贝塞尔光束（大论文） - 图文

Study of the propagation properties of

the Bessel beams

贝塞尔光束传播性质的研究

一级学科

学科专业 作者姓名 马秀波 指导教师

所在学院年 月

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中文摘要

关键词：

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ABSTRACT

Key words:

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独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 天津大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

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第一章 绪论

第一章 绪论

1.1 贝塞尔光束的研究现状

Durnin在1987年提出的所谓无衍射光束的概念，实际上就是（第一类）零阶贝塞尔光束。Durnin指出，在垂直于贝塞尔光束光轴的任一截面上，光强分布具有第一类零阶贝塞尔函数的形式[1]。无衍射光束的提出迅速在光学界掀起了研究的热潮，然而后来发现，贝塞尔光束只不过是无衍射光束中一个种类，常见的无衍射光束还有Mathieu光束[2]、airy光束等[3]。迄今为止，已经有大量的文献对贝塞尔光束的传输、产生及应用进行了研究。

1.1.1理想贝塞尔光束的光强分布及性质

理想的零阶贝塞尔光束的光强分布在垂直于传播方向的横截面上表现为一个中心光斑和许多同心的圆环,光强由内及外递减，并且光强分布在传播方向上不发生变化。Durnin指出，贝塞尔光束是自由空间标量波动方程

?21?2????22?E?r,t??0

c?t?? （1.1）

沿z轴传播的一组特殊解，在可以表示为：

1E(r,t)?exp[i(?z??t)]?[i?(xcos??ysin?)]d?2? 0?exp[i(?z??t)]J0????2?（1.2）

其中，?2?x2?y2，?2??2?(?/c)2，J0表示第一类零阶贝塞尔函数，?是横向波数，?为轴向波数，?为光的角速度。

根据（1.2）式，可以得到贝塞尔光束的横向光强分布，如图1-1所示。贝塞尔光束的光强I?J02(??),在贝塞尔光束的中心存在一个中心光斑，周围有许多旁瓣，形成环状结构；每个环形波瓣中的能量跟中心波瓣几乎是相等的[4]。在（1.2）式中的第二项是贝塞尔光束的积分形式，有着明确的物理含义：贝塞尔光束实际上是一种干涉场，可以视为由许多等振幅的平面子波相干叠加而成，这些平面子波的波矢量有着不同的方位角，但是跟z轴有相等的夹角，

?b?sin?1(?/k)，

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（1-3）

第一章 绪论

较全面的分析和评述26。近几年来,关于贝塞尔光束应用的研究发展很快。在下面的总结中，也只是列出涉及贝塞尔光束应用的少量文献。 1.1.4.1 激光打孔

贝塞尔光束极细的中心光斑和较大的焦深可用于激光打孔和成像。蒋志平等在1996年比较高斯光束和贝塞尔光束结论认为27，截断的贝塞尔光束的主极大具有很长的焦深，可降低调焦精度，用于打小孔时优于高斯光束，环状分布的贝塞尔光束经透镜后可在焦平面产生适用于激光打孔的贝塞尔－高斯光束，这是一种高效、简单实用的方法。同高斯光束比较，贝塞尔光束除了较大的焦深外，并不比高斯光束优越，由于所打孔本身的限制，两者的成孔质量和所能实现的深径比基本上是相同的。在2006年，Y.MATSUOKA等研究了贝塞尔光束打孔能量阈值跟不锈钢板厚度、光束的圆锥角之间的关系，得出以下结论：钢板越厚，贝塞尔光束穿透钢板的所需的能量阈值越大；贝塞尔光束的圆锥角越小，穿透钢板所需的能量阈值越小；同采用凸透镜聚焦光束比较，采用贝塞尔光束打孔，孔的锥角较小28。在2000年，J.Wagner和Z.Bouchal借助于4f光学系统，利用无衍射光束的自恢复性，实验获得了无规则物体的自成像29。 1.1.4.2 精密准直、光互联

贝塞尔光束有着极细的中心主极大，此外由于贝塞尔光束的自恢复特性，极小的物体在贝塞尔光束中几乎不存在阴影，这两个特性可应用于精密准直、光互联和物体的自成像。将两个物体都置于光束的中心就可以实现准直，因为中心光斑很小，准直精度很高。在1993年，MacDonald 等提出应用二元振幅型全息图的方法，将半导体激光转换成贝塞尔光束，并提出一种用于光学互联的精密准直方案,如图1-4所示30。

图 1-4 光学精密准直示意图

在图1-4所示光学系统中，需要精密准直的光学发射器（laser1）和接收器

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第一章 绪论

（detector）通过聚焦全息光学元件的衍射作用互联起来，它们可以位于不同的模块上。贝塞尔光束是各个模块准直的基准，laser2发出的激光经贝塞尔光束全息图后转换为贝塞尔光束。在1996年，MacDonald等利用贝塞尔光束的自恢复性，实现了多面板光学互联31。光互联采用光作为数据传递媒质，进行互联通信具有很多优于电互联的特点。采用光互联取代电互联是解决高速并行计算机中互联通信问题的中一个可行的方案。 1.1.4.3 带电粒子的加速

高能激光束加速带电粒子是一个活跃的研究领域。贝塞尔光束的主极大具有很长的焦深有利于为带电粒子提供较多的能量。在1990年，Scully和Zubairy指出贝塞尔光束优于高斯光束32。在1997年，蒋志平等研究指出，带电粒子在贝塞尔光束电场中获得的能量是高斯光束时的N倍，其中N为贝塞尔光束环形波瓣的数量26。在1999年，Hafizi等把贝塞尔光束引入到真空拍波加速器中33。在2005年，Dazhi和Kazuo提出了激光贝塞尔光束实现真空激光驱动加速的设计，应用环缝截断贝塞尔光束，消除电子进入减速相位时的减速，通过用数值方法求解运动方程，证实了加速机制为三段模式

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。

1.1.4.4 在非线性光学中的应用

在非线性光学中，非线性效应的强度与光强的高次方成正比，例如二次谐波的产生跟强度的二次方成正比。非线性效应的强度往往通过聚焦来提高，在焦点处，光的功率密度高，非线性效应就大。贝塞尔光束可以有大的传输距离中心光斑半径比，并且中心光斑的光强很大，因此，在1991年，Herman和Wiggins提出可用于非线性光学。在1993年，Wulle和Herminghaus研究了贝塞尔光束在非线性光学媒质KDP(磷酸二氢钾)中二次谐波的产生（SHG）。他们发现位相匹配效应取决于贝塞尔光束的纵向波矢量，但是可以通过适当的聚焦光束来调谐。他们建议在贝塞尔光束可以应用于传统上难以实现相位匹配的情况，例如标准温度和角相位匹配条件不适合的新的非线性材料。二次谐波的产生跟光强的平方和非线性晶体的长度成正比。贝塞尔光束具有很长的焦深，似乎该有很强的非线性效应，但是在1999年，在实验比较了贝塞尔光束和高斯光束的二次谐波产生后，Arlt等发现贝塞尔光束的转换效率并不比Boyd-Kleinman聚焦的高斯光束高，这种现象产生的原因是贝塞尔光束的能量几乎相等的分布在各个波瓣中。在试验中Arlt等采用的非线性材料是三硼酸锂（LBO）,实验结果跟他们的模型一致。

光学参数振荡器是把泵浦光转化为信号光和闲置光的装置。在 1998年，

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第一章 绪论

Belyi等首先在理论上考虑了以贝塞尔光束为泵浦的光学参数振荡器，理想贝塞尔光束同高斯光束比较，作为泵浦光具有较高的转换效率。Piskarskas等在1997年首先制作出以贝塞尔光束为泵浦光的参数振荡器装置，这个装置基于磷酸氧钛钾 (KTP)晶体，由于非共线性位相匹配，输出光束由中心光斑和光环组成。在2001年，Binks和King的研究表明以贝塞尔光束为泵浦光并没有什么实际的优点。可见贝塞尔光束用于泵浦光学参数振荡器也是存在不足的。

