电磁波第四章作业题解答

第四章 恒定电流的磁场 作业题解答

4-1．求如图所示各种形状的线电流I在P点产生的磁通密度矢量（假设介质为真空）。

解 （1）首先计算半径为a的通电圆形电流回路在轴线上任一点的磁通密度矢量。选取柱坐标系，电流回路放置于XY平面，轴线与Z轴重合，如图4—1（a）所示。根据比奥—莎伐尔定律，线电流分布圆环轴线上任一点的磁通密度矢量为

B=m04p蜒蝌(l)Idl￠′aRR2=m0I4p(l)dl￠′RR3

ZP0,?,zaPIar?OI???rR?YIdl??Sa,?,0X 题4-1图（a） 由图可知

=Iadjej￠ Idlⅱ R=r-r￠=zez-aer￠ idlⅱ?R32(Iadj2ejⅱ)?(zezaer)=2Iazdjⅱer -Iadj(-ez)

R=(a+z代入积分式，有 B=又

m0I4p)3/2

?蝌(l)2azdjⅱerⅱ+adjez(a2+z2)3/2=m0I4p2pazdj er0(a2+z2)3/2+m0I4p2p 02adj￠ez(a2+z2)3/2

er￠=cosjⅱex+sinjey 则积分 所以 B=m0I4p2pm0I4p2p蝌(a0azdj￠er￠2+z2)3/2=m0I4paz2p3/20(a2+z2)(cosjⅱex+sinjey)dj =0

ò02adj￠ez(a2+z2)3/2=m0Ia223/22(a+z2)ez

当z=0时，圆环电流中心处P点的磁通密度矢量为 B=m0Ia2(a+z223/22)ezz=0=m0I2aez

（2）对于如图4—1（b）所示的电流回路，可分三个部分进行计算：左边半无限长电流线、半圆环电流线和右半无限长电流线。对于两半无限长电流线，有

=dxex￠ IdlⅱY=-xex￠ R=r-rⅱ Idlⅱ?RIdxexⅱ?(x ex)=0

Xar??x?ex?r??x?ex?I 由比奥—莎伐尔定律 B=m0I4pIdl??Idx?ex?Pr?0Idl??Idx?ex??ò(l)dl￠′RR3

题4-1（b）图 可知，两半无限长电流线在P点产生的磁通密度矢量B为零。

对于半圆环电流线，由（1）有

B=m0I4p?蝌(l)2azdjⅱerⅱ+adjez(a2+z2)3/2=m0I4ppazdj er0(a2+z2)3/2+m0I4pp 02adj￠ez(a2+z2)3/2

得到第一项积分为

m0I4pp

蝌(a0azdj￠er￠2+z2)3/2=m0I4pazp3/20(a2+z2)(cosjⅱex+sinjey)dj z=0=0

而第二项积分为

m0I4pp2adj￠ez

ò0(a2+z2)3/2z=0=m0I4aez

YIdl??Idx?ex?y?所以，当z=0时，圆环中心处P点的磁通密度矢

量为 B=m0I4aez

r?x?aPXr?Idl??Idx?ex?r?0y?（3）对于如图4—1（c）所示的电流回路，

也可分三个部分进行计算，左边两半无限长电流线和右半圆环电流线。对于两半无限长电流线，有

=Idxe（上） Idlⅱxdlⅱ=Idxe（下） x 题4—1（c）图 R=r-rⅱ=xex-ae（上）yR=r-rⅱ=xex+ae（下） yIdlⅱ?RIdlⅱ?RIdxex?Idxex?22ex(xⅱex(xⅱaey)=-Iadxe（上）zaey)=Iadxe（下）z

R=3(x￠+am0I4p)3/2

由比奥—莎伐尔定律 B=?ò(l)dl￠′RR3

可知，两半无限长电流线在P点产生的磁通密度矢量B为

B上=m0I4pm0I4p?蝌(l)dl￠′RR3=-m0Ia4p0- dxⅱez0(xⅱ+a22)3/2=m0Ia4p0 - dxez(x2+a2)3/2B下=?蝌(l)dl￠′RR3=m0Ia4pdx￠ez

