高中数学知识点总结

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高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A?x|y?lgx，B?y|y?lgx，C?(x,y)|y?lgx，A、B、C??????中元素各表示什么？

. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 2

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

2 如 ：集合A?x|x?2x?3?0，B?x|ax?1???1?3?? 若 B?A，则实数a的值构成的集合为 （ 答：，?10，）?? 3. 注意下列性质：

（ 1）集合a，a，??，a的所有子集的个数是2；12n????n2）若A?B?A?B?A，A?B?B； （

（3）德摩根定律：

CA?B?CA?CB，CA?B?CA?CB????????????UUUUUU 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如 ：已知关于x的不等式?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a2的取值范围。

ax?5x?aa·35?（∵3?M，∴?023?a

a·55?∵5?M，∴?025?a?5? ?a?1，?9，25）??????3. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和 5 “非”(?).

p?q为真，当且仅当p、q均为真 若

若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真

?p为真，当且仅当p为假 若

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6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

x4?x?? 例：函数y?的定义域是2lgx?3?? （ 答：0，2?2，3?3，4） 10. 如何求复合函数的定义域？

?????? 如 ：函数f(x)的定义域是a，b，b??aF??0，则函数(x)f(x)?f(?x)的定义域是_____________。 （ 答：a，?a） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f?????x?1?ex?x，求f(x).

?t?x?1，则t?0 令

x?t?1 ∴

∴ ft()?e?t?12t?122f(x)?e?x??1x0 ∴ ??2x?12 12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1?xx?0????：求函数f(x)?的反函数 如 ?2?xx?0????x?1?x?1???答：f(x)?） （ ???x?x?0????1 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a

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?1?1?1 ? ff(a)?f(b)?a，ff(b)?f(a)?b???? 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

（y?f(uu)，??(x)，则y?f?(x)??（外层）（内层）

当 内、外层函数单调性相同时f??(xf)为增函数，否则(x)为减函数。）????：求y??logx?2x的单调区间 如 12?2?2 （ 设u??x?2x，由u??0则0x?2 且， loguu???x?1?1，如图：??122 u O 1 2 x

x?(0，1]时，u?，又，logu?∴y? 当 12x?[1，2)时，u?，又，logu?∴y? 当 12 ∴??）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于 在

??零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？

3：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大 如

值是（ ） A. 0

B. 1

2?? C. 2 D. 3

令fx'()?3x?a?3x??x???0 （ ??????a3???a3?x??或x? 则a3a 3

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已知f(x)在[1，??)上为增函数，则?1，即a?3 由

∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若 f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若 f(?x)?f(xf)总成立?(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（ 2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。xa·22?a? 如：若f(x)?为奇函数，则实数a? x2?1a3 （ ∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?00a·2?a?2 即 ?0，∴a?1）021?x2如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?， 又 x4?1求f(x)在?1，1上的解析式。 ???x2令x??1，0，则?x?0，1，f(?x)? （ ?????x4?1?xx22f(x)为奇函数，∴f(x)????x 又 ?x4?11?4xx?(?1，0)?2??x?01x?4?f()0?0，∴fx()?） 又 ?x?2x?0，1??x?4?1? 17. 你熟悉周期函数的定义吗？

若存在实数T（T?0），在定义域内总有fx?T?f(x)，则f(x)为周期 （ ??函数，T是一个周期。）

如 ：若fx?a??f(x)，则??

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（ 答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期） 又 如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b??? 即 f()a?x?f()a?x，f(b?x)?f(b?x) 则 f(x)是周期函数，2a?b为一个周期 如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f (x)(与f?x)的图象关于y轴对称 f (xf)与?(x)的图象关于x轴对称 f (x)与?f(?x)的图象关于原点对称 f (x)与f(x)的图象关于直线y?x对称 f (x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称 f (x)与?f(2a?x)的图象关于点()a，0对称?1y?f(x?a)左移a(a?0)个单位y?f(x)图象?????????? 将y?f(x?a)右移a(a?0)个单位????????? ? 注意如下“翻折”变换：

y?f(x?a)?b上移b(b?0)个单位

y?f(x?a)?b下移b(b?0)个单位f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

：f(x)?logx?1 如 ??2出y?logx?1及y?logx?1的图象 作 ??22

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y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a

