有理数正数???正无理数?? 实数?0

?负有理数?负数????负无理数?要点诠释：

（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．

（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5，32等；②有特殊意义的数， 如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…

（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点的对应关系

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应. 3.实数的三个非负性及性质

在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a的平方是非负数，即a≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即a?0 (a?0).

非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算

数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数

大；

法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反

而小；

法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

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【典型例题】

类型一、平方根和立方根

1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B；

【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：

【变式】下列说法其中错误的是（ ）

A．5是25的算术平方根

B．??4?的平方根是－4 C．??4?的立方根是－4

D．0的平方根与立方根都是0

【答案】B；

2、已知M是满足不等式?3?a?6的所有整数a的和，N是满足不等式x?的最大整数．求M＋N的平方根． 【答案与解析】

解：∵?3?a?6的所有整数有－1，0，1，2 所有整数的和M＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵x?3237?2237?237?2≈2，N是满足不等式x?的最大整数． 22 ∴N＝2

∴M＋N＝4，M＋N的平方根是±2.

【总结升华】先由已知条件确定M、N的值，再根据平方根的定义求出M＋N的平方根． 类型二、实数的概念与运算

3、（2014秋?章丘市校级期末）设x是﹣y﹣3|．

【思路点拨】求出的范围，得出x=5，y=【答案与解析】 解：∵＜＜，

∴5＜＜6， ∴x=5，y=﹣5， ∴|x﹣y﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3|

的整数部分，y是

的小数部分，化简|x

﹣5，代入求出即可．

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=|7﹣| =7﹣．

【总结升华】本题考查了估算无理数的大小和绝对值，解此题的关键是求出x、y的大小． 举一反三：

【变式】 已知5＋11的小数部分为a，5－11的小数部分为b，则a＋b的值是 ；

a－b的值是_______.

【答案】a?b?1;a?b?211?7；

提示：由题意可知a?11?3，b?4?11.

4、已知无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．

求10?π的值．（结果精确到百分位）

【思路点拨】先求出10?π的值的区间，再求出近似数． 【答案与解析】

解：∵无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．

∴3.1622－3.1416＜10?π＜3.1623－3.1415， 0.0206＜10?π＜0.0208， ∴10?π≈0.02．

【总结升华】中间过程应多保留一位小数. 举一反三：

【变式】（2015春?北京校级期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一

次探究活动：估算的近似值．

小明的方法：

∵＜＜，设=3+k（0＜k＜1），

22

∴（）=（3+k），

2

∴13=9+6k+k，

∴13≈9+6k，解得k≈， ∴

≈3+≈3.67．

2

2

2

（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b）=a+2ab+b，下面可参考使用）问题： （1）请你依照小明的方法，估算 ≈ （结果保留两位小数）； （2）请结合上述具体实例，概括出估算m的公式：已知非负整数a、b、m，若a＜m＜

a+1，且m=a+b，则m≈ （用含a、b的代数式表示）．

2

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【答案】（1）6.08；（2）．

=6+k（0＜k＜1），

解：（1）∵＜＜，设

22

∴（）=（6+k），

2

∴37=36+12k+k， ∴37≈36+12k，

解得k≈∴

， ≈6.08．

≈6+

故答案为：6.08；

（2）若a＜m＜a+1，且m=a+b，

则m≈a+故答案为：

类型三、实数综合应用

5、已知a、b满足2a?8?|b?3|?0，求a、b的值. 【答案与解析】

解：∵2a?8?|b?3|?0

∴2a＋8＝0, b－3＝0,解得a＝－4, b＝3【总结升华】先由非负数和为0，则几个非负数分别为0 解出a、b的值. 举一反三：

【变式】设a、b、c都是实数，且满足(2?a)?a?b?c?c?8?0， 求2a?3b?c的值. 【答案】

解：∵(2?a)2?a2?b?c?c?8?0

222

．

．

?2?a?0?a?2??2 ∴?a?b?c?0，解得?b?4

?c??8?c?8?0??∴2a?3b?c?4?12?8?0.

6、如图，数轴上A、B两点，表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点为C，

求点C所表示的实数．

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【思路点拨】首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数． 【答案与解析】

解：∵数轴上A、B两点，表示的数分别为－1和3，

∴点B到点A的距离为1＋3， 则点C到点A的距离也为1＋3， 设点C的坐标为x，

则点A到点C的距离为－1－x=1＋3， ∴x=－2－3．

【总结升华】此题主要考查了实数与数轴之间的定义关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点，则点C到点A的距离等于点B到点A的距离．两点之间的距离为两数差的绝对值．

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