2006-2011级（青大高数历年考题）

(2006级)高等数学试题(2007.1.18) 一、填空题(每题4分)

1. 设y?f(sinx)?sin[f(x)]，其中f(x)可微，则y??____________

2.

1?x?xdx?___________

3. 积分

?43lnxdx和?ln2xdx的大小关系是________________

344. 由曲线y?f(x)(f(x)?0)，直线x?a，x?b(a?b)及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积V?_________________

5. 已知向量a?{2,1,?1}，若向量b与a平行，且b?a?3，则b?_________ 二、选择题(每题4分)

1. 极限limx?0??????12?31x的结果是( )

(A)0 (B)

11 (C) (D)不存在 252．极限lim[cosx?1?cosx)的结果是( )

x???(A)无穷大 (B)0 (C)?1 (D)不存在，也不是无穷大 23．若连续曲线y?f1(x)与y?f2(x)在[a,b]上关于x轴对称，则( ) (A)2?baf1(x)dx??f2(x)dx的值为

ab?baf1(x)dx (B)2?f2(x)dx (C)0 (D)2?[f1(x)?f2(x)]dx

aabbx?x20?x?14．若f(x)?? ，则?(x)??f(t)dt在开区间(0,2)上( )

01?x?2x?(A)有第一类间断点 (B)有第二类间断点 (C)两类间断点都可能有 (D)是连续的 5．

dbt2edt的结果是( ) ?xdxx2x2b2(A)e (B)?e (C)e三、(每题5分)

1. 求

?ex (D)?2xex

22dx?x4?3x2?2.

?sin2(ex?1), x?0?xe?1?2. 讨论函数f(x)??2 x?0的连续性.

?1x??cost2dt x?0?x0四、(10分)

设?(x)有三阶导数，且?(x0)?0，证明曲线y?(x?x0)2?(x)必有拐点，其坐标为(x0,0) ??(x0)?0，五、(10分)求

?10xdx. 1?x?n??的最大项.

?n?10000?六、(10分) 求数列?七、(10分)设f(x)在[a,??)连续，且当x?a时f?(x)?K(K是正的常数)，又f(a)?0，

f(a))内必仅有一个实根 K八、(10分)有水箱，箱的侧面开有一半径为R的圆孔，求当水面高出孔中心所在平面H时，孔口挡板

证明方程f(x)?0在(a,a?所受水的作用力(H?R)

(2007级)高等数学试题(2008.1.10) 一、填空题(每题4分)

1. 极限lim(1?2x)?_____

x?01x2. 设0?x?1,则d(xarcsinx)?_______________dx 3.

?(2sinx?3cosx)dx?_______

4. 设F(x)???3(x)_ sint2dt，其中?(x)处处可导，则F?(x)?__________二、选择题(每题4分)

1.“数列极限limxn存在”是数列{xn}有界的( )

n??(A)充分必要条件 (B)充分但非必要条件 (C)必要但非充分条件 (D)既非充分条件，也非必要条件

?1?ex?,x?02.设f(x)??x，则在x?0处f(x)的导数( )

?0,x?0?(A)等于0; (B)不存在; (C)等于1; (D)等于?1.

3.设g(x)在(??,??)严格单调减，又f(x)在x?x0处有极大值，则必有( )

2

(A)g[f(x)]在x?x0处有极大值 (B)g[f(x)]在x?x0处有极小值

(C)g[f(x)]在x?x0处有最小值 (D)g[f(x)]在x?x0处既无极值也无最小值 4.微分方程y???2y??10y?excos3x的一个特解应具有形式( ) (A)ex(acos3x?bsin3x) (B)aecos3x?bexsin3x

(C)ex(axcos3x?bxsin3x) (D)axecos3x?besin3x (上式中a,b为常数) 三、试解下列各题(每题7分)

1. 证明方程x?3x?1?0在[?1,1]内有实根。

32. 求tanxdx.

xxxx4??x?a(cost?tsint)dxd2x四、(10分) 设?，其中常数a?0，求及2.

dyt?3?dyt?3??y?a(sint?tcost) 44五、(10分) 求数列??n??的最大项.

