2013挑战中考数学压轴题第六版精选

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挑战中考数学压轴题电子版推荐度：
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第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

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例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题

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例5 2010年义乌市中考第24题

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例8 2009年江西省中考第24题

1.5 因动点产生的梯形问题

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例3 2011年南通市中考第28题

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例3 2011年淮安市中考第28题例4 2011年山西省中考第26题例5 2011年重庆市中考第26题

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2012年苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线211(1)444

y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．

思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示． 3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．

满分解答

（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,

b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．

所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝115

2428

b x b x bx ??+??=＝2b ．

解得165x =．所以点P 的坐标为(1616

,55

)．

图2 图3

（3）由2111

(1)(1)()4444

b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．

①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14

b =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)．

②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。因此△OCQ ∽△QOA ．当BA QA QA OA

=时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°．所以C 、Q 、B 三点共线．因此

BO QA

CO OA =

，即14

b QA b =．解得4QA =．此时Q (1,4)．

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．

如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？

如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB ＝4OC 矛盾．

例2 2012年黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C 1：1

(2)()y x x m m

+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．

（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C 在x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC 与BF 保持平行，但是∠BFC 在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF 保持45°，存在∠BFC ＝∠BCE 的时刻．

思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．

2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF ，作∠CBF ＝∠EBC ＝45°，或者作BF //EC ．再用含m 的式子表示点F 的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m 的方程．

满分解答

（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得1

24(2)m m =-?-．解得m ＝4．

（2）当m ＝4时，2111

(2)(4)2442

y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．

所以S △BCE ＝11

62622

BC OE ?=??=．

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．

设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO

CP CO

．因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2

．

（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．

由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC

CB BF

，即2BC CE BF =?时，△BCE ∽△FBC ．设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1

(2)()

22x x m m x m

+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．

由'CO BF CE BF =，得24

m m BF m +=

+．所以2(4)4m m BF m ++=．由2

BC CE BF =?，得22

(4)4

(2)4m m m m m

+++=+?．

整理，得0＝16．此方程无解．

图2 图3 图4

②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，

由于∠EBC ＝∠CBF ，所以

BE BC

BC BF

，即2BC BE BF =?时，△BCE ∽△BFC ．在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1

(2)()2x x m x m

+-=+．

解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2(22)BF m =+．由2BC BE BF =?，得2(2)222(22)m m +=?+．解得222m =±．综合①、②，符合题意的m 为222+．

考点伸展

第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．

例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题

直线

y x

=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得

到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．

(1) 写出点A、B、C、D的坐标；

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，

△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．

思路点拨

1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．

2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．

3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．

4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．

满分解答

（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．

（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以

930,

a b c

++=

?-+=

解得

所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)．

（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ ＝90°．

因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么22

(3)10

BQ x x x

=+=±．Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：

①当3

=时，

=．解得3

x=±．所以

(3,10)

Q，

(3,8)

Q--．

②当

=时，

101

=．解得

x=±．所以

(,2)

Q，

(,0)

Q-．

图2 图3

考点伸展

第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是22(3)10BQ x x x =+=±．

我们换个思路解答第（3）题：

如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．

通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°．在Rt △BGH 中，1sin 110∠=，3cos 110

∠=．

①当

3BQ

=时，310BQ =．在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =?∠=，cos 19BN BQ =?∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．

②当13BQ BA =时，1103BQ =．同理得到31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．

例4 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题

Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k

y k x

≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．

（1）求m 与n 的数量关系；

（2）当tan ∠A ＝

时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A 在x 轴上运动，可以体验到，直线AB 保持斜率不变，n 始终等于m 的2倍，双击按钮“面积BDE ＝2”，可以看到，点E 正好在BD 的垂直平分

线上，FD //x 轴．拖动点P 在射线FD 上运动，可以体验到，△AEO 与△EFP 相似存在两种情况．

思路点拨

1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．

3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．

满分解答

（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k

y x =的图象上，所以4,2.

m k n k =??=? 整理，得n ＝2m ．

（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝1

，EH ＝

2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．

已知△BDE 的面积为2，所以11

(1)2222

BD EH m ?=+?=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．

因为点D （4，1）在反比例函数k y x =

的图象上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4

y x

=．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b =+??=+?

