（新课标版）备战2018高考数学二轮复习难点2.1利用导数探求参数的范围问题教学案理

利用导数探求参数的范围问题

利用导数探求参数的取值范围是高考考查的重点和热点，由于导数是高等数学的基础，对于中学生来说运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点，成为每年高考的压轴题，因此也是学生感到头疼和茫然的一类型题，究其原因，其一，基础知识掌握不够到位（导数的几何意义、导数的应用），其二，没有形成具体的解题格式和套路，从而导致学生产生恐惧心理，成为考试一大障碍，本文就高中阶段该类题型和相应的对策加以总结.

1. 与函数零点有关的参数范围问题

函数f(x)的零点，即f(x)?0的根，亦即函数f(x)的图象与x轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与x轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数交点问题），进而确定参数的取值范围． 例1【2018安徽阜阳一中二模】已知函数（1）当

在

处取得极值时，若关于的方程

为常数， 在

.

上恰有两个不相等的实数根，

求实数的取值范围. （2）若对任意的围.

思路分析：（1）对函数

，令

，可得的值，利用导数研究

在

的单调性，然后求得

的最值，，不等式

的单

，总存在

，使不等式

成立，求实数 的取值范

即可得到的取值范围；（2）利用导数求出上的最大值，则问题等价于对对任意

，再对

求导，然后讨论，得出

成立，然后构造新函数

调性，即可求出的取值范围.

1

点评：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.

2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题

函数y?f(x)在点x?x0处的导数f'(x0)就是相应曲线在点(x0,f(x0))处切线的斜率，即k?f'(x0)，此类试题能与切斜角的范围，切线斜率范围，以及与其他知识综合，往往先求导数，然后转化为关于自变量x0的函数，通过求值域，从而得到切线斜率k的取值范围，或者切斜角范围问题． 例2.已知函数f?x??ex?ax2?bx.

b??1时，求f?x?的单调区间； （1）当a?0 ，（2）设函数f?x?在点P?t ， f?t???0?t?1?处的切线为l，直线l与y轴相交于点Q，若点Q的纵坐标恒小于1，求实数a的取值范围.

x思路分析：（Ⅰ）先明确函数定义域，再求函数导数 f'?x??e?1，根据导函数零点进行分类讨论：当

0?，当x??0 ，x???? ， 0?时，f'?x??0，因此减区间为??? ， ???时，f'?x??0递增区间为

，递

???（Ⅱ）根据导数几何意义得切线的斜率k?f'?t??et?2at?b，再根据点斜式写出切线减区间为?0 ，t2t2t方程y?e?at?bt?e?2at?b?x?t?，得点Q的纵坐标y??1?t?e?at?0?t?1?，即不等式

????(1?t)et?1,?0?t?1?的?1?t?e?at?1恒成立，而不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：：a?t2t2 2

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