?n?10000?六、(10分) 求包含在螺线r?a? (0???4?)的第一与第二圈之间及极轴所围的面积. 七、(10分) 求微分方程(y?1)dx?y(y?2x)dy的通解.

八、(7分) 两个单位正电荷以一个与其间距离的平方成反比的力F?2k(k是常数)互相排斥，若一个2r单位正电荷固定在原点，求将另一个单位正电荷沿x轴从点(10,0)移动到点(15,0)时，力F需做多少功。

九、(7分)设f(x)在区间[0,1]上二阶可导且f(0)?f(1)?0，minf(x)??1，证明maxf??(x)?8.

0?x?10?x?1

(2008级)高等数学试题(2009.1.9) 一、填空题(每题4分)

1. 若要limtanx?sinx1?, 则需p? . x?0xp22. 函数f(x)?2arctanx?ln1?x2的单调减区间是 . 3.

?xdx2x?_______.

4. 曲线y?sinx(0?x??2)与直线x??2,y?0围城一个平面图形, 此平面图形绕x轴旋转产

生的旋转体的体积是 . 二、选择题(每题4分)

1. 设曲线y?e1?x与直线x??1的交点为P, 则曲线在点P处的切线方程是( ) (A)2x?y?2?0; (B)2x?y?1?0; (C)2x?y?3?0; (D)2x?y?3?0. 2. 设y?(1?x)，则y?(1)?( ) (A)2; (B)e; (C)

1x21?ln2; (D)1?ln4. 23. 下列各命题中哪一个是正确的? ( )

(A)f(x)在(a,b)内的极值点, 必定是使f?(x)?0的点; (B)f?(x)?0的点, 必定是f(x)的极值点;

(C)f(x)在(a,b)内取得极值的点处, 其导数f?(x)必不存在; (D)f?(x)?0的点是f(x)可能取得极值的点. 4. 微分方程y???5y??6y?xe的特解形式是( ) (A)Ae2x2x?(Bx?C); (B)(Ax?B)e2x; (C)x2(Ax?B)e2x; (D)x(Ax?B)e2x.

三、试解下列各题(每题7分)

21. 设f(x)三阶可导, 试求f(x)对x的一, 二, 三阶导数。

2. 计算

?3?2e?|x|dx.

四、试解下列各题(每题8分) 1. 确定f(x)?2?x的间断点，并判别其类型.

(x?1)(x?4)2332. 求微分方程xydx?(x?y)dy?0的通解.

2?2x五、(10分) 求xedx.

?六、(10分) 求由曲线y?e与过点(?1,e)的切线及x轴所夹图形的面积. 七、(10分) 求微分方程xy???y??xe的通解.

八、(8分) 设f(x)是[?1.1]上的三阶可导函数, 且f(?1)?0,f(0)?0,f(1)?1,f?(0)?0, 试证: 存在某个??(?1,1), 使f???(?)?3。

2x?x

(2009级)高等数学试题(2010.1.11) 一、填空题(每题4分)

1. limlnx的值等于 . (a?0)

x???eax2. f(x)?x?2的一个无穷间断点为x? .

ln|x?1|3. 若f(x)在含有x0的(a,b)(其中a?b)上恒具有负的二阶导数, 且 , 则f(x0)是f(x)在(a,b)上的最大值.

4.

db2sinxdx? . (其中0?a?b) ?adxx25. 由曲线y?和直线x?1,x?2,y??1所围成的图形绕直线y??1旋转所得旋转体体积的定

2积分表达式是(不计算积分值) . 二、选择题(每题4分)

21. 当x?0时, (1?cosx)是sinx的( )

2(A)高阶无穷小; (B)同阶无穷小, 但不是等价无穷小; (C)低阶无穷小; (D)等价无穷小

222．质点作曲线运动, 其位置坐标与时间t的关系为x?t?t?2,y?3t?2t?1, 则当t?1时刻质

点的速度的大小等于( )

(A)3; (B)4; (C)7; (D)5.

3．设F(x)?(A)

?x0f(t)dt, 则?F(x)?( )

x??x0?x0[f(t??t)?f(t)]dx; (B)?f(t)dt; (C)f(x)?x; (D)?x??x0f(t)dt??f(t)dt.

