2-第二讲 有理数的相关概念

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第二讲 有理数的相关概念

【基本知识】

考点一 数轴 （一）数轴的概念

1.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，三要素缺一个不可). 2.数轴的定义包含三层含义：

（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；

（2）数轴有三要素：原点，单位长度，正方向，三者缺一不可；

（3）原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的. （二）数轴的画法

1.画一条直线（一般画成水平的直线）；

2.在直线上选取一点为原点，并用这点表示0（在原点下边标上“0”）； 3.确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来；

选取单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，…… 从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3，…… （三） 数轴上的点与有理数的关系

所有的有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数.

考点二 相反数

1.相反数的几何定义

在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的两个数，叫做互为相反数. （从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．） 2.相反数的代数定义

只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，0的相反数是0. （1）相反数是成对出现的，不能单独存在；

（2）“只有”指的是除了符号不同以外完全相同 ； 3.相反数的表示方法

一般地，数a的相反数是– a，这里a表示任意的一个数，可以是正数，负数或者0，a还可以代表任意一个代数式.（因为a可以表示任意有理数，所以– a不一定是负数） 4.多重符号的化简

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在一个数的前面有偶数个“-”时，仍然与原数相同；在一个数的前面有奇数个“-”时，就成为原数的相反数. 考点三 绝对值 1.绝对值的有关概念

（1）绝对值的几何定义：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，记作a；

（2）绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0

?a(a?0) ?的绝对值是0，用式子表示，即|a|??0(a?0) .

??a(a?0)?2.绝对值的性质

（1） 除0外，绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数； （2） 互为相反数的两个数（除0外）的绝对值相等； （3） 任何数的绝对值总是非负数，即a?0. 3.两个负数大小的比较

因为两个负数的在数轴上的位置关系是绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小. 4.有理数大小的比较法则

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小.

考点四 倒数

倒数的概念：乘积是1的两数互为倒数，一般地，a?理数，则a的倒数是

1?1(a?0)，即若a是不等于0的有a1. a【温故知新】

1. +2与?2互为相反数，请赋予它们实际的意义：_________________________________. 2．?5的倒数的绝对值是___________. 343___； 543．用“＞”、“＜”、“＝”号填空：

（1）?0.02___1； （2）

2

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（3）?(?)___???(?0.75)?； （4）?4．绝对值大于1而小于4的整数有____________.

5. 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则(a + b)3?3(cd)4 =__________.

6. 数轴上表示数?5和表示?14的两点之间的距离是__________.

7. 一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ）.

A．1 B．?1 C．±1 D．±1和0 8．如果|a|??a，下列成立的是（ ）.

A．a?0 B．a?0 C．a?0 D．a?0

9. 有理数a、b在数轴上的对应的位置如图 a所示：则（ ） .

-103422___?3.14. 7b1 A．a + b＜0 B．a + b＞0 C．a－b = 0 D．a－b＞0

参考答案

1．向前走2米记为+2米，向后走2米记为?2米. 2．

3 3．＜，＞，＝，＜. 5 4．±2，±3； 5. -3. 6. 9. 7. C. 8. D. 9. A.

【典例精讲】

【例1】如图，若数轴上的两点A，B表示的数分别为a, b，则下列结论正确的是（ ）.

A．

b?a?0 B. a?b?0 2C．2a + b > 0 D. a?b?0

【例2】若a?0,b?0,a?b?0,将a,b,?a,?b按从小到大的顺序排列.

【例3】妈妈在女儿现在年龄时，女儿已满2岁，而当女儿到妈妈现在年龄时，妈妈已满80岁，

母女俩相差多少岁？

【例4】1. 一个数的相反数非负，则这个数是_________.

2. （1）??m?的相反数是________.

（2）m, n互为相反数，则8?7ab(m?n)= _________. （3）m, n互为相反数，a, b互为倒数，则1999?m?n?19992?2000?ab?2000?________.

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【课堂演练】

1.有理数-1a一定不是( ).

B．负整数 C．负分数 D．0

A．正整数

2.若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是 ( ). A．a，-1，1，-a B．-a，-1，1，a C．-1，-a，a，1 D．-1，a，1，-a 3.a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，则

( ).