还有许多其它波混合效应也利用贝塞尔光束进行了研究。以贝塞尔光束为泵浦光，Klewitz等在1995年研究了丙酮的受激拉曼散射35，Niggl和Maier在1997年研究了的氢气的受激拉曼散射。Biswas等在2002年发现应用贝塞尔光束可以大大的改善光折射放大器的性能37。Tewari等在1995年研究三次谐波的产生38，Peet分别与Tsubin和Shchemeljov在1997年和2002年研究了研究了用贝塞尔光束或者其它锥形光束共振增强三次谐波的产生3940。 1.1.4.5 粒子操纵和导引及其在统计物理学和原子光学中的应用

在1986年，A.Ashkin等利用一束强汇聚激光束成功地实现了对生物微粒的三维捕获41，这一现象被形象的称为光阱或光镊。光镊具有非接触、低损伤等优点，在分子生物学、胶体科学、原子物理等领域中具有极其重要的作用。贝塞尔光束的横向光强分布是由中心光斑和周围的许多环形波瓣组成的。在2001年，Arlt等应用贝塞尔光束作为光镊实现了对粒子的光学操纵42。贝塞尔光束光强分布特点使得贝塞尔光束可以同时捕获高低折射率的粒子。低折射率的粒子被俘获在亮环间黑暗区域，而高折射率的粒子则被俘获在亮环上。在2002年，Garces-Chavez等利用贝塞尔光束的自恢复特性实现了对粒子多平面俘获。

物理学中的许多现象都跟粒子从亚稳态活动逃逸有关，而且许多在理论上的预言还有待实验研究。在统计物理学领域, 贝塞尔光束作为工具光镊，可以用来研究在外势阱中做布朗运动的粒子。一个处于光阱中的粒子是说明这种情况物理本质的一个极好的系统43。在光阱中这样的一个粒子通过布朗运动可以经由热激发逃离光阱,我们可以研究一个粒子在谐振子势以及类似棘轮势中的运动。贝塞尔光束为研究粒子在二维圆对称光势阱中的跃迁提供了一个重要途径。贝塞尔光束的几何形状对于这项工作在一些方面存在着优势。贝塞尔光束振幅的下降与到贝塞尔光束中心对称轴的距离成反比。贝塞尔光束周围的大量的环形波瓣有助于粒子的混合过程，可以利用热激发把一个大区域内粒子装载到光束中心。

在2003年，Tatarkova等研究了粒子在贝塞尔光束中运动，他们对贝塞

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第一章 绪论

尔光束进行剪裁，使之具有导向几何形状势，应用导向几何形状的光势实现了粒子的装载，观察到粒子（二氧化硅微球）在涨落驱动下向贝塞尔光束中心的积聚。粒子被贝塞尔光束的环形波瓣引导到光束中心，被梯度力限制在光束中心的狭窄区域，被辐射压力推向光束的传播方向。尽管贝塞尔光束不能提供三维光阱，但是贝塞尔光束中心对粒子的囚禁，同光压相配合，可以实现可控长距离光导44。在2007年，Milne等研究了二氧化硅微球在贝塞尔光束中的运动，他们没有对贝塞尔光束进行剪裁，观察到了二氧化硅微球在光束环形波瓣之间的跳跃行为，如图1-5所示。有趣的是，大小不同的粒子在贝塞尔光束中迁移的表现不同，小的粒子可以被“锁定”在光势阱中，只能缓慢的向光束的中心移动，大的粒子和小的粒子不同，大的粒子不能被锁定在光束的环形波瓣上，而是可以很快地向光束的中心迁移45。这对于粒子的分拣和分离是有意义的。

贝塞尔光束作为光镊在原子光学中也获得了应用。光施加在原子上的光偶极力或者梯度力的大小，取决于光频相对于原子谐振频率的失谐程度。在本质上，这种梯度力是跟光镊对微粒的梯度力相同的。如果光频大于原子谐振频率，原子会被高光强排斥，因此在二维或三维空间中，中空的区域可以用来囚禁原子。如果光频小于原子谐振频率，原子就给受到高光强的吸引。两种不同形式的失谐光产生两种原子偶极阱或者原子导引。后者可以用来传输原子较大的距离，而梯度力则抵制原子系综在空间中的扩散。粗略的说，红失谐导引，由于为了消除导引束的热效应远离共振频率，要求较高的功率。蓝失谐导引则需要较小的功率，频率可以很接近共振频率，因为原子位于距离光场较远的地方，相对较少跟光场发生相互作用。贝塞尔光束可以用作光偶极阱。轴棱镜产生的贝塞尔光束，可以独立的控制中心最大值的大小和距离，可以得到具有很大长（深）宽比的光偶极阱46。

图 1-5二氧化硅微球在贝塞尔光场中的运动。

利用不同贝塞尔光束的干涉、叠加形成的新的光场，可以更好的发挥贝

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第一章 绪论

塞尔光束作为光镊的功能。贝塞尔光束可以用来产生“冰冻波”，冰冻波在光镊、原子导引、粒子囚禁、光手术刀等方面有所应用。Rached在2004年提出用同频率不同贝塞尔光束的叠加来获得“冰冻波”的理论47。冰冻波的纵向强度分布可以在传播方向上选定的区间内，近似为任意地需要的形状，保持静止。Dartora等在2007年提出用连续的贝塞尔光束的叠加获得冰冻波48。在2004年，Ahluwalia等提出了用两个具有不同径向波矢量的贝塞尔光束干涉产生瓶光束的方法49。瓶光束50具有三维封闭的暗中空区域和极高的强度梯度，可以作为光镊等工具囚禁粒子、原子、分子等，也可以用于冷却中性原子、分子，甚至实现全光学冷却。

1.2贝塞尔光束的国内研究现状

关于贝塞尔光束在国内的研究，主要有国防科技大学、四川大学、华侨大学、华中理工大学、华中科技大学、山东师范大学、国防科技大学、厦门大学等，研究范围涉及到贝塞尔光束的传播性质、产生和应用。尽管总体而言,国内对无衍射光束的研究处于一种追随状态,但是也取得了许多重要成果。

在贝塞尔光束传输性质的研究，吴健最先在1992年介绍了无衍射光束的概念，并讨论了该光束的物理机制和应用前景；在1994年，吕百达对无衍射光束和相关概念进行了评注52；邓锡铭，郭弘等给出了无衍射发散光束的判据53；关于孔径函数对贝塞尔光束轴上光强分布的影响，蒋志平在1995年发现了孔径函数的平方跟贝塞尔光束轴上光强分布的相似性12；谢兴龙，陈绍和等在1999年讨论了无衍射光束的判据，指出衍射实质上是波动方程的非本征解光束在传输过程中趋于本征解光束的过程54；在2009年，吴逢铁，刘彬等研究了离轴障碍物贝塞尔光束的重建，得出结论：对于离轴障碍物，比较同样尺寸的轴上障碍物，贝塞尔光束的重建需要更长的距离55。

在贝塞尔光束的产生研究，周静，施文敏等在1994年提出了轴棱镜的二元设计方法，并给出了计算机模拟的实验结果；蔡邦维，吕百达等在1994年利用正负轴棱镜的组合系统将高斯光束转化为贝塞尔光束，该系统能够实现多种形式的光束传输变换，例如空心光束和实心光束的转换，在激光打孔、圆柱形工件热处理、焊接、切片、高精度准直技术中都具有非常的应用价值57；赵斌，李柱在1997年研究了平行光倾斜入射时,轴棱镜对光束的变换58；王海涛，殷纯永等在1999年用二元光学方法制成的器件，无衍射传播的范围达到百米以上，而光斑的直径不到5毫米59；周丽萍，赵斌等在2001年研究了