0x4．由相交于点(x1,y1)及(x2,y2)(其中x1?x2)的两曲线y?f(x)?0,y?g(x)?0所围图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积V是( )

(A)(C)

??x2x1x2?[f(x)?g(x)]2dx; (B)??|f2(x)?g2(x)|dx;

x1x2x1?[f(x)]dx??[?g(x)]dx; (D)??[f(x)?g(x)]dx.

x1x12x22x2三、(每题6分)

1. 研究并确定limx?cosx.

x??x?a(n)2. 设y?sin3xcos2x, 求y四、(每题7分)

.

1. 设f(x)在(??,??)可导, 且f?(x)?x2e?x，试求曲线y?f(x)的凹凸性及拐点横坐标.

2

2. 求

???0dx. x?xx五、(8分)

设f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且f(1)?0, 证明存在一点c?(0,1), 使2f(c)?cf?(c)?0. 六、(10分) 求七、(10分)

1. 若f(x)是连续函数, 且为奇函数, 证明: 2. 若f(x)是连续函数, 且为偶函数, 证明:

sinxcosx?sin4x?cos4xdx.

??x0xf(t)dt是偶函数. f(t)dt是奇函数.

0八、(10分)一个弹簧压缩x(厘米), 产生4x(千克)的力, 求将它从自然长度压缩5厘米, 需作多少功?

(2010级)高等数学试题(2011.1.17) 一、填空题(每题4分)

(3x2?2)31. 极限lim? .

x??(2x3?3)2?ln(1?x),x?0,?x??2. 设函数f(x)??a,在x?0处连续，则必a? . x?0,??1?x?1?x,?1?x?0.?x?arcsinx? . 3. limx?0x4. 微分方程xdy?2(1?y)dx?0的通解是 . 二、选择题(每题4分)

1，则当?x?0时，f(x)在点x?x0处的微分dy是( ) 2(A)与?x等价的无穷小; (B)与?x同阶的无穷小，但不是等价的无穷小; (C)比?x高阶的无穷小; (D)比?x低阶的无穷小.

dbf(x?y)dy等于( ) 2．设f(x)连续, 则

dx?a1. 若函数y?f(x)有f?(x0)?(A)3．

?baf?(x?y)dy; (B)f(x?b)?f(x?a); (C)f(x?a); (D)f(x?b).

cos3xdx?( )

??20

(A)

112?; (B); (C); (D). 3433d2y4．函数y?C?sinx，(其中C是任意常数)是微分方程2?sinx的( )

dx(A)通解; (B)特解; (C)是解，但既非通解也非特解; (D)不是解. 三、(每题8分)

1. 求xedx. 2. 计算

?5x31?sinx??11?x2dx.

1四、(每题8分)

1. 设函数f(x)在x0点处有f(x0)?f?(x0)?0，而?(x)在x0点及其邻域有定义且有界，试证明函数F(x)?f(x)??(x)在x0点处可导，并求F?(x0).

2. 证明：当0?x???时，有不等式x?elnx.

五、(10分) 求lim?x1x???1t?dtt. xx2六、(10分) 求抛物线(y?1)?2x与直线y?x?3所围的图形的面积.

七、(10分) 设半径为R的半球形水池充满水，现将水从池中抽出，当抽出水所作的功为将水全部抽完所作的功的一半时，问水面下降的高度h为多少？

八、(10分)潜水艇在水中下沉时，其所受阻力与下沉速度成正比，若潜水艇由静止状态开始下沉，求其运动规律。(设潜水艇质量为m，阻力系数为k，重力加速度为g) (2011级)高等数学试题IA(2012.1.9) 二、填空题(每题4分) 1. 若lim(x??x?2ax)?8，则a?____________ x?a1x?________________ 2. limx?0(1?cosx)ln(1?x)3sinx?x2cos43. 设函数y?y(x)由方程xy?2lnx?y所确定，则曲线y?y(x)在点(1,1)处的切线方程是_______

4. 极限lim1?2?(n?1)?(sin?sin???sin)＝_______________ n??nnnn?x5. 微分方程y??y?e的通解是__ _____________ 二、选择题(每题4分)

1. 设函数f(x)在(a,b)内连续且可导，并有f(a)?f(b)，则( )

A. 一定存在??(a,b)，使f?(?)?0 B. 一定不存在??(a,b)，使f?(?)?0 C. 存在唯一的??(a,b)，使f?(?)?0 D. A，B，C选项均不正确

2．设函数y?f(x)二阶可导，且f?(x)?0，f??(x)?0，又?y?f(x??x)?f(x)，dy?f?(x)?x，当时?x?0，有 ( )

A. ?y?dy?0 B. ?y?dy?0 C. dy??y?0 D. dy??y?0 3．定积分

?2?2(x?x)edx的值是( )

6 e2x2A. 0 B. 2 C. 2e?2 D.