D．b＞c＞a

A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c

4．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中结果是正数的是 ( ). A．(a-b)(ab+a)

B．(a+b)(a-b) C．(a+b)(ab+a)

D．(ab-b)(a+b)

5．a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c ( ). A．互为相反数 B．互为倒数 C．互为负倒数

D．相等

6．a，b，c在数轴上的位置如图所示,则下列代数式中其值为正的一个是 ( ). A.?a???1??11?(a?c) B.????(c?a) C.(1-a)(c-b) D.ac(1-bc) b??bc?

7.绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于 ( ). A．0 8.

B．-32 C．33 D．-33

的值的负倒数是( ).

1?9?9?41?9?9?4 A.4

13 B.- C.1 D.-1 3139.

111111?????=________. 100110001002100110021000abcdabcd=-1,则

10.有理数a,b,c,d使

aa

?bb?cc?dd的最大值是_______.

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课堂演练答案

1. D 2.A 3.B 4.A 5.A 6.A 7.D 8.A

9.原式??(1?1)1111 10011000?(1002?1001)?[?(1002?1000)]??11001?11000?11002?11001?11002?1

1000?0.10. 2

【附加题部分】

1. 若｜a＋b|＝－（a＋b）,下列结论正确的是（ ）.

A.a＋b≤0 B.a＋b<0 C.a ＋b=0 D.a＋b>0 2.如果a<0,那么a和它的相反数的差的绝对值等于（ ）. A.a B.0 C.－a D.－2a 3.下列说法错误的个数是( ).

①一个数的绝对值的相反数一定是负数; ②只有负数的绝对值是它的相反数 ③正数和零的绝对值都等于它本身; ④互为相反数的两个数的绝对值相等 A.3 B.2 C.1 D.0 4. －2

3 的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 . 5. 在数轴上,离开表示数2的点距离是3的点表示的数是_______. 6．若y+5>0,且│y+5│=14,那么y=________.

7. 若│x│=2,│y│=3,则│x+y│的值为 . 8. 若│x-3│+│y+4│+│z-5│=0,求代数式z-3y+x的值.

参考答案

1. A 2.D 3.B 4. 2

323 ; ?2;3

5.-1和5 6.９ 7.１或５ 8.20

【课后练习题】

1．下列各式中，错误的是（ ）．

A．| - 5|=5 B．- |5|= - | - 5| C．|-5|=|5| D．- |-5|=5 2．若|a|=|b|，则a与b的关系是（ ）．

A．a=b B．a= - b C．a=b或a= - b D．不能确定

3．绝对值相等的两个数在数轴上的对应点之间的距离为4，则这两个数分别是（ 5

．

）

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A．–4和4 B．8和–8 C．4和0 D．2或–2 4．数轴上表示–1.5与

9的点之间，表示整数的点的个数是（ ）． 2 A．6 B．5 C．4 D．3

5．设m、n是有理数，要使 |x-5| + |y-3|=0，则x+y的值是（ ）． A．5 B．3 C．8 D．-2 6．已知a、b、–c表示的数如图所示，则a、b、–c由小到大的顺序是（ ）．

A．a，–c，b B．a，b，–c C．b，a，–c D．b，–c，a 7．化简：-（-3）= .-（+2）= .- [-（+6）]= . a-cOb3的相反数是 . 2329．比较大小：? ?； 0 -1.2. 238．?10．在数轴上表示 - 3与表示+2的两点之间的距离是 单位长度. 11．若|x|=4，则x= . 12．相反数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 . 13．判断正误（正确的打√，错误的打×）． （1）-a一定是负数． （ ） （2）零是自然数． （ ）

（3）没有最小的正有理数． （ ） (4) 如果a?b,那么a?1. ( ) b(5) 任何有理数的绝对值都不小于它本身. ( ) (6) 如果

b?1,那么b?a. ( ) a14．若a,b,c在数轴上相应点A，B，C，其位置如图，其中OA=OC.化简

a?a?b?c?a?c?b.

15．已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的倒数等于它本身，则

结果是________.

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cd?(a?b)?m?m的m 秋季课程（上）·初一数学

参考答案

1.D 2.C 3.D 4.A 5.C 6.A ７．3；-2；-6 ８．

3 ９． <、> 10．5 11．4或-4 12.零；零和正数 213. ×；√；√；×；√；× 14.3a 15.0

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