解得1

2k =，1b =．

因此直线AB 的函数解析式为1

y x =

+．

图2 图3 图4

（3）如图3，因为直线1

y x =+与y 轴交于点F （0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD //

x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：

①如图3，当EA EF

AO FP

时，2552FP =．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）． ②如图4，当EA FP

AO EF =

时，2525

FP =．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）．

考点伸展

本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限

制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：

第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12

y x

=-，直线AB 为1

y x =

-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似．

图5

例5 2010年义乌市中考第24题

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；

（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．

思路点拨

1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．

2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．

3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．

满分解答

（1）抛物线的对称轴为直线1

x=，解析式为2

y x x

=-，顶点为M（1，

-）．

（2）梯形O1A1B1C1的面积12

2(11)

3()6

x x

S x x

-+-?3

==+-，由此得到12

x x

+=+．由于

y y

-=，所以22

212211

1111

8484

y y x x x x

-=--+=．整理，得2121

()()3

x x x x

-+-=

．因此得到

x x

-=．

当S=36时，21

14,

x x

解得1

此时点A1的坐标为（6，3）．

（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．

在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．

因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．

由于

tan

GAF

∠=，tan

DQ t

PQD

QP t

∠==

，所以

．解得

t=．

图3 图4

考点伸展

第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题

如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线2

2y mx mx n =++上．

（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．

思路点拨

1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．

2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．

3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．

满分解答

(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线2

2y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=??++=?

解得4

m =-

，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′

＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--

=x x y ()2

416133

x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．

因此平移后的抛物线的解析式为()3

16434

+--

=x y ．

图2

(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝45．如图2，由AM //CN ，可得

''''B N B C

B M B A

，即2'845B C =．解得'5B C =．所以35AC =．根据菱形的性质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．

①如图3，当'

'A B B C A C B D =

时，55'35B D

=，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．

②如图4，当

''AB B D AC B C =

时，5'355

B D =，解得5'3B D =．此时OD ＝13

3，点D 的坐标为（

，0）．

图3 图4

考点伸展

在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△AB B ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角

形，容易想象，存在两种情况．

我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．

例7 2009年临沂市中考第26题

如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△P AM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△P AM与△OAC相似的三个情景．

双击按钮“第(3)题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．

思路点拨

1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．

2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．

3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．

4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为)4

)(

y，

代入点C的坐标（0，－2），解得

a．所以抛物线的解析式为

)(

(

y．

（2）设点P的坐标为))

)(

(

-x

x．

①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，)4

)(

(

PM，x

AM-

=4．如果2

，那么2

)(1

(

．解得5

x不合题意．

如果

，那么

)(1

(

．解得2

x．

此时点P的坐标为（2，1）．

②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，)4

)(

(

PM，4

AM．

解方程2

)(1

(

，得5

x．此时点P的坐标为)2

,5(-．

解方程

)(1

(

，得2

x不合题意．

③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，)4

)(

(

PM，x

AM-

=4．

解方程2

)(1

(

，得3

x．此时点P的坐标为)

-．

解方程

)(1

(

，得0

x．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或)

-或)2

,5(-．

图2 图3 图4

（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为2

y．

设点D的横坐标为m)4

1(<

(2-

-m

m，点E的坐标为

m．所以)2

(

(2-

DE m

=．

因此4

)

(

DAC

(2+

=m．

当2

m时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．

图5 图6

考点伸展

第（3）题也可以这样解：

如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN

和△ADM的面积．

设点D的横坐标为（m，n）)4

1(<

)

(

S．

由于2

n，所以m

=．

例8 2009年上海市闸北区中考模拟第25题

如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝

．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），

作DE//BC交射线CA于点E.．

(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；

(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；

(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．

图1 备用图备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．

双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF 为等腰三角形．

思路点拨

1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．

2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．

3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．

满分解答

（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝

=，所以AH ＝

＝

AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．

因为DE//BC，所以

AB AC

DB EC

=，即53

y x

=．于是得到

y x

=，（0

x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以

DE AE

BC AC

=，

MN AN

BC AC

=，即|3|

DE x

=，

|3|

MN-

=．因此

5|3|

=，圆心距

5|6|

=．

图2 图3 图4

在⊙M中，

115

226

r BD y x

===，在⊙N中，

r CE x

==．

①当两圆外切时，

x x

+5|6|

=．解得

x=或者10

x=-．

如图5，符合题意的解为

x=，此时5(3)15

313

==．

②当两圆内切时，

x x

-5|6|

=．

当x＜6时，解得

x=，如图6，此时E在CA的延长线上，5(3)15

==；

当x＞6时，解得10

x=，如图7，此时E在CA的延长线上，5(3)35

==．

图5 图6 图7

（3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．

如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此

时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1．

如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时

125

BF=．

图8 图9 图10 图11

考点伸展

第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC的

三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形．

1.2因动点产生的等腰三角形问题

例1 2012年扬州市中考第27题

如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的

点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点

P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观

察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂

直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，

但是有1次M、A、C三点共线．

思路点拨

1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△P AC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，