1）一次函数：y?kx?bk?0 （ ?? （ 2）反比例函数：y?k?0推广为y?b?k?0是中心O'(a，b)????的双曲线。

2b4ac?b??3）二次函数y?ax?bx?caa?0?x??图象为抛物线 （ ??????42aa22kxkx?a2?b4?ac?bb点坐标为?，?，对称轴x?? 顶?2a4a?2a?24ac?b口方向：a?0，向上，函数y? 开 min4a24acb??0，向下，y? a max4a 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

22ax?bx?c?0，??0时，两根x、x为二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴 122的两个交点，也是二次不等式ax?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

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??0???b2 如 ：二次方程ax?bxc??0的两根都大于k???k?2a?f()k?0?? y (a>0) O k x1 x2 x

一 根大于k，一根小于k?f(k)?04）指数函数：y?aaa?0，?1 （ 5）对数函数yx?loga?0，a?1 （ a 由图象记性质！ （注意底数的限定！）

x???? y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0

6）“对勾函数”y?x?k?0 （ ?? 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

kx y ?k O k x 20. 你在基本运算上常出现错误吗？

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指 数运算：a?1(a?0)，a?(a?0)p0?p1aa(a?0)，a? a?mnnmm?n1(a?0) nma数运算：loglM·N?ogM?logNM?0，N?0 对 aaa loga??M1?logaM?logaN，loganM?logaM Nnlogxa 对 数恒等式：a?xc 对 数换底公式：logb??logb?logbmaaalogblogacnnm 21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。 （ 先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??） （ 2）x??R，f(x)满足f(xy)f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。先令x?y??t?f(?t)(?t)?f(t·t) （ ?? ∴ f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴ ft(?)?f(t)??）3）证明单调性：f(x)?fx?x?x??? （ ??2212 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值： （ 1）y??2x3?13?4x??2）y? （2x?4 x?322x3）x?3，y? （

x?34）y?x?4?9?x设x?3cos?，??0，? （

2????

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（ 5）y?4x?，，x?(01] 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ （l??·R，S扇?9x11l·R??·R2） 22 R 1弧度 O R

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 s in??MP，，cos??OMAtan??Ty T B S P α O M A x

如 ：若????0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是?8 又如：求函数y????1?2cos??x?的定义域和值域。

?2? （ ∵12?cosx）?12?sinx?0???????2?sinx? ∴2，如图： 2

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∴ 2k???x?2k??k?Zy，0??1?2?? 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

5?4?4

inx?1，cosx?1 s

y y?tgx x ? ? ? O ? 22

对 称点为k，0，k?Z??

????2??sinx的增区间为2k??，2k??k?Z y ????区间为2k??，2k???k?Z 减 ???22象的对称点为k?，0，对称轴为x?k??k?Z 图 ??

???2??2????3??????2

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y ?cosx的增区间为2k?，2kk????Z?? 减 区间为2k???，2k??2?k?Z??????象的对称点为k??，0，对称轴为x?k?k?Z 图 ???????2???2????2? y ?tanx的增区间为k??，k??k?Z?? 2 6. 正弦型函数y=Asin?x+?的图象和性质要熟记。或y?Acos?x?????? （1）振幅|A|，周期T?

??2?|?| 若 fx??A，则x?x为对称轴。??00fx?0，则x，0为对称点，反之也对。 若 ??00 （ 2）五点作图：令?x??依次为0，，?，，2?，求出x与y，依点（x，y）作图象。

（ 3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）???3?22

?(x)???0?1?图列出 如 ???(x??2)??2?条件组求?、?值 解

正切型函数y?Atan?x??，T? ????||? 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

：cosx???，x??，，求x值。 如 ????????2?3??6?2?2?

