厦门大学2013级高等数学经管类A期中试卷含答案

一、解答题（共76分）

1、计算下列各题：（每题6分，共30分）

（1）222012lim()12x n n n n n n n n

→+++++++++; 解：因为

2222212121212

1

n n n n n n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤++++++++++， 即 22222(1)12(1)2()12

2(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n ++≤+++≤++++++++++. 而 22(1)(1)1lim lim 2()2(1)2

n n n n n n n n n n n →∞→∞++==++++， 故 2220121lim()122

x n n n n n n n n →+++=++++++. （2）设()1arcsin cos f x x x x =+，求常数A 与k 使得当0x →时()f x 与k Ax 是等价无穷小.

解 00()1arcsin cos lim lim (1arcsin cos )

k k k x x x f x x x x Ax Ax Ax x x x →→→+==++ 011cos arcsin lim 2k

x x x x Ax →-+=

因为当0x →时，211cos ~2x x -，2arcsin ~x x x ，故231cos arcsin ~2

x x x x -+，故 2k =，322

A =， 于是，2k =，34

A =. （3）求函数21(2cos )1,(01)1x x y x x x x

-=++-<<+的导数。 解 ln(2cos )21e 11x x x y x x +-=+-+，于是， 2232sin 21(2cos )[ln(2cos )]12cos (1)1)x x x x y x x x x x x -'=+?+---+++(. 厦门大学《一元微积分（A ）》课程期中试卷

＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业

经管类高数A 期中试卷 试卷类型：（A 卷）

（4）求函数()y y x =由参数方程sin 1cos x t t y t =-??=-?所确定，求π2d d t y x =及222

d d t y x π=。 解： d sin d 1cos y t x t =-，故π2

d 1d t y x ==； 22222d cos (1cos )sin 11d (1cos )1cos (1cos )y t t t x t t t --=?=----，故22π

2

d 1d t y x ==-. （5）设2()(1)cos f x x x x =++，求(10)(0)f

. 解：(10)210π9π1098π()(1)cos()10(21)cos()2cos()2222f

x x x x x x x ?=++++?+++?+， 则 (10)

(0)19089f =-+=. 2、(8分)求函数22ln ||32

x x y x x -?=-+的间断点，并判断其类型（说明理由）。 解：因为202ln ||lim 32x x x x x →-?=∞-+，故0x =为函数22ln ||32

x x y x x -?=-+的第二类间断点（无穷间断点）； 由于222ln ||lim ln 232x x x x x +→-?=-+，222ln ||lim ln 232x x x x x -→-?=--+，所以，2x =为函数22ln ||32x x y x x -?=-+的第一类间断点（跳跃间断点）； 而2112ln ||(2)ln(11)lim lim 132(2)(1)x x x x x x x x x x →→-?-?+-==--+--，故2x =为函数22ln ||32

x x y x x -?=-+的第一类间断点（可去间断点）.

3、(6分)设()y y x =是由方程22e 2xy x y y +-=所确定的隐函数，求曲线()y y x =在点(0,2)处的切线方程和法线方程。

解 对方程22e

2xy x y y +-=两边关于x 求导数，则有 22e e ()0xy xy x yy y y y xy '''+--+=，

令0x =，2y =，则有4(0)3y '=，于是所求切线斜率43

k =. 于是，所求切线方程为423

y x -=，即4360x y -+=， 法线方程为324y x -=-，即3480x y +-=.

4、（8分）设1e ,0(),0sin ,0e 1

x x a x f x b x x

x -

??+>?

==???<-?, 试问

（1）,a b 为何值时，()f x 在(,)-∞+∞内连续？（2）()f x 在0x =处是否可导? 解 只须考虑()f x 在0x =处的连续性和可导性. （1）为使()f x 在0x =处连续，则有 0

lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-

→→==， 即 1a b ==. （2）10

1e 1

(0)lim 0x

x f x

+

-

+→+-'==， 2000sin 1sin e 1sin e 1e 1(0)lim lim lim (e 1)x x x x x x x x

x x f x x x ---

-→→→--+-+-'===- 00cos e sin e 1

lim lim 222

x x x x x x x --

→→---===-. 故()f x 在0x =处不可导.

5、（8分）讨论函数2()e x

f x x -=的单调性，并求出该函数在实数范围内的极值和最值.

解 2()(2)e

(2)e x

x f x x x x x --'=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x =.