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第一章 绪论

轴棱镜的锥面存在加工误差对光束传输变换的影响60；吴逢铁在2009年研究了轴棱镜顶点加工精度对光束传输特性的影响，对轴棱镜的实际加工具有指导意义。

在贝塞尔光束的应用研究，张青等在1997年将无衍射光束应用到直线度误差测量系统中获得了较高的测量精度61；吕丽萍，赵斌等在1997年首次提出将贝塞尔光束作为入射光束，应用于激光三角测量系统，解决传统三角测量系统无法满足大量程和高分辨率测量要求的问题62；赵斌在2003年提出用无衍射光和环光栅重叠产生莫尔条纹来进行空间直线度测量的技术，给出了理论分析、仪器结构和实验原理63；王中宇等在2006年将无衍射光束跟传统莫尔条纹技术相结合，并且应用于光电瞄准系统中，提出了相应的瞄准跟踪技术64；根据无衍射光具有线焦的特性，翟中生在2008年利用轴棱镜产生无衍射光，将贝塞尔光束应用到成像系统中增大光学系统的景深，根据应用的不同设计了1：1大景深成像系统、望远成像系统和显微成像系统65；在2009年，叶瑞芳把无衍射光引入到水导引激光加工技术中，利用无衍射光束中心光斑小，准直范围长的特性，采用轴棱镜替代水导引激光系统中的聚焦透镜，简化了光学系统结构，解决了系统的调焦和像差难题，能够同时检测激光与喷嘴的同轴耦合情况、水中的气泡情况以及喷嘴的损坏情况66。

1.3 本文的主要研究意义和内容

大气激光通信是以激光为信息载体的一种大气通信技术，相比于传统的微波通信，它具有频带宽，信息量大，保密性好的优点；相比于光纤通信，它具有安装费用低，环境适应性强的特点。高斯激光束具有一定的发散角，随着传输距离的增加，光斑的直径会随之增大，这要求在信号接收端的天线孔径很大，但是靠增大接收机接收天线的孔径来降低光束扩展损耗，不仅成本高，而且使接受设备体积和重量很大，不仅在技术很难满足，而且运送和安装也很不方便。如果用近似无衍射光束代替高斯光束，作为信息的载体，可以发挥贝塞尔光束的中心光斑大小和光强恒定的优势，有利于提高能量的利用率，提高通信的保密性；其次因为无衍射光束不需要聚焦，可以省掉接收端的光学天线，简化系统的结构。这些优点使得无衍射光束在无线激光通信中有很大的潜在应用价值。

微粒测量技术广泛的应用于化工、医药、环保、大气等领域，对于有效地测量与监控颗粒粒度及其分布，控制环境污染、提高产品质量、降低能源消耗等具有重要意义。利用光散射技术测量微粒大小及其分布，以其适用

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第一章 绪论

性广、粒径测量范围宽、测量准确、精度高、重复性好、测量速度快，并且特别适合在线测量等优点在小颗粒测量领域得到广泛重视。微粒测量技术是建立在粒子对光束散射性质研究的基础上的，主要是基于Mie散射理论及其近似理论。对于贝塞尔光束的Mie散射研究，有望将贝塞尔光束的应用范围扩展到微粒测量的技术领域。

论文主要包括以下内容：（1）对贝塞尔光束的研究现状进行了总结。（2）研究了超高斯贝塞尔光束在弱湍流空气中传播。（3）研究了球形粒子对理想贝塞尔光束的散射。（4）研究了球形粒子对高斯贝塞尔光束的散射。（5）利用轴棱镜产生近似无衍射光束，通过实验证实了散射理论的正确性。

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第二章 理论基础

第二章 理论基础

2.1 光的电磁理论

光波是一种电磁波，具有电磁波的所有性质，在介质中的传播服从麦克斯韦方程。从麦克斯韦方程组出发，结合具体的边界条件以及初始条件，可以定量的研究光的各种传输特性。麦克斯韦方程组的微分形式为：

??B=0????D=??， （2-1） ???E=-?B/?t?????H=J+?D/?t其中，B为磁感应强度，D为电位移矢量，E为电场强度，H为磁感应强度，

J为传导电流密度。光波在各种介质中的传播过程实际上就是光与介质相互

作用的过程。在运用麦克斯韦方程组处理光的传播特性时，必须考虑介质的属性，以及介质对电磁场量的影响。当媒质为各向同性的线性媒质时，麦克斯韦方程中的矢量满足下列关系式：

?D??E??B=?H， （2-2） ?J=?E?其中,?、?和?分别表示媒质的介电常数、磁导率和电导率，统称为媒质的特性参数。光在不同媒质中传播时，在界面上媒质的特性参数发生突变，界面上出现的束缚电荷和束缚电流，使场量发生突变而不再连续。根据麦克斯韦方程组可以导出四个边界条件。在最一般的情况下，不同媒质分界面上的电磁场边界条件为：

?n?(B2?B1)?0?n?(D?D)???21s （2-3） ?n?(E?E)?021???n?(H2?H1)?Js其中，n表示分界面法线的单位矢量，方向由媒质2指向媒质1，?s和Js分别表示面电荷和面电流的密度。

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第二章 理论基础

根据麦克斯韦方程（2-1）和麦克斯韦方程中矢量满足的关系式（2-2）可得媒质中的波动方程：

?2?E?2E?E-?????2?0???t?t。 （2-4） ?2??2H-???H????H?0??t?t2?对于各向同性的非耗散性媒质，上述波动方程转化为无阻尼波动方程： ??0，

?2?2E?E-??2?0???t , ?2??2H-???H?0??t2? （2-5）

它表示E和H的时空变化关系。该波动方程表明：光波在介质中的传播速度为1??；当光波在真空中传播时，光速为1?0?0，?0和?0表示真空的介电

常数和真空磁导率。单色平面波是麦克斯韦方程的一种特解，它表示为

E(r,t)?E0exp[i(k?r-?t)]

（2-6）

其中E0为光波电场的振幅矢量；?表示单色平面波的角频率；r为空间位置坐标矢量；k为波矢。麦克斯韦方程的通解可以表示为一系列单色平面波的线性叠加。真空是无源、无耗的理想介质，在这样的理想介质中电磁场所满足的波动方程，称为齐次亥姆霍兹方程。把（2-6）代入（2-5），可得齐次亥姆霍兹方程：

??2E?k2E?0?。 （2-7） ?22???H?kH?0虽然光波中同时具有E振动和H振动，但是在光与物质的相互作用中通常是电场起作用。因此，在光学中通常把E称为光矢量。光波的传播过程也就是电磁场的能量在空间的传播过程。电磁场的能流密度可以用坡印亭

（Poynting）矢量S的大小表示，坡印亭矢量跟电场矢量和磁场矢量的关系为：

S(r,t)?E(r,t)?H(r,t).

(2-8)

由于E和H是时间的函数，因此，理论上光波沿传播方向传播的能量在一个周期内是不均匀的，即S是随时间变化的。由于光电探测器的响应时间远大于光的周期，因而测定光的瞬时振动是不可能的，探测器所测数值反映的是

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第二章 理论基础

探测时间内光场的平均能流密度。光场中某处的平均能流密度称为该点的光强，用I来表示。利用关系式?E??H,对于简谐波可以得到光强，

I(r)?12?2E0(r), （2-9） ?式中，E0(r)表示光场中位置矢量r处电场的振幅。光强也可以用折射率表示为

I(r)?n2?c2E0(r),

（2-10）

其中n为媒质的折射率，c为光速。若考察同一介质中光的传播，n也是常数，

I(r)的变化由E02(r)确定。在许多实际问题中关心的只是光强的空间分布，即

光场中各处的相对强度，这时可以舍弃（2-10）中的常系数，而直接把光强写为

2I(r)?E0(r).