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（ ∵??x?，∴?x??，∴x??，∴x??） 28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如 ：函数y?sinx?sin|x|的值域是 （ x?0时，y?2sinx??2，2，x?0时，y?0，∴y??2，2） 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式：

3?7??5??5?1326636412?????x'?x?h?a?(h，k)1）点P（x，y）??????P'（x'，y'），则 （?

y'?y?k平移至? （ 2）曲线f(x，y)??0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0 如 ：函数y?2sin2x??1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的??图象？

??????41??????横??坐标伸长到原来的2倍 （ y?2sin2x??1???????????y?2sin2x??1???????4???24??????上平移1个单位4 ?2sinx??1????????y??2sinx1????????y?2sinx????4左平移个单位12 ???????????y?sinx）纵坐标缩短到原来的倍 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如 ：1?sin??cos??sec??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan2222?4? ?sinc?os0???称为1的代换。2? “ k·??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，2“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos?tan??sin21??????9??7???4?6

如：函数y? 又 A. 正值或负值

sin??tan?，则y的值为

cos??cot?B. 负值

C. 非负值

D. 正值

sin?sin??2sin?cos??1??cos? （ y??2?0，∵??0）cos?cos??sin?1??cos??sin?

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31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

s in????sin?cos??cos?sin??????sin2??2sin?cos???令???令???22cos???s?cos??sin?sin??????cos2??cos??sin? ???cotan??tan?22cos??1?1?2sin??tan??? ?2 ???1?tan?·tan?2tan?tan2?? 21?tan?

22 1?cos2?2cos??2 1?cos2?2sin??2

a sinc??bos??a?bsin???，tan???? s in??cos??2sin????ba?????4???3 s in??3cos??2sin???? 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能

求值，尽可能求值。） 具体方法：

（ 1）角的变换：如???????，?????????????? （2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

????????????2???22sin?cos?21?cos2?3sin?cos?cos?1 （ 由已知得：??1，∴tan??22sin?22sin?2tan??? 又???

3 如 ：已知?1，tan?????，求tan??2?的值。????21?tan????tan?3??12tan???2?tan????????） ∴ ??????2181?tan???·tan???1?·32 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

222b?c?a弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA? 余

2bc222

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（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a?2RsinA?abc?弦定理：???2R?b?2RsinB 正 ?sinAsinBsinC?c?2RsinC? S ·bsinC??a ∵ A?B?C??，∴A?B???C ∴ sinA?B?sinsC，in?cos?? 如?ABC中，2sin212A?BC22A?B?cos2C?1 2 （ 1）求角C；2c2）若a?b?，求cos2A?cos2B的值。 （

222 （ （1）由已知式得：1?cosA?B?2cosC?1?1??2A?B???C，∴2coscC?osC?1?0 又

∴ cosC?或cosC??1（舍） 又0?C??，∴C?

212?322122?32222 2 sinA?2sinB?sinC?sin?343?cos2A?1?cos2B? 143cos2A?cos2B??） ∴

4 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

2）由正弦定理及ab??c得： （

反 正弦：arcsinx??，，x??1，1??????22????余弦：arccosx?0，?，x??1，1 反

反 正切：arctanx??，，x?R???? 34. 不等式的性质有哪些？

?????????22?

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（1）a?b，c??0ac?bc

c??0ac?bc （ 2）a??b，cd?a?c?b?d （ 3）a?b?0，c?d?0?ac?bd （ 4）a?b?0??，a?b?0??nnnn （ 5）a?b?0?ab?，a?b11ab11ab （ 6）|x|?aa?0??a?x?a，|x|?a?x??a或x?a?? 如 ：若??0，则下列结论不正确的是（） A.a?b C.|a|?|b||?a?b| 答案：C

35. 利用均值不等式：

222 B.ab?b11abab D.??2baa?b?? a ?b?2aba，b?R；a?b?2ab；ab?求最值时，你是否注????222???2? 意到“a，b?R”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

22a?ba?b2ab??ab?a，b?R ?22a?b?? 当 且仅当a?b时等号成立。?b?c?ab?bc?caa，b?R a 且仅当a?b?c时取等号。 当 ?b?0，m??0，n0，则 a

bbm?an?a??1?? aam?bn?b4：若x??0，23x?的最大值为 如x

（ 设y?23?x??2?212?2?43??

222???4??x?

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当 且仅当3x?，又x?0，∴x?时，y?2?43）max 又 如：x?2y?1，则2?4的最小值为 （ ∵2?2?222?2，∴最小值为22） 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。

如 ：证明1??????2222 （1?x2yx?2y14x233xy11231n111111??????1??????