4．f(x)?x(x?1)(x?3)与x轴所围图形的面积是( ) A.

?30f(x)dx B.?f(x)dx??f(x)dx

013013C. ??f(x)dx D. ??f(x)dx??f(x)dx

0113x3d2y?Cx，(其中C为任意常数)是微分方程2?x的( ) 5．函数y?6dxA. 通解 B. 特解 C. 是解，但非通解也非特解 D. 不是解

三、计算题(每题8分)

31. 求数列极限limn??nsinn!?. 2. 求极限lim0x?0n?122xetsintdtx22.

四、计算题(每题9分)

1，设xf(x)dx?arcsinx?C，其中C为任意常数，求

??1dx. f(x)11x2?1?x?f(x)dx，求?f(x)dx. 2. 设函数f(x)连续，且f(x)?001?x2x2xxx五、(10分) 设二阶常系数线性微分方程y???ay??by?ce的一个解为y?e?e?xe，求常数

a,b,c的值.

六、证明题(8分) 设函数f(x)在[a,b]上可导，f(a)?f(b)?0，并存在一点c?(a,b)，使得f(c)?0.证明至少存在一点??(a,b)，使得f?(?)?0.

七、应用题(8分)设有长为l，质量为M的均匀直细棒AB，在AB的延长线上与其近端点相距r处有一质量为m的质点，试求细棒对质点的引力.

(2012级)高等数学试题IA(2013.1.15) 一．填空题（每题4分） 1. lim(n??nn) = n?1x2?ax?b?2, 则常数a? , b? 2. 已知lim2x?2x?x?23. 设y?y(x)由exy?sin(x2y)?y2确定， 则y?(0)? 4. 已知f(x)的一个原函数微lnx，则5. I?2?f?(x)dx= ?21lnxdx和J??ln2xdx的大小关系是

1n2二．选择题（每题4分）

1)[ ]

n??n A. =1 B. =?1 C. =e D. 不存在

2.当x?0时，下列哪一个是比其余三个更高阶的无穷小[ ]

1.极限lim(?1)(1?2 A. x B. 1?cosx C. x?tanx D.

1?x2

3.设函数f(x)可导，且当x?1时有

dd2f(x2)?f(x)，则[ ] dxdx A. f(1)?0或f?(1)?1 B. f(1)?1或f?(1)?0 C. f(1)?0或f?(1)?0 D. f(1)?1或f?(1)?1

x24 由曲线y?与直线x?1,x?2,y?0.所围图形的面积是[ ]

2 A.

5743 B. C. D. 66325.设f(x)为连续函数，且F(x)?A.

?lnx1f(t)dt，则F?(x)等于[ ]

1111f(lnx) B. f()f(x) C. ?f(x) D. f(x)

xxxx三．计算题（每题8分） 1. 设f(x)?{x?b,xcosx,x?12?x?1，试确定常数b的值，使f(x)在x?1处连续.

(n)2. 设 y?xlnx，求 y(1).

四．计算题（每题8分） 1.

111dxlim(??????) 2. 极限 ?x(x2?1)n??n?1n?2n?n

五．计算题（每题8分）

d2ydy?6y?0的通解. 1.求微分方程2?5dxdx2. 求方程y?arcsinx?1?1,在条件y()?0下的特解.

21?x2y六．应用题（本题6分）

一个号角由一串动圆组成，此动圆在两抛物线y?当0?x?4时，求此号角的体积.

七．证明题（本题6分）

设f(x)在区间[0,1]上可微，且满足条件f(1)?2x和y?1x之间与两抛物线分别相接而运动，2?120xf(x)dx. 试证:存在??(0,1)，使

f(?)??f?(?)?0.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/04yr.html