- (x￠+a22)3/2可见上、下两半无限长电流线在P点产生的磁通密度矢量大小相等、方向相同。由积分公式

ò可得

du轾u+a犏臌223/2=au2u+a22+C

B上=B下=m0Ia4p- ò0dx￠ez(x￠2+a2)3/2=m0I4paez

半圆环电流的磁场与（2）相同，即

B弧=m0I4aez

则整个电流回路在P点产生的磁通密度矢量为

B=B上+B弧+B下=m0I4paez+m0I4aez+m0I4paez=m0I轾2犏+1ez 4a犏p臌4-2．真空中载流长直导线旁有一等边三角形回路，如

图所示，求通过三角形回路的磁通量。

解 在柱坐标系下无限长载流导线周围的磁通密度矢量为 B=m0I2prej

Y?C?d?????3b?b,??22??IoA( d , 0)300bX则通过三角形回路的磁通量为 y=d蝌(S)B dS

?B?d?????3b??b,?22?? 题4-2图 建立如图所示的直角坐标系，利用点斜式得到AB和

AC边的直线方程分别为

y=13(x-d)

y=-又

13(x-d)

dS=dxdyej B=m0I2prm0I2px13ej=ej

13d+32b(x-d)d+32b(x-d)y=m0I2p蝌d-3213d+b1x(x-d)ej?ejdxdym0I2p蝌ddx-131x(x-d)dy

=m0I2p

òdm0I2骣d÷?1-dx=÷?桫x÷p3?轾b犏-犏2犏臌d骣?ln?1+??3桫3b÷÷÷2d÷4-6．（文献[11]、P122）已知某电流在空间产生的磁矢位是 A?xyex?xyey?4xyzez

求磁通密度矢量B。

解 根据磁通密度矢量与矢量磁位之间的关系 B=汛A 有

exeyez yxy222 B=抖抖xxy2 z-4xyz=-4xzex+4yzey+(y2-x2)ez

4-8．边长为a和b的小矩形回路，通有电流I，

如图所示。求远处一点P(x, y, z)的磁矢位。

解 根据线电流分布的矢量磁位表达式

A=m04pZ?x?,0,0OIdl??Idx?ex?ò(l)Idl￠RP(x, y, z)rIdl??Idy?ey

可把闭合电流回路分为四段：OA、AB、BC和CO，分别计算四段线电流在P点产生的矢量磁位，然后进行矢量叠加。对于OA段，有

0,y?,0YAa,0,0a,y?,0x?,b,0C0,b,0Idl??Idx?exX?Idl??IdyeyBa,b,0题4-8图 AOA=m0I4paò0dx￠ex22轾(x-x￠)+y+z犏臌21/2

同理，有 A=m0I4pbABò0dy￠ey2轾x-a+()犏臌(y-dx￠exy￠)+z21/22

ABC=m0I4p0òa2轾(x-x￠)+(y-b)+z犏臌221/2

ACO=m0I4p0òbdy￠ey轾2x+犏臌(y-y￠)+z21/22

因此，P点的矢量磁位为

A=AOA+AAB+ABC+ACO1/222

=m0I4pa蝌轾0dx￠exxⅱ)+y+z2+m0I4pbdy￠ey2轾x-a+()犏臌0

(x-犏臌0(y-y)21/2+z2

+m0I4p0蝌轾adx￠ex221/22+m0I4pdy￠ey轾2x+犏臌(x-xⅱ)+(y-b)+z犏臌b(y-y)21/2

+z2=m0I4paò0b

+m0I4pò0轾犏11犏-1/2犏222222轾轾犏ⅱx-x+y+zx-x+(y-b)+z()()犏犏犏臌臌臌轾犏11犏-1/2犏22222轾轾2犏ⅱx-a+y-y+zx+y-y+z()()()犏犏犏臌臌臌1/2轾2222轾轾ⅱx-x+y-b+z-x-x犏()()()犏犏臌臌犏1/2犏2222轾犏轾x-xⅱ+y+zx-x)+(y-()(犏犏犏臌臌臌1/2轾222轾2轾x+(y-yⅱ-犏犏(x-a)+(y-)+z犏臌臌犏1/2犏222轾2犏轾ⅱx-a+y-y+z()()犏 x+(y-犏臌臌臌1/21/2dx￠ex

dy￠ey1/2=m0I4pa+y+zb)+zyy2222

+ò0b1/2dx￠ex

1/22m0I4p)22+z2ò01/2dy￠ey)+zú对上式中被积函数两项进行有理化，有

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