（2-11）

2.2 光的标量衍射理论

光的衍射是光具有波动性的表现，是光在传播过程中的普遍属性。光波是矢量波，要精确的解决光的衍射问题，必须考虑光波的矢量性，但是用矢量波的方法求解衍射问题很复杂。基尔霍夫的标量衍射理论把光波作为标量处理，也就是只考虑电磁场的一个横向分量的复振幅，并假定任何其他分量都可以用同样的方法独立处理。但是实际上电磁场矢量的各个分量是通过麦克斯韦方程组联系在一起的，不能独立处理。研究表明只要满足两个条件，即衍射孔径比波长大得多，观察点离衍射孔径不要太近，基尔霍夫的标量衍射理论取得满意的结果。在大多数情况下，这两个条件是可以满足的。如果不能满足以上两个条件，就必须把光场视为矢量场来考虑，才能得到准确的结果。

2.2.1 惠更斯-菲涅耳原理

惠更斯-菲涅耳原理（Huygens-Fresnel principle）是研究衍射现象的理论基础。 惠更斯-菲涅耳原理是在惠更斯子波假设与杨氏干涉原理的基础上提出的，是波动光学的基本原理，是处理衍射问题的理论基础。惠更斯-

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第二章 理论基础

菲涅耳原理可以表述如下：波前上的每一点都可以看作是次波的中心，光场中每一点的扰动是包围光源的任一闭曲面波前上所有点发出的次波在该点的相干叠加。从惠更斯-菲涅耳原理看来，干涉和衍射的本质是相同的，均为次波的相干叠加；其区别仅在于所处理的次波源是空间分离的还是空间连续的，其数学形式分别相应于求和与积分。

在各向同性、均匀、透明、无源介质中自由传播的单色光波，惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式，也就是菲涅耳衍射积分公式为：

%%(Q)F??,??exp?ikr?d?, （2-12） U(P)?KòU00??r?%式中，K为积分常数，U(Q)是面元d?（次波源）上Q点的复振幅，取其从

波源S自由传播到Q时的复振幅；r是面元d?到场点P的距离，k?2?/?，

exp(ikr)/r表明次波源发出的是球面波；?0和?分别是源点S和场点P相对次

波面元d?的方位角，F(?0,?)是关于方位角?0和?的函数，称为倾斜因子（inclination factor），它表明由面元发射的次波不是各向同性的。?面是将源点S和场点P隔开的任何曲面（波前）。如图2-1所示。

nd?QS??0?P

图 2-1 菲涅耳衍射积分示意图

菲涅尔衍射积分公式是菲涅耳凭朴素的直觉写出的，在60年后，基尔霍夫利用格林定理，通过假定衍射屏的边界条件，求解波动方程，导出了更严格的衍射公式，从而把惠更斯-菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论上。基尔霍夫证明只是菲涅耳给出的倾斜因子不对。基尔霍夫严格的公式推导证明，倾斜因子应取

F(?0,?)?1(cos?0?cos?). （2-13） 2基尔霍夫还推导出比例常数K的表达式为

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第二章 理论基础

K??i/?,

惠更斯-菲涅耳原理的提出不是为了解决光的自由传播问题，而是为了求有障碍物衍射场的分布。自然地将波前?取在包含衍射屏的位置上，如图2-2所示，波前?包含三部分：光孔部分?0、光屏部分?1和半径无穷大半球面?2。

%(Q)取自由传播时光场的值，而?上基尔霍夫边界条件假设?上的复振幅U001%(Q)取为零，菲涅耳衍射积分公式在?上积分值为零。把积分范围按照基U20尔霍夫边界条件改为透光部分?0，菲涅耳衍射积分公式化为：

?i%%(Q)exp(ikr)d?. （2-14） U(P)?(cos??cos?)U002???r?0

图 2-2 基尔霍夫边界条件的说明

经过基尔霍夫修正的上述积分公式被称为菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式（Fresnel-Kirchhoff fomula）。基尔霍夫衍射公式是比较一般的，处理光的衍射问题都可以归结为求解菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式。但是直接用来计算衍射场比较困难，具有实际意义的是做某些近似，用所得的近似公式计算一定范围内的衍射场分布。按照近似程度的不同，分为菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射。设孔径平面上Q点的坐标为?x0,y0,0?，场点P的坐标为?x,y,z?，那么可以将r表达为

22r?z?1??x?x0?/z2??y?y0?/z2???1/2 （2-15）

当?0???0成立时，?x?x0?/z2和 ?y?y0?/z2都是小量，把（2-15）作二项式展开得

222r?z?

?x?x0?2??y?y0?2z2??x?x0?2??y?y0?2?????? （2-16） ??8z318

第二章 理论基础

在孔径范围和观察范围确定后，只要z取得足够大，（2-14）中分母上的r可以近似的用z代替，但是对于相位因子而言，取（2-16）中的前两项而舍去全部高次项是可以的，r取这样的近似值不会引起明显的相位误差，这种近似称为菲涅耳近似或傍轴近似。

在傍轴条件下，（2-14）转化为

U(x,y)?exp(ikz)ik22U(x,y)exp[x?x?y?y]dx0dy0. （2-17） ????00000??i?z?02z用?表示孔径或观察波前的横向线度，我们称z2??2为傍轴条件。对于光波，当参与相干叠加的振动矢量近于平行时，可做标量处理。实际中傍轴的自然光满足这样的条件。

如果在菲涅耳近似的基础上，进一步限制衍射孔径的线度远小于传播距

22?y0离z，以至于?x0?/(2z)小到可以忽略；而观察范围的线度与z相比尽管很

小，但是还未到可以略去的程度，这种近似称为夫琅禾费近似或者远场近似。在远场近似条件下，（2-17）则进一步转化为：

U(x,y)?exp(ikz)k?k?exp?i(x2?y2)???U0(x0,y0)exp[?i(xx0?yy0)]dx0dy0.(2?18) i?zz?2z??0我们称z???2/?为远场条件，同样的?为孔径或观察波前的横向线度。

2.2.2 衍射的角谱理论

用g(x,y)表示xy平面上的物体分布，在相干照明下，g(x,y)就是xy平面上的复振幅分布，其模代表每一点的振幅，辐角代表每一点的初位相。利用傅立叶变换这一数学工具，复振幅分布g(x,y)可表示成

?g(x,y)?????G(?,?)exp[i2?(?x??y)]d?d?,

（2-19）

式中G(?,?)是g(x,y)的频谱。（2-19）表明物g(x,y)可以看作是由无数指数基元exp[i2?(?x??y)]叠加而成，叠加时任一确定频率(?,?)的指数基元权重是

G(?,?)d?d?，这些指数基元在物平面上的取向和周期随(?,?)的不同而各不

相同。也就是说，物函数g(x,y)可以分解为无穷数个不同频率(?,?)，不同取向(tan???/?)，不同权重(G(?,?)d?d?)的指数基元。指数基元

exp[i2?(?x??y)]代表一个传播方向余弦为(cos????,cos????)的单位振

幅的单色平面波，因此，（2-19）表示的物函数g(x,y)可以看作是不同方向传

19

第二章 理论基础

播的单色平面波分量的线性叠加。这些平面波分量的传播方向和空间频率

(?,?)相对应，其相应的振幅和常数相位取决于频谱G(?,?)，G(?,?)被称为

复振幅分布g(x,y)的空间频谱。因为??cos?/?，??cos?/?，G(?,?)也可用方向余弦表示，即

cos?cos?G(,)????????g(x,y)exp[?i2?(cos??x?cos??y)]dxdy （2-20）

这里将平面波的空间频率(?,?)与特定的传播方向(cos?,cos?)相对应，称 G(cos?/?,cos?/?为平面波的角谱。)在孔径平面上和观察平面上的光场分布，都可以分别看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。设孔径平面和观察平面上的场分布分别为U0(x0,y0)和U(x,y)，A0(cos?/?,cos?/?)和A(cos?/?,cos?/?)是它们相应的角谱，于是有