1?22?32232n2?n?1?n11111?1?1????????223n?1n

1?2??2）n 3 7.解分式不等式?aa?0的一般步骤是什么？?? （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

f(x)g(x)

：x??1x1x?2?0 如 ?????? 39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如 ：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

23如：解不等式|xx?31|???1 例

（ 解集为x|x??）???1?2?1.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题 4

：设f(x)?x?x?13，实数a满足|x?a|?1 如

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求 证：f(x)?f(a)?2(|a|?1) 证明：| f(x)?f(a)|?|(x?x?13)?(a?a?13)|22?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1) ?|x?ax||?a??1||x?a?1|

?|x|?|a|?1 又 |x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1 ∴ f(x)?f(aa)?2||?2?2|a|?1?? （按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如 ：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值 a ?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值 a ?f(x)能成立?a?f(x)的最小值 例 如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和 （

?3??2???5，∴5a，即a5 u ??min者：x?3?x?2?x?3?x?2?5，∴a?5） 或 ???? 43. 等差数列的定义与性质

定义：a?a?d(d为常数)，a?a?n?1d ??nn?1n1差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 等 a?annn?1????1n 前 n项和S???nadn212质：a是等差数列 性 ??n1）若m?n?p?q，则a?a?a?a； （ mnpq2）数列a，a，ka?b仍为等差数列； （ ??????2n?12nn，S?S，S?S??仍为等差数列； S n2nn3n2n3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d； （

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m2m?1 （ 4）若a，b是等差数列S，T为前n项和，则?；nnnnaSbTm2m?1 （ 5）a为等差数列?S?an?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为??nn20的二次函数）

2 S 的最值可求二次函数S?an?bn的最值；或者求出a中的正、负分界??nnn项，即：

a?0?n 当 a?0，d?0，解不等式组得S达到最大值时的n值。?可1na?0n?1?a?0，d?0，由得S达到最小值时的n值。 当 ?可1n 如 ：等差数列a，S?18，a?a?a?3，S?1，则n???nnnn?1n?23 （ 由a?a?a?3?3a?3，∴a?1nn??1n2n?1n?1a?0?na?0n?1?a?a??11 又 S?3·3?31a?，∴a?322231??1n???a?ana?a·n??????31n2n?1S????18 ∴ n222n?27） ?

44. 等比数列的定义与性质

n?1 定 义：?q（q为常数，q?0），a?aqn1aann?1比中项：x、G、y成等比数列?G?xy，或G??xy 等 na(q?1)?1?n 前 n项和：S?（要注意!）a1?qn?1(q?1)??q?12??质：a是等比数列 性 ??n1）若m?n?p?q，则a·a?a·a （ mnpq2）S，S?S，S?S??仍为等比数列 （ n2nn3n2n5.由S求a时应注意什么？ 4 nn

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（ n?1时，a?S，na??2时，S?S）11nnn?1 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法

1112221 解：n ?1时，a?2?1?5，∴a?14112111 n ?2时，a?a????a?2n?1?52??122n?1n?1 如 ：a满足a?a????a?2n??51???n12n2n222 ?1???2?得：12nan?2 ∴a2?1n?n ∴a?14(n?1)n?? ?2n?1(n?2)［练习］

数列?a5n?满足Sn?Sn?1?3an?1，a1?4，求an （注意到aSn?1n?1?Sn?1?Sn代入得：S?4 n 又S1?4，∴?Snn?是等比数列，Sn?4 n?2时，an?1nn?S?Sn?1????3·4 （2）叠乘法

例如：数列?a中，aan?1nn?1?3，a?，求an nn?1 解：

a2a·a3??an?1·2??n?1，∴an?1 1a2an?123nan1 又a1?3，∴a3n?n

（3）等差型递推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法 n?2时，a2?a1?f(2)? a3?a?2?f()3??????两边相加，得： ?an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)(?f3)????f(n)

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∴ a?a?f(2)?f(3)????f(n)n0［练习］