函数2

2()e x f x x -=在(,0)-∞及(2,)+∞上单调减少，在(0,2)上单调增加. 于是，函数2

2()e x f x x -=在0x =处取得极小值，极小值为(0)0f =，在2x =处取得极大值，极大值为2

(2)4e f -=.

由于lim ()x f x →-∞

=+∞，而lim ()0x f x →+∞

=，因此，函数()f x 没有最大值，在0x =处取得最小值0.

6、（8分）设函数()f x 在0x =处连续，且0()

lim

2

e 1x x

f x →=-，求：（1）(0)f '；（2）20(tan sin )lim ln(1)

x f x x x x →-+.

解：因为函数()f x 在0x =处连续，故

00()(0)lim ()lim (e 1)0e 1

x x x x f x f f x →→==?-=-. （1）00()()e 1(0)lim lim 2e 1x x x x f x f x f x x

→→-'==?=-； （2）2200(tan sin )(tan sin )tan sin lim lim ln(1)tan sin ln(1)

x x f x x f x x x x x x x x x x →→---=?+-+ 3300tan sin tan (1cos )(0)lim

2lim 1x x x x x x f x x →→-?-'===. 7、（8

分）设0x

，n x =（2,3,n =），证明数列{}n x 收敛，并求极限lim n n x →∞； 解1

：1n x ==先用归纳法证明：1(2,3,

)n n x x n ->=

21n x <<

事实上，0x

，111x =<

且10x x =>=. 假设结论对n k =

11k k x x ->>>，那么1n k =+时，

111k x +=<

，1k x +=>

且10k k x x +-=>，即1k k x x +>. 故数列{}n x 单调增加，且有上界，于是极限lim n n x →∞存在，设lim n n x a →∞=.

由n x =

两边取极限，得a =

a =

n x >

1lim 2

n n x →∞+=. 解2：

显然对任意的正整数1,n n x ≥≥

，且11n x ==≤， 即{}n x 有界。

此数列的递归函数()f x =

()0,1f x x '=>≤≤，故{}n x

单调，所以{}n x 单调有界，故lim n n x →∞存在，不妨记此极限为a

，由n x =

两边取极限，得a =

12a ±=

，因为n x >

1lim 2n n x →∞= 二、应用题（第一小题8分，第二小题10分，共18分）

1、设商品需求量Q 是价格p 的单调减函数()Q Q p =，其需求价格弹性的绝对值

222||192p dQ p Q dp p η==-，（1）设R 为总收益函数，证明：(1)dR Q dp

η=-；（2）求6p =时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。

解 （1）因为商品需求量Q 是价格p 的单调减函数，于是d 0d Q p <，即d d p Q Q p η=-，因此，d d Q Q p p η=-. 由R pQ =可得

d d (1)d d R Q Q p Q Q Q p p

ηη=+=-=-. （2）总收益对价格的弹性为22d 12(1)11d 192p R p Q R p Q p

ηη=-=-=--，于是当6p =时，总收益对价格的弹性为236710.53851923613

?-=≈-. 其经济意义是：当6p =时，价格上涨1%时，总收益增加0.5385%.

2、在椭圆22

221x y a b

+=的第一象限部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小。

解：过椭圆上任意点00(,)x y 的切线斜率0()y x '满足0002222()0x y y x a b '+=，则20020

()b x y x a y '=-， 0(0)y ≠，切线方程为200020

()b x y y x x a y -=--. 分别令0y =与0x =，求得,x y 轴上的截距为：2200,b a y x y x ==，于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积为：2200011()24

a b S x ab x y π=-

其中0y ==

，代入得3001(),(0,)4S x ab x a π=∈.

问题是求：3

1()(0)4

S x ab x a π=-<<的最小值， 此问题又与求函数222()()f x x a x =-在闭区间[0,]a 上最大值等价。

由223()2()20f x x a x x '=--=，得2220a x -=，即 0,02

x x a x ===（舍去），

注意到0(0)()0,()0f f a f x ==>，故0x a =

是()f x 在[0,]a 上最大值点，因此)即为所求的点P . 三、证明题（6分）

设()f x 是二阶可导的函数, (0)0,f =令2()(sin 1)()F x x f x =-，证明：在(0,)2π内至少存在一点ξ，使得()0F ξ''=。 证：显然(0)()2F F π=，由罗尔定理知，存在0(0,)2x π∈，使得0()0F x '=。又因为 2()2(sin 1)()(sin 1)()F x x f x x f x ''=-+-，()02F π'=，由于()F x 二阶可导，对()F x '在0[,]2x π上应用罗尔定理，则存在0(,)2x πξ∈，使得()0F ξ''=。

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