?U0(x0,y0)?????A0(cos?cos?cos?cos?cos?cos?,)exp[i2?(x0?y0)]d()d(),

??????（2-21）

?U0(x0,y0)?????A0(cos?cos?cos?cos?cos?cos?,)exp[i2?(x0?y0)]d()d()。

??????（2-22）

把（2-21）和（2-22）代入亥姆霍兹方程，可以确定A0(cos?/?,cos?/?)和

A(cos?/?,cos?/?)之间的关系为：

A(cos?cos?cos?cos?,)?A0(,)exp(ikz1?cos2??cos2?)。 （2-23）

????上式表明，知道了z?0平面上的光场的角谱就可以求出观察平面上的角谱，然后通过傅立叶逆变换求出观察面上的复振幅分布。该式同基尔霍夫衍射公式具有同等的价值。当传播方向余弦(cos?,cos?)满足cos2??cos2??1时，该式对应于空间某一确定方向传播的平面波。平面波在空间传播一定距离仅仅是引入了一定的相位移动，而振幅不发生变化，这与平面波的性质相一致。平面波在空间传播既不会改变方向，也不会改变振幅。

基尔霍夫理论是描述球面子波相干叠加的衍射理论，角谱理论是衍射的

20

第二章 理论基础

平面波理论。基尔霍夫理论是在空域讨论光的传播，把孔径平面上的光场看作点源的集合，观察平面上的场分布则等于它们所发出的带有不同权重因子的球面子波的相干叠加。角谱理论是在频域讨论光的传播，把孔径平面光场分布看作许多不同方向传播的平面波的线性组合，观察平面上的场分布仍然是这些平面波分量的相干叠加，但每个平面波分量引入了相移。基尔霍夫理论和角谱理论是统一的，它们都证明了光的传播现象可以看作线性不变系统。

2.3 光的量子理论

直到十九世纪末，光一直看作为经典的电磁波动，但是在20世纪初，黑

体辐射及光电效应等实验事实迫使人们重新认识光的本性，这种认识是有一定发展过程的。在普朗克量子假设中，只假定谐振子辐射光能是一份一份的，而光仍然以电磁波的形式连续分布在空间中。在爱因斯坦对光电效应的解释中，则进一步认为，光能不是在空间连续分布，而是以离散的形式集中存在于其载体光子上。光子作为微观粒子，和其他基本粒子一样具有能量、动量、和质量等，在相互作用中遵守能量和动量守恒定律。光子的独特之处在于它以光速c运动，必须按相对论观点处理。光的粒子属性（能量、动量、质量等）和波动属性（频率、波矢、偏振等）相联系，并归纳如下。

（1）光子的能量?与光波频率?对应，??h?，其中h?6.626?10?34J?s，（2）光子具有运动质量m，并可以表示为m??/c2?h?/c2，光子的静（3）光子的动量P与单色平面光波的波矢k对应，P=?k。

（4）光子具有两种可能的独立偏振状态，对应于光波场的两个独立偏振（5）光子具有自旋，并且自旋量子数为整数。大量光子的集合服从玻色光既表现出明显的波动性，又表现出粒子性，这就是光的波粒二象性。波动性和粒子性作为光的客观属性，二者总是同时存在的。只不过在一定条件下，波动的属性表现明显，而当条件改变后，粒子的属性又表现明显。例如，光在传播过程中所表现出的干涉、衍射等现象中波动性较为明显，这时往往把光看成是一列一列的光波组成的。而当光和物质相互作用时，如光的吸收、发射、光电效用等，其粒子性又较为明显，这时把光看成是一个一个光子组成的粒子流。

21

称为普朗克常数。 止质量为零。

方向。

-爱因斯坦分布，处于同一状态光子的数目是没有限制的。

第二章 理论基础

量子电动力学在理论上阐明了光的波粒二象性，从理论上把光的电磁波动理论和光子理论在电磁场量子化描述的基础上统一起来。在这种描述中，任意的电磁场可看作是一系列单色平面电磁波（以波矢kl为标志）的线性叠加，或一系列电磁波的本征模式（或本征状态）的叠加。每个本征模式所具有的能量是量子化的，即可以表示为基元能量的整数倍。同样本征模式的动量也可表示为基元动量的整数倍。具有相同能量和动量的光子彼此不可区分，因而处于同一模式。光子的模式和状态是等效的概念。

在经典力学中，质点的运动状态完全由其坐标(x,y,z)和动量(Px,Py,Pz)确定，质点的运动状态可以用广义笛卡尔坐标x、y、z、Px、Py、Pz所支撑的六维空间来描述，这种六维空间被称为相空间，相空间中的一点表示一个运动状态。但是光子的运动状态和经典宏观质点有着本质的区别，它受量子力学测不准关系的制约。测不准关系表明：微观粒子的坐标和动量不能同时准确测定，位置越准确，动量就越不确定。这种关系可直接有波动理论得到，它与量子力学并没有特别的联系，因为它表征了任何一种波的性质。对于一维运动情况，测不准关系表示为：

?x?Px?h.

动量的不确定度和位置的不确定度的乘积在数值上近似等于普朗克常数。在量子理论中不可能在使粒子局域化（?x?0）的同时，赋予粒子确定的动量（?px?0）。处于二维相空间面积元?x?Px?h之内的粒子运动状态，在物理上是不可区分的，因而属于同一运动状态。在三维情况下，测不准关系为：

?x?y?z?Px?Py?Pz?h3

即在六维相空间中，一个光子态占有的相空间体积元。上述相空间体积元称为相格。相格是相空间中用任何实验所能分辨的最小尺度。光子的某一运动状态只能定域在一个相格中，但不能确定它在相格中的对应位置。微观粒子和宏观粒子不同，它的运动状态在相空间中不是对应一点而是对应一个相格。这表明微观粒子运动的不连续性。

22

第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

3.1超高斯贝塞尔光束

在1995年，蒋志平首先引入了超高斯贝塞尔光束的概念，并且研究了其在真空中的传播性质67。超高斯贝塞尔光束实际上就是用超高斯函数调制得到的近似无衍射光束。在柱坐标(r,?,z)中，在z?0平面上，超高斯贝塞尔光束的数学形式为：

E(r,0)?A0exp[?(r/w0)n]J0(?r),

（3-1）

n]为超高斯函数，n为不小于2的正整其中A为振幅常数，exp[?(r/w0)数，w0为高斯函数的腰半径，J0(?)为第一类零阶贝塞尔函数，?为横向波数，它控制着贝塞尔光束中心最

Super-Gaussian Function10.80.60.40.20n=32n=16n=8n=4n=2大值的锐度。显然，当n?2时，超高斯贝塞尔光束就是贝塞尔高斯光束，因此也可以认为贝塞尔高斯光束是超高斯贝塞尔光束中的一种特殊情况。图（3-1）表明随着超高斯函数的阶数n的增大，超高斯函数的径向分布逐渐的趋向矩形函数，在衰

024r /mm6810图3-1归一化的超高斯函数

减部分比高斯函数更快。因此不同阶的超高斯函数作为孔径函数，对贝塞尔光束周围环形波瓣的影响不同。

研究激光光束在大气中的传输特性，对于遥感、跟踪以及无线激光通信等应用有着十分重要的意义。光束在大气湍流中传播时，由于大气湍流的影响，光束波前的相位会发生随机的起伏，从而导致光束的抖动、光强的起伏等现象。如果以无衍射光束作为信息的载体，可以利用其自恢复性，发挥其中心光斑大小和光强恒定的优势，可以减小大气湍流的影响；此外，由于无衍射光束不需要聚焦，可以简化信号接收系统的结构。研究光束在大气中传播时在空间中的光强分布特征，不但有利于提高通信的质量，还可以为激光通信系统的设计提供科学的依据。