数 列a，a?1，a?3?an?2，求a????n1nn?1nn?1 （ a1）n?3? （4）等比型递推公式

a ?ca?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0nn?1 可 转化为等比数列，设a?x?ca?x??nn?112?n???ac?a?cx?1 ? ??nn?1 令(c?1)xd?，∴x?d c?1 ∴是 a?首项为a?，c为公比的等比数列??n1?d?c?1??dc?1 ∴a?nd?d?n?1 ?a?·c??1?c?1?c?1??dd?n?1c? ??c?1c?1 ∴a?a??n1［练习］

数 列a满足a?9，3a?a?4，求a??n1n?1nn?4? （ a?8???1）?n?3? （5）倒数法

例如：a?1，a?1n?1n?12an ，求ana?2nn已知得：? 由?2111a??

a2a2an?1nn ∴1an?1?11? an2为等差数列，?1，公差为 ? ????1an??1a112

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? ?1??n1·??n?1??? ∴an?1an11222 n?1 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：a是公差为d的等差数列，求 ??n1?aak?1kk?1n 解：由n??11111???d?0 ????a?ddaa·a????kkkak?1kk?1an??1111?? ∴ ????aadaa?k?1kk?1?k?1kk?1

???11??11??11?1?????????????????daaaaaa??????23nn?1??12?11?1????da??1an?1

［练习］

求和：1??111 ????1?21?2?31?2?3????n1n?1 （ a??????，S?2?）nn （2）错位相减法：

若 a为等差数列，b为等比数列，求数列ab（差比数列）前n项??????nnnn 和，可由S?qS求S，其中q为b的公比。??nnnn 如 ：S?1?2x?3x?4x????nx?1?n x ·S?x?2x?3x?4xn?????1x?nx?2???n234nn?123n?11???2?：1?xS?1?x?x????x?nx ? ??n2n?1n1?x??nx?1时，S?? xnnn21?x??1?xnn?1??2

?1时，S?1?2?3????n? xn （3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

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?S???a??a?a?n1a2?n?1n 相加??S?a?a?????annn?12a1? 2 S?a?a?a?a????a?a????????n1n2n?11n［练习］

2x111?????? 已知f(x)?，则ff(1)?(2)?f?f(3)?f?f(4)?f? ??????2??????2341?x1????22??1x1x??x （ 由fx()?f?2????1??222??x1?x?x1?x1??11?????x原式?f(1)??f(2)f??f(3)f??f(4)f ∴ ????????????? ?2?1??????2??1??????3??1?????4?11?1?1?1?3） 22 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

nn?1?????p11?r?p?2r????p1?nr?pn?r??等差问题 S ????????n2?? △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款

种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

(1?r)?x1?r?x1?r????x1?r?x p ??????nnn???1?1?r1?r?1??? ? x?x??1?1?rr??????n?1n?2x? ∴pr?1?r?nn?1?r??1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

1）分类计数原理：N?m?m????m （ 12n （mi为各类办法中的方法数）

步计数原理：N?m·m??m 分 12n

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（ m为各步骤中的方法数）i （2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

m 列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A.n A?nnn?12???n?m?1???????nmn! m?n??n?m!??定：0!?1 规

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

m 同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C.n?? C 规 定：C1n?0mmnnmmnn?1??n?m?1????An!?

m!m!n?m!A??4）组合数性质： （

C ?C，C?C?C，C?C????C?2nnnnn?1nnn 50. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

x?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x?x?x?x，i1234 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15

解析：可分成两类：

C. 12

D. 10

mn?mmm?1m01nn??1）中间两个分数不相等， （

4

C?5（种） 有 5 （2）中间两个分数相等 xx ???12xx34 相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理

a?b)?Ca?Cab?Cab???Cab???Cb ( nnnnn

n0n1n?12n?22rn?rrnn中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

二 项展开式的通项公式：T?Cab(r?0，1??n)r?1n C 为二项式系数（区别于该项的系数）n 性质：

rn?r （ 1）对称性：C?Cr?0，1，2，??，nnnrn?rrr?? （ 2）系数和：C?C???C?2nnn C ?C?C???C?C?C???2nnnnnn （3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

135024n?101nnn??2 ?1项，二项式系数为C；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式??n??2n?1n?122 系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为C?Cnn22 如 ：在二项式x?1的展开式中，系数最小的项系数为（用数字??表示）