代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．

所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．

（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．

当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．

由BH PH

BO CO

=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．

所以点P的坐标为(1, 2)．

图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6

-)或(1,0)．

考点伸展

第（3）题的解题过程是这样的：

设点M的坐标为(1,m)．

在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．

①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．

此时点M的坐标为(1, 1)．

②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6

m=±．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6

-)．

③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．

当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．

图3 图4 图5

例2 2012年临沂市中考第26题

如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O 和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．

请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形

思路点拨

1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．

2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．

满分解答

（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23

OC=．

所以点B 的坐标为(2,23)

--．

（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，

代入点B(2,23)

--，232(6)

-=-?-．解得

a=-．

所以抛物线的解析式为2

3323

(4)

663

y x x x x

=--=-+．

（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23

y=±．

当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．

②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-．综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．

图2 图3

考点伸展

如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．

由23323

(4)(2)663

y x x x =--=--+

，得抛物线的顶点为23(2,)3D ．因此23

tan 3

DOA ∠=．所以∠DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．

例3 2011年湖州市中考第24题

如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．

（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；

（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，△APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”，拖动点P 由O 向C 运动，可以体验到，点H 在以OM 为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．

思路点拨

1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．

3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．

满分解答

（1）因为PC //DB ，所以

1CP PM MC

BD DM MB

===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．

（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．

①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得3

m =（如图3）．

②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得4

3m =

（如图4）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得2

3m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．

综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或2

3．

图3 图4 图5

（3）点H 所经过的路径长为

π．考点伸展

第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：

①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以1

PC MB CM BA ==．因

此12PC =，3

m =．

②如图4，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得4

m =．

第（2）题的思路是这样的：

如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．

图6 图7

例4 2011年盐城市中考第28题

如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数

y x

=的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P 从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR 的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P 在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．

思路点拨

1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．

2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．

3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．

满分解答

（1）解方程组

y x

=-+

得

所以点A的坐标是(3，4)．

令70

y x

=-+=，得7

x=．所以点B的坐标是(7，0)．

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8

APR ACP POR

CORA

S S S S

=--=

△△△

梯形

，得

111

3+7)44(4)(7)8

222

t t t t

-?-??--?-=

（．整理，得28120

t t

-+=．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．

因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．

如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，42

AB=，所以OB＞AB

．因此

∠OAB＞∠AOB＞∠B．

如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．

因此∠AQP＝45°保持不变，∠P AQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．

我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．

在△APQ中，

cos

∠=为定值，7

AP t

=-，

5520

333

AQ OA OQ OA OR t

=-=-=-．

如图5，当AP＝AQ时，解方程

520

t t

-=-，得

t=．

如图6，当QP＝QA时，点Q在P A的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]

t t t

-=---，得5

t=．

如7，当P A＝PQ时，那么

cos

∠=．因此2cos

AQ AP A

=?∠．解方程

5203

2(7)

335

t t

-=-?，

得

226

t=．

综上所述，t＝1或

或5或

226

时，△APQ是等腰三角形．

图5 图6 图7

考点伸展

当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cos

AP AQ A

=?∠来求解．

例5 2010年上海市闸北区中考模拟第25题

如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．

(1)求证：MN∶NP为定值；

(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；

(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，

可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．

思路点拨

1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．

2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．

3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．

4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．

满分解答

(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．

在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．

在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．

在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．

(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．

如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，

=，所以

1025

．解得

t=．此时

=．

图2 图3 图4

(3)如图5，图6，图7中，

OP MP

QN MN

=，即

=．所以

OP t

=．

①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，

BP t

=-，105

BN t

=-．

(Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程

8105

t t

-=-，得

t=．此时CM

=．

(Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，

BE BN

=．解方程()

184

8105

255

t t

-=-

，得

t=．此时

=．

(Ⅲ)当PB＝PN时，

BN BP

=．解方程()

148

1058

255

t t

-=-

，得t的值为负数，因此

不存在PB＝PN的情况．

②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP＝BN的可能，此时

510

BN t

=-．解方程

8510

t t

-=-，得

t=．此时CM

=．

图5 图6 图7

考点伸展

如图6，当NB＝NP时，△NMA是等腰三角形，

BN BP

=，这样计算简便一些．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/05bq.html

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