23

第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

3.1.1 超高斯贝塞尔光束在真空中的传播

在柱坐标系(r,?,z)中，对于沿z轴对称的入射光束，略掉时间因子

exp(?i?t)，根据菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式，在傍轴条件下，入射光场

的空间分布为

kexp(ikz)ikkE(r,z)?exp(r2)?Einc(?,0)J0(r?)?d?.

iz2z2z0?（3-2）

其中波矢量的大小k?2?/?，?为光波的波长，Einc(?,0)为在z?0平面上的入射光场。根据光强的定义，可得入射光场的光强分布为：

kz22?I(r,z)??Einc(?,0)exp(0ik?kr?)J0()?d?, 2zz22 （3-3）

把超高斯贝塞尔光束在在z?0平面上的数学表达式（3-1）代入（3-3）得

k2 I(r,z)?2z?ik?2kr?nAexp[?(?/w)]J(??)exp()J()?d?. （3-4） 0000?2zz02根据（3-4）可以应用数学软件MATLAB，采用数值模拟的方法来分析超高斯贝塞尔光束的光强分布。

为了探讨问题的方便，取A0?1,选择光的波长??1550nm，之所以该种波长，是因为产生该波长光的设备在功率、传输距离以及视觉安全方面的优势。在（3-4）中令r?0，则可以得到超高斯贝塞尔光束的轴上光强分布，

I(r,z)?kz22?n?A0exp[?(?/w0)]J0(??)exp(0ik?)?d?. （3-5） 2z22（3-5）式表明超高斯贝塞尔光束的轴上光强是许多宽度为d?环面上光源发出的次波相干叠加的结果。因为不同阶的超高斯贝塞尔光束环形波瓣的不同，所以相应的轴上光强分布也存在着差异。

图3-2给出了超高斯贝塞尔光束的轴上光强分布，从中可以看出不同阶的超高斯函数对贝塞尔光束轴上光强的影响。显然，对于不同阶的超高斯贝塞尔光束，轴上光强的前半部分几乎是恒定的，但是后半部分则随着超高斯函数的阶数n值的增大呈现波动现象。根据选择的超高斯贝塞尔光束的参数：

w0?5cm,??200m?1，光的波长??1550nm，可以计算出光束无衍射传播距离,

zmax?2?w0/(??)?1000m.

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第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

以6阶超高斯贝塞尔光束为例，图3-3给出了其在不同位置的横向光强分布，显然，随着传播距离的增加，无衍射光束的环形波瓣的强度逐渐减小，正是由于环形波瓣的能量才使得中心光斑的大小基本保持不变。一旦周围环形波瓣向中心衍射的能量不足以补偿中心光斑衍射的能量损失，那么中心光斑的光强将逐渐减小。

1.21.151.1 axial intensity /a.u1.0510.950.90.850.80.75 0n=4n=6n=8100200300z /m400500600 ?1图3-2 超高斯贝塞尔光束的轴向光强分布（w0?5cm,??200m）

1.41.2z=400mz=500mz=600m transverse intensity /a.u10.80.60.40.20 -0.050r /m0.05 ?1图 3-3 超高斯贝塞尔光束的横向光强分布（n?6,w0?5cm,??200m）

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第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

3.1.2 超高斯贝塞尔光束在大气中的传播

由于湍流大气中折射率的随机不均匀分布，当电磁辐射通过它时，就会在不均匀元上产生散射，从而对原来稳定传播的电磁波产生扰动。散射体的折射率与周围介质相差很小，由于折射率的差异，光波的波阵面是一个随机面。湍流对光传播影响的本质就是改变了光波的原始波阵面。波阵面的改变可以用相位结构函数来描述。假定光源在z?0平面内，光源发出的光束在傍轴近似条件下在湍流介质中沿z轴正方向传播。在z?0平面内，光源的交叉谱密度函数表示为：

W(r1,r2,0,?)??E(r1,0,?)E*(r2,0,?)?,

（3-7）

其中，r1,r2为光源平面的任意二维位置矢量，?为光角频率，E(r,0,?)为光源平面内的电场分量，???表示系综平均。

根据广义的惠更斯-菲涅耳原理，在湍流介质中，光场的交叉谱密度可以表示为：

k2ikik22W(ρ1,ρ2,z,?)?W(r,r,0,?)exp[?(r?ρ)?(r?ρ)]?12112222?? 2z2z4?z?exp[?(r1,ρ1,z,?)??(r2,ρ2,z,?)]?d2r1d2r2, (3?8)其中ρ1,ρ2为接收平面的任意二维矢量；z为光束传输距离，被积函数中的第一个指数项表示光束自身的衍射效应，第二个指数项表示湍流效应；

?exp[?(r1,ρ1,z?,)??r(2ρ,2z,?,)]?表示湍流介质的系综平均，该项可以表示

为

?exp[?(r1,ρ1,z,?)??(r2,ρ2,z,?)]??exp[?0.5D?(r1?r2)]?exp[?(r1?r2)/?],220 （3-9）

22?3/5Cnkz)在（3-9）中，D?(r1?r2)为Rytov相位结构函数，?0?(0.545，表示

球面波在湍流介质中传输时的相干长度，Cn2是表示湍流强弱的折射率结构常数。折射率结构常数Cn2在光传播问题中扮演十分重要的角色，是大气光学中的基本参数之一。将（3-9）和（3-1）代入到（3-8）中，可得超高斯贝塞尔光束在湍流介质中的表达式为

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第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

A02W(?1,?2,?1,?2,z)?22?z exp[???2?2?????00002J0(?r1)J0(?r2)exp[?(r12?r22)/w0]?

ik1ikik2ik2(r1??12)?r1?1cos(?1??1)?(r2??2)?r2?2cos(?2??2)]?2zz2zz22 exp[?(r12?r22)/?0?2r1r2cos(?1??2)/?0]r1r2dr1dr2d?1d?2, ( 3-10)利用以下公式：

?ikr1?1exp[cos(?1??1)]??ilJl(kr1?1/z)exp[il(?1??1)], （3-11）

zl???2??exp[?in?1?02r1r2?20cos(?1??2)]d?1?2?exp(?in?2)In(2r1r2/?02), （3-12）

2??2?m?0,exp(im?)d?? ???0m?0,0 （3-13）

J?l(?r)?Jl(??r)?(?1)lJl(?r)

（3-14）

（3-10）可以化简为

A02k2W(?1,?2,?1,?2,z)?2zl????exp[il(????22??1)]??J0(?r1)J0(?r2)exp[?(r12?r22)/w0]?