11nn?1n?1∵n＝11 （

共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第?6或第7项 ∴

由 Cx(?15)，∴取r?即第6项系数为负值为最小：11 ? C??C??426111165122r11?rr如：1?2x?a?ax?ax????axx?R，则 又 ????0122004220042004 a?a?a?a?a?a????a?a?（用数字作答）????????01020302004 （ 令x?0，得：a?10x?1，得：a?a????a?1 令 022004 ∴ 原式?2003a?a?aa?????2003?1?1?2004）0012004 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

??1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0 （

2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。 （

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A B

（ 3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与BA至少有一个发生”叫做与B的和（并）。

4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。 （

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 A·B??

（6）对立事件（互逆事件）：

A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A “

A ?A??，A?A??

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。 A

53. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

(A)? PA包含的等可能结果m? n一次试验的等可能结果的总数

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（ 2）若A、B互斥，则PA?B?P(A)?P(B)?? （ 3）若A、B相互独立，则PA·B?PA·PB???? （ 4）P()A?1?P()A （5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

kk k次的概率：P(k)?Cpp1???nnn?k?? 如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

2?C2?4?? ?P? 1215C??10 （2）从中任取5件恰有2件次品；

23??CC1046?? ?P2?521C??10 （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品” ∴ m?C·464?3223C·4·6?4443P?? ∴ 33125102213 （4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序） ∴， n?A?CAA10m456223CAA10456P?? ∴ 4521A105223 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法：

1）算数据极差x?x； （ ??maxmin （2）决定组距和组数；

（3）决定分点；

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（4）列频率分布表； （5）画频率直方图。

其 中，频率?小长方形的面积?组距× 样 本平均值：x?x?x????x12n频率组距1n12222 样 本方差：S?x?x?x?x????x?x??????12nn???? 如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5 （6）

C15 56. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

（ 2）向量的模——有向线段的长度，|a|?? （ 3）单位向量|a|?1，a00????a|a| （ 4）零向量0，|00|???长度相等?5）相等的向量?a?b （ ?方向相同??? 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。

b ∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b??a （7）向量的加、减法如图：

??????

???A?OB?OC O

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??? O A?OB?BA （8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e ，e是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一12???????? 实数对?、?，使得a??e??e，e、e叫做表示这一平面内所有向量12121212的一组基底。

（9）向量的坐标表示

i ，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得?????a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a?x，y，即为向量的坐标 ?????表示。

a?x，，bxy? 设， 1y122a?b?x，y?y，y?x?y，x?y 则 11121122a??xy，??x，?y ? 1111??????????????????Ax，y，Bx，y 若 1122?AB?xx?，yy? 则 ??2121?????22AB|?x?x?y?y，A、B两点间距离公式 | ????2121 57. 平面向量的数量积

??????1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。 （

为向量ab与的夹角，??0，? ?

B ????? b O ? ?a D A

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数量积的几何意义：

a ·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。 （2）数量积的运算法则 ① a·b?b·a????????? ② (a?b)ca?·c?b·c ③ a·b?x，y·x，y?xx?yy11221212 注 意：数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c)???????????????????3）重要性质：设a?x，y，b?x，y （ 1122 ① a⊥b?a·b?0?x·x?y·y?01212 ② a∥b?a·b?|a||·b|或a·b??|a||·b| ? ab??（b?0，?惟一确定） ? xyx?y?01221 ③ aax?||??ya，|·b|?||ab·|| ④cos???［练习］

2??22121???????????????????????????xx?yya·b1212 ??2222?y·x?y|a|·|b|x1122????????1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则 （

|a???bc| 答案：22

???

