11-12--13-14-2《高等数学A（工科数学分析）》第二学期期末考试试卷（统计分析）

河南理工大学 2011-2012 学年第 二 学期《高等数学a》试卷（A卷）

空间解析几何题目

11-12(４分)向量a??4,?3,4?在向量b??2,2,1?上的投影是 ．

x?4y?3z??的平面方程． 11-12(8分)求过点?3,1,?2?且通过直线521x2y22?11-12(４分)求曲面z?在点?6,2,5?处的切平面方程为 4912-13(5分)设向量a??2,1,2?，求与向量a同方向的单位向量ea? 12-13(8分)求球面x2?y2?z2?14在点?1,2,3?处的切平面及法线方程． 12-13(8分)求直线? ．

．

?x?y?3z?0 与平面x?y?z?1?0的夹角．

?x?y?z?0 ．

．

13-14(6分)过点(1,0,1)且以向量n??1,1,1?为方向向量的直线l的方程为

13-14(6分)顶点在坐标原点O, 旋转轴为z轴, 半顶角为???4的圆锥面的方程是 13-14(7分)已知OA?i?3k, OB?j?3k,求三角形OAB的面积.

二重极限

11-12(４分)求极限lim1?x2y2?122x?ysin?xy?? 12-13(5分)求二重极限lim?x,y???0,2?x?x,y???0,0?? ．

．

13-14 (6分)极限lim方向导数

sinxy? ?x,y???0,1?x ．

11-12(10分)求二元函数u?x2?xy?y2在点P??1,1?处沿方向el?15该点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？函数u沿哪个方向减小得最快？沿着哪个方向函数u的值不变化？

?2,1?的方向导数，并指出函数u在

12-13 (5分)求u?lnx?y2?z2在点A?1,0,1?处沿点A指向点B?3,?2,2?的方向导数为 偏导与全微分

?z? ． ?x12-13 (8分)设??u,v?具有连续的一阶偏导数，方程??cx?az,cy?bz??0确定了函数z?z?x,y?，其中a、b、c为确定常数，求azx?bzy．

??．

11-12(４分)设z?fxy,x2?y2，求

??13-14 (6分)设函数z?f(x,y)?x2?y3, 则函数f(x,y)在点(1,1)处的全微分dz? 13-14 (7分)设u?f(x,y,z)?ex2 ．

?y2?z2, 而z?xsiny, 求

2?u?u和． ?x?y连续性可微性的证明

《工科数学分析２》期末考试 第1页（共3页）

11-12

?x2y,当?x,y???0,0?时?11-12 (10分)设f?x,y???x2?y2，（1）讨论f?x,y?在?0,0?点处的连续性；（2）

?0，当?x,y???0,0?时?讨论fx?0,0?与fy?0,0?的存在性；（3）讨论f?x,y?在?0,0?点处的可微性． 二元三元函数求极值（条件极值，无条件极值）

12-13条件极值(11分)求函数f?x,y,z??x?2y?2z在条件x2?y2?z2?1下的最大值与最小值． 13-14 条件极值(9分)求函数f(x,y,z)?x?2y?2z在条件x2?y2?z2?1下的极值． 二重积分

11-12(４分)求由曲线y2?x与x?1所围成的均匀薄片（面密度为1）绕直线y?x的转动惯量为 ． 12-13(8分)计算二重积分??xyd?，其中???为抛物线y2?x与直线y?x?2所围成的区域．

???13-14(7分)计算I???(x2?y2)d?，其中(?)为不等式a2?x2?y2?b2所确定的区域．

???二重积分交换积分次序 或 直角坐标系中的累次积分转化为极坐标系中的累次积分 11-12 (４分)交换?dx?02x220f?x,y?dy+?2221dx?8?x20f?x,y?dy的积分顺序后为

．

12-13 (5分)将直角坐标系中的累次积分?dx?01?x21?xfx2?y2dy化成极坐标系中的累次积分 xx?2?? ．

13-14 (6分)交换积分次序?dx?01x－xf?x,y?dy??dx?14f?x,y?dy= ．

三重积分

11-12(8分)计算三重积分?????x2?y2?z2dxdydz，其中?为锥面z?x2?y2与球面

?x2?y2?z2?4所围的立体．

12-13(11分)计算三重积分???zx2?y2dV, 其中?V?是由柱面x2?y2?2x及平面

?V?z?0,z?a?a?0?,y?0所围成的半圆柱体．

222I?zx?y?zdV13-14(7分)计算????V?22222, 其中(V)由不等式x?y?z?1，z?3x?y所

围成．

曲线积分

11-12第二类曲线积分(8分)线积分

?1?2?dy，其中L为摆线2ycosx?y??LP?x,y?dx?Q?x,y?dy??Lcosx?ydx??4?1?y???x?a?t?sint?,y?a?1?cost?上由点O?0,0?到点A?2?a,0?的有向弧段．

?2???11-12第二类曲线积分(8分)利用斯托克斯公式计算积分

??zdx?2xdy?3ydz，其中?为平面x?y?z?1被

三坐标面所截三角形的整个边界，方向从z轴正向往下看为逆时针．

x2y2?1周长为a，求曲线积分?3x2?4y2ds＝ 12-13第一类曲线积分(5分)已知椭圆L：?L43?? ．

12-13第二类曲线积分(8分)利用Stokes 公式计算线积分

?z?y?dx??x?z?dy??y?x?dz，其中?C?是从???C?a,0,0?依次经过?0,a,0?和?0,0,a?回到?a,0,0?的三角形．

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11-12

13-14第一类曲线积分(6分)设(Ｌ)为抛物线y2?x上介于(0,0)与(1,1)两点间的线段, 则曲线积分

I?(L)?yds? ．

13-14第二类曲线积分(7分)计算曲线积分I??L(x2?xy)dx?(x2?y2)dy，其中L为由

x??1,x?1,y??1及y?1所围成的正方形，取逆时针为正向． 曲面积分

z?1?x2?y2，11-12第二类曲面积分(8分)设?：计算I???z2cos?dS，其中?是?的外法线与

?z轴正向所夹的锐角．

微分方程

dy111-12(8分)求微分方程的通解． ?dxx?y11-12(8分)求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解．

dy?3x2y的通解为 12-13(5分)求微分方程 dx12-13(8分)求微分方程y???9y?8cosx?40sinx的通解．

．

13-14(6分)微分方程y???2y??3y?0的通解为 13-14(7分)求微分方程y???5y??6y?ex的通解．

dy?x?y的通解． 13-14(7分)求微分方程dx

．

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11-12

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