00ik2ik22(r1??12)?(r22??2)exp[?(r12?r22)/?0]?2z2z2 Jl(kr1?1/z) Jl(kr2?2/z)Il(2r1r2/?0)r1r2dr1dr2, ( 3-15) exp[?在（3-15）中，令?1??2，?1??2??，可得超高斯贝塞尔光束在湍流介质中的光强表达式为：

A02k2W(?,z)?2zl??????J00???2(?r)J(?r)J(kr?/z) J(kr?/z)I(2rr/?0102l1l2l120)?

ik22(r1?r22)]exp[?(r12?r22)/?0]r1r2dr1dr2, ( 3-16)2z2 exp[?(r12?r22)/w0]exp[?对于超高斯贝塞尔光束在自由空间中传播的情况，可令光束在湍流介质中的

22?3/5Cnkz)相干长度表达式?0?(0.545为无穷大即可。令??0，根据（3-16）

可得超高斯贝塞尔光束轴上的光强分布。

图3-4 表示的是不同阶数（n?4,6,8）的超高斯贝塞尔光束在大气湍流中的轴上光强分布，光束参数w0?5cm，??200m?1，大气湍流强度

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第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

2Cn?10?14m?2/3。

1.1 1axial intensity /a.u0.90.80.7 0n=4n=6n=8100200300z /m400500600 图 3-4 超高斯贝塞尔光束在大气湍流中的轴上光强分布

（w0?5cm，??200m，Cn?10?12?14m?2/3）

1z=200mz=300mz=400m 0.8transverse intensity /a.u0.60.40.20 -0.1-0.050r /m0.050.1 2?14图3-5 超高斯贝塞尔光束(n?6)在湍流大气中（Cn?10强分布.

m?2/3）不同位置的横向光

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第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

1.41.2C2=10-16m-2/3nC2=10-15m-2/3nC2=10-14m-2/3n transverse intensity /a.u10.80.60.40.20 -0.1-0.050r /m0.050.1 图 3-6 超高斯贝塞尔光束在不同湍流强度同一位置（

（n?6,w0?5cm,??200m）.

?1z?400m）的横向光强分布

对比图3-4和图3-2说明，由于湍流的影响，轴上光强衰减明显的加剧了，光束无衍射性范围减小了，但是在短传输距离范围内，湍流的影响不大，光束基本保持了轴上光强的恒定。但是在更远的传播距离上，超高斯贝塞尔光束的轴上光强并不是一直递减的。贝塞尔高斯光束作为超高斯贝塞尔光束的特例，陈宝算等在2008年通过数值模拟发现，贝塞尔高斯光束在湍流大气中传播时，随着传播距离的增加，会逐渐变为空心光束，然后又由空心光束转化为高斯光束，以高斯光束的形式传播下去68。图3-5表示了6阶超高斯贝塞尔光束在大气湍流中不同位置处的横向光强分布，表明在一定的短距离传输范围内，贝塞尔光束中心光斑的大小也基本保持不变。图3-6表示超高斯贝塞尔光束在同一位置（z?400m），不同湍流强度下的横向光强分布，可见湍流强度在一定范围内变化时，轴上的光强，即横向光强分布的峰值仅有很小的变化。总之，超高斯贝塞尔光束在湍流大气中传播，在短距离传输范围内，光束可以较好的保持中心光斑的光强和大小分布。

3.1.3 本章小结

弱湍流理论是大气光学研究普遍采用的理论。本章基于广义惠更斯-菲涅耳原理和弱湍流理论，应用MATLAB数学软件，采用数值模拟的方法，研究了超高斯贝塞尔光束在大气湍流中的传播性质。

通过对比超高斯贝塞尔光束在真空中和在湍流大气中传播时轴上的光强分布，认为在弱湍流环境中，超高斯贝塞尔光束由于湍流的影响，其无衍射范围减小，只能在较短的距离范围内保持其无衍射性质，抵制湍流的影响，

29

第三章 超高斯贝塞尔光束的传播

从这一点看贝塞尔光束比较适合短距离的无线通信。因为不同的调制函数对贝塞尔光束的影响不同，在一定环境条件下，选择适当的超高斯函数作为调制函数可以更好的降低湍流的影响。这对于实际应用具有一定的指导意义。

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第4章 贝塞尔光束球散射

第四章 贝塞尔光束的球散射

当光束通过均匀的透明介质时，除传播方向外，在其他方向是看不到光的。而当光束通过不均匀介质时，就可以在侧面看到光束的轨迹。这种光束在通过不均匀介质时所产生的偏离原来传播方向，向四周散射的现象就是光的散射。利用粒子对光的散射特性可以确定粒子的大小、折射率、浓度等几何和物理性质，在各个领域许多方面都有广泛的应用。在自然界及工业生产中，很多物质及产品呈粒子状态，据统计，工业中有50%以上的产品与中间产品呈颗粒状。实际的粒子一般不是球形的，但是由于粒子所处方位的随机性，使粒子呈现球形的某些特征，因此，球形粒子的假设是可行的。目前关于贝塞尔光束的球形粒子散射特性的研究，从可以获得的文献资料看，只有Matston的工作研究了球形粒子在贝塞尔光束光轴上时球散射场的分布69。本章采用不同的方式求得贝塞尔光束的球散射场的解析形式，并且将研究工作扩展到球散射体在光束光轴附近情况。

4.1 Mie理论和球坐标系中的矢量波函数

70

在散射问题的处理方法中，例如米氏理论（Mie theory），T-矩阵法[71-72] ，

广义洛伦兹—米氏理论（Generalized Lorenz-Mie Theory）等[73]，经常将辐射场展开为球面矢量波函数的形式。米氏理论描述了一个在非吸收媒质中，各向同性、均质且非磁性的球形粒子对平面波的散射。米氏只是对球形导电粒子所引起的光散射进行了较全面的研究，并在1908年提出了微粒线度跟入射光波长可比拟时的散射理论。

米氏散射的主要特点是：

① 散射光强与偏振特性随散射粒子的尺寸变化。

② 散射光强随波长的变化规律是与波长的较低次幂成反比，即

I????1?n，

其中，n?1,2,3。n的具体取值取决于微粒尺寸。

③ 散射光的偏振度随r/?的增加而减小，这里r是散射粒子的线度，?是④ 当散射粒子的线度与光波长相近时，散射光强度对于光矢量振动平面入射光的波长。

的对称性被破坏，随着散射粒子线度的增大，沿入射光方向的散射光强将大

31

第4章 贝塞尔光束球散射

于逆入射光方向的散射光强。当微粒线度继续增大时，在入射光方向的散射光强明显占优势，并产生一系列次极大值。

斯特莱顿（Stratton）首先用球面矢量波函数对米氏理论给出了现代的概述，用数学形式将米氏理论与光的传播问题联系起来。概括的说，米氏理论确定散射场的过程就是把入射场、散射场和散射体内部场用球面矢量波函数表示，再用电磁场的边界条件将三者联系起来求解方程从而确定散射系数的过程。

球面矢量波函数是满足矢量亥姆霍兹（Helmholtz）方程（?2E?k2E?0）的解，是用三个矢量L、M、N表示的，它们的定义分别为：

L=??,M=??(?ec), N?1/k??M. （4-1）

其中ec为单位常矢量，在球坐标系中被位置矢量r代替；?为满足标量亥姆霍兹方程?2??k2??0的标量函数。三个矢量波函数都满足奇次矢量亥姆霍兹方程?2E+k2E=0，M和N是无散的，即

??M=0,??N=0. （4-2）

但L是无旋的。矢量M和N适宜于表示电场和磁场，因为它们互为旋度，即

M=1/k??N,N=1/k??M, （4-3）

M和N之间，以及M和L之间相互正交。在无源区中，M和N构成无散场

的完备解。斯特莱顿采用的球面矢量波函数的形式为：

Meomn??sincosmdm???zn(kr)??zn(kr)Pnm(cos?)m?ePn(cos?)m?ecossinsin?d?, (4-4)

Neomncoscosn(n?1)1ddnm????zn(kr)Pn(cos?)m?er?[rzn(kr)]Pm(cos?)m?esinsinkrkrdrd?sinmdn??. (4-5)?[rzn(kr)]Pm(cos?)m?ecoskrsin?dr

n(?)表示连带勒让德函数，zn(?)表示球贝塞尔其中zn(?)表示球贝塞尔函数，Pm函数。矢量波函数是满足矢量波方程的解，其中下标e和o表示它们跟标量

32

第4章 贝塞尔光束球散射

波方程在球坐标系中含相同下标的解的联系。

标量波方程?2??k2??0在球坐标系中的解为：

?emn?cosm?Pmn(cos?)zn(kr)???omn?sinm?Pmn(cos?)zn(kr)???。

(4-6)