（2）若向量a?x，1，b?4，x，当x? 答案：2

??????时a与b共线且方向相同

???? （ 3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|? 答案：13 58. 线段的定比分点

??oPx，y，Px，y，分点Px，y，设P、P是直线l上两点，P点在 设 11122212????????l上且不同于P、P，若存在一实数?，使PP??PP，则?叫做P分有向线段 1212

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? PP所成的比（??0，P在线段PP内，??0，P在PP外），且121212??x?x?x?x1212x?x?????1??2 ? ，PP为中P点时，?12y??yy?y212??y?1y???1??2??：?ABC，Ax，y，Bx，y，Cx，y 如 11223312 则?ABC重心G的坐标是???????x?x?x?y?y??3y123 ，??33? ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线???线∥面???面∥面 ? ???线⊥线???线⊥面???面⊥面????判定性质线∥线???线⊥面???面∥面 线面平行的判定：

∥b，b?面??，∥a??a面? a

a b ?? 线面平行的性质：

? ∥面?，??面?，????b?a∥b 三垂线定理（及逆定理）：

A⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则 P

a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

线面垂直：

P ??O a

⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥? a

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a O α b c

面面垂直：

a ⊥面?，a?面⊥???? 面 ?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥? α a l β

⊥面?，b⊥面??a∥b a

面 ?⊥a，面?⊥∥a??? a b ??

60. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝0时，b∥?或b?? ?

o

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（ 3）二面角：二面角??l???的平面角，0???180oo

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。 证 明：cos??cos?·cos? A θ O β B ????????????????????????C? D α

?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?） （

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

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D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（ ①arcsin；②60；③arcsin） （3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

P F D C A E B 34o63

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线??） 61. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

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62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

R t?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE 它们各包含哪些元素？

S ?C·h'（C——底面周长，h'为斜高）正棱锥侧 V ?底面积×高锥 63. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?1213R2?d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（4）S球?4?R，V球?24?R3 3 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面 积为（ ） A.3?B.4?C.33?D.6?

答案：A

64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角??0，?，k?tan????y2?y1??????，x1?x2?

?x2?x1?2? P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a?1，k

??????

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（2）直线方程：

点斜式：y?y0?k?x?x0?（k存在） 斜截式：y?kx?b 截距式：xy??1 ab 一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零） （3）点Px0，y0到直线l：Ax?By?C?0的距离d???Ax0?By0?CA?B22

（4）l1到l2的到角公式：tan??k2?k1

1?k1k2 l1与l2的夹角公式：tan??k2?k1

1?k1k2 65. 如何判断两直线平行、垂直？

A1B2?A2B1???l1∥l2

A1C2?A2C1? k1?k2?l1∥l2（反之不一定成立） A1A2?B1B2?0?l1⊥l2 k ·k??1?l⊥l1212 66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组?关于x（或y）的一元二次方程?“?”??0?相交；??0?相切；??0?相离

68. 分清圆锥曲线的定义

?椭圆??PFF2a，2a?2c?FF1P2?12?? 第 一定义双曲线??PFF2a，2a?2c?FF?1P2?12?抛物线?PF?PK?? 第二定义：e?PFPK?c a 0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线

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y

b O F1 F2 a x a2x? c

22xy 2?2? 1a?b?0??ab222 a ?b?c??

22xy1a?0，b?0 2?2? ??ab

c?a?b

?222? e>1 e=1 P 0

x2y2x2y2 69.与双曲线2?2?1有相同焦点的双曲线系为2?2?????0?

abab 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。

（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

长公式PP?1?kx?x?4xx 弦 ??12121222????

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??1?2y?y4yy ????12122?1??k??? 71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

y P(x0,y0) K F1 O F2 x l

x2y2 2?2?1

ab2PF?a?2?e，PF?ex??ex?a ?0?20PKc?? P Fexa1?0? y A P2 O F x P1 B

y ?2pxp?0??2 通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

：椭圆mx?ny?1与直线y?1?x交于M、N两点，原点与MN中点连 如 2m线的斜率为，则的值为2n 答案：

22m2? n2 73. 如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，

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设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

（ 由a?，b??x'?2a?x，y'?2b?y）x?x'y?y'22要证明A'2a?x，2b?yC也在曲线上，即f(x')?y' 只

（2A）点、A'关于直线l对称????AA'⊥l?AA'中点在l上?

k·k?1?AA'l? ? ?AA'中点坐标满足l方程??x?rcos?74.圆x?y?r的参数方程为?（?为参数）

?y?rsin?222?x?acos?x2y2 椭圆2?2?1的参数方程为?（?为参数）

y?bsin?ab? 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/04s6.html