假定半径为a，传播常数为k1的球处于无限大的均匀媒质k2中。电矢量沿x轴方向极化的平面波沿z轴正向传播，那么这个平面波的电场矢量和磁场矢量用球面矢量波函数表示为：

???n?1?，

k2E0?n2n?1(1)?Hi??i(Me(1)?1n?iNo1n)??2?n?1n(n?1)?Ei?E0?in?2n?1(1)(1)(Mo1n?iNe1n)n(n?1) (4-7)

其中，E0为振幅，上标（1）表示矢量波函数中的球贝塞尔函数为第一类。将球内场和散射场做同样的展开，在矢量波函数中球贝塞尔函数的选择上，要遵循表达式在包括原点在内的任一点上都有特别意义的原则。对于球内场，采用第一类球贝塞尔函数，对于散射场，由于在球散射体外，不存在有原点的奇性问题，因此选择第三类球贝塞尔函数。球内场的表达式：

???n?1?, (4-8)

k1E0?n2n?1t(1)t(1)?Ht??i(bnMe1n?ianNo?1n)??1?n?1n(n?1)?Et?E0?in?2n?1t(1)t(anMo1n?ibnNe(1)1n)n(n?1)球外散射场的表达式：

???n?1?。

k2E0?n2n?1r(3)r(3)?Hr??i(bnMe1n?ianNo?1n)??2?n?1n(n?1)?Er?E0?in?2n?1r(3)(anMo1n?ibnrNe(3)1n)n(n?1)（4-9）

在球散射体的表面，电磁场满足边界条件：

r?a???r?(Ei?Er)?e?r?Et?， e?r?(Hi?Hr)?e?r?Ht?e?

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（4-10）

第4章 贝塞尔光束球散射

显然，边界条件将入射场，球内场及散射场联系到一起，原则上就可以解出

ttrr,bn,bn各项系数（an）和（an）。从散射的观点看，最重要的是散射场的系数rr,bn（an），只要确定了散射系数，散射场的形式就确定下来。

米氏理论是现在光散射微粒测量技术的理论基础。广义洛伦兹—米氏理

论（Generalized Lorenz-Mie Theory)则是在米氏散射理论基础上逐步发展起来的，是解决任意光束均质电介质球散射问题的一个重要工具，其中一个重要的步骤就是把光束展开为球面矢量波函数或者球谐函数的级数形式7475，确定束形因子，也就是确定展开系数。

因为球面矢量波函数是矢量亥姆霍兹方程的一组完备解[76]，所以任何满足矢量亥姆霍兹方程的解，都可以表示为球面矢量波函数线性组合的形式。在下面贝塞尔光束球散射场推导过程中，同米氏理论中采用的球面矢量波函数不同，球面矢量波函数采用下面的形式：

(?)(?)????mn(cos?)e??], Mmn?zn(kr)exp(im?)[i?mn(cos?)e （4-11）

Nmn?(?)zn(kr)1d(?)?r??exp(im?)n(n?1)Pnm(cos?)e[krzn(kr)]exp(im?)krkrd(kr)?θ?i?mn(cos?)e??], ?[?mn(cos?)e （4-12）

(?)(kr)代表各这里的球面矢量波函数同样省略掉了时间因子exp(?i?t)，其中zn类球贝塞尔函数，（??1,2,3,4），即

(1)?zn(kr)?jn(kr)?(2)?zn(kr)?yn(kr) ?(3)； (1)?zn(kr)?hn(kr)?z(4)(kr)?h(2)(kr)n?nmm??(cos?)?Pn(cos?)mn?sin?? ?， m??(cos?)?dPn(cos?)mn?d????表示球坐标系的单位矢量；k是光在媒质中的波数；?r,e??和 e其中，ePnm(cos?) 表示n阶m次的连带勒让德多项式，其定义为：

P(x)?(?1)(1?x)mnm2m2dmP(x), mndx （4-13）

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第4章 贝塞尔光束球散射

Pn(x)表示勒让德函数。勒让德函数Pn(x)跟连带勒让德多项式的关系为：Pn0(x)?Pn(x)。Pn?m跟Pnm之间满足简单的正比关系：

Pn?m(x)?(?1)m(n?m)!mPn(x)。

(n?m)! （4-14）

4.2贝塞尔光束的球面矢量波函数展开

贝塞尔光束可以视为沿z轴传播的无穷多平面波的相干叠加，这些平面波的波矢量位于一个锥体上，并且跟z轴有相同的夹角，这个夹角被称为贝塞尔光束圆锥角（conical angle）。贝塞尔光束圆锥角是贝塞尔光束的一个重要参数，贝塞尔光束的中心光斑的半径?跟圆锥角?B的关系为：

??2.405/(ksin?B)。

考虑球散射体的中心在直角坐标系O?XYZ中位置O?(x0,y0,z0) 处，暴露在沿

Z轴传播的偏振贝塞尔光束中的情况。

图4-1 以球散射体为坐标原点的坐标系示意图

建立以球散射体中心为原点球坐标系O??r??，如图4-1所示。在图4-1所示的球坐标系中，偏振态的贝塞尔光束可以表示为：

2?Ei(r)?E0??e(?,?)exp[ik?(r00+r)]d?,

（4-15）

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第4章 贝塞尔光束球散射

其中E0是光束的电矢量的峰值振幅；e(?,?)表示偏振方向的矢量；

e(?,?)exp[ik?(r0+r)]表示波矢量为k=(k,?,?)的平面波，角?就是贝塞尔光

束的圆锥角?B，r0(x0,y0,z0)表示球散射体在直角坐标系中的位置矢量，而r表示空间中任意一点P在球坐标系中的位置矢量。对于沿x轴偏振的贝塞尔光束和沿y轴偏振的贝塞尔光束，表示偏振方向的矢量e(?,?)分别为：

?x(?,?)?sin?cos?e?r(?,?)?cos?cos?e??(?,?)?sin?e??(?,?)e,（4-16）

?y(?,?)?sin?sin?e?r(??????e?,?)?cos?sin?e(,?)?cos?e(?,)。（4-17）

在以球散射体中心为坐标原点的球坐标系（O??r??）中，平面波可以展开为球面矢量波函数级数的形式：

e(?,?)exp(ik?r)???n?1m??n?Dnmn11???（4-18） pM(kr)?qN(kr)?mnmnmnmn??,

其中，Dmn为归一化常数，Dmn?(2n?1)(n-m)!，展开系数分别为：

2n(n?1)(n?m)!n?1??(?,?)-i?mn(cos?)e??(?,?)],??p??2iexp(?im?)e(?,?)[?mn(cos?)e?mn（4-19） ?n?1??(?,?)-i?mn(cos?)e??(?,?)].???2iexp(?im?)e(?,?)[?mn(cos?)e??qmn对于沿x轴偏振的贝塞尔光束，把（4-6）代入（4-9）得，

???2in?1exp(?im?)[cos?cos??mn(cos?)+isin??mn(cos?)],??pmn （4-20） ?n?1???qmn??2iexp(?im?)[cos?cos??mn(cos?)+isin??mn(cos?)].对于沿y轴偏振的贝塞尔光束，把（4-7）代入（4-9）得，

???2in?1exp(?im?)[cos?sin??mn(cos?)-icos??mn(cos?)],??pmn （4-21） ?n?1???qmn??2iexp(?im?)[cos?sin??mn(cos?)-icos??mn(cos?)].???/2)因为sin??cos(，?cos??sin(???/2)，所以（4-21）可以表示为下面形式：

???2in?1exp(?im?)[cos?cos(???/2)?mn(cos?)+isin(???/2)?mn(cos?)],??pmn ?n?1???qmn??2iexp(?im?)[cos?cos(???/2)?mn(cos?)+isin(???/2)?mn(cos?)].

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（4-22